1r ciclo Duda sobre la fuerza en mecánica relativista.

[inakigarber]

Buenas tardes.
Por una simple curiosidad he tratado de determinar el cómo se expresa la fuerza en relatividad general, pero creo que me he equivocado.
Veamos;
Parto de la definición de fuerza en función de la derivada del momento.

$$F=\frac{d(mv)}{dt}$$

, como

$$v=\frac{dx}{dt}$$

$$F=-\frac{me}{t^2}$$

Por otra parte en la mecánica relativista;

$$P=\frac{mv}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}=\frac{m\frac{e}{t}}{\sqrt{1-(\frac{v}{{e}{t}})^2}}$$

Aplicando la derivada del cociente;$\frac{A`B-AB`}{v^2}$. Donde;

$$A=m\frac{e}{t}$$

;

$$A'=-\frac{me}{t^2}$$

$$B={\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}={\sqrt{1-\frac{e^2}{c^2t^2}}}$$

;

$$B'=-\frac{e^2}{c^2t^3{\sqrt{1-\frac{e^2}{c^2t^2}}}}$$

Me sale; (considerando que $v=e/t$ y que $a=e/t^2$)

$$F=-\frac{ma}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-\frac{mv^3}{(ct)^2{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}$$

Que si no me equivoco no es correcto.

[Weip]

Re: Duda sobre la fuerza en mecánica relativista.

¿Relatividad general o relatividad especial? Lo digo porque al principio dices que general pero en el desarrollo usas expresiones de relatividad especial. En cualquier caso, la fuerza no es $\dst\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}mv$. Esa es la expresión que se usa en mecánica newtoniana. Si estás en relatividad especial, deberás partir de $\dst\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}m\gamma \vec{v}$. Derivando se obtiene esta expresión de la fuerza (apartado "Fuerza en mecánica relativista"). Espero haberte ayudado.

[inakigarber]

Re: Duda sobre la fuerza en mecánica relativista.

Buenos dias;
Gracias por tu respuesta.

¿Relatividad general o relatividad especial? ....

Era relatividad especial (aunque a mi me gusta mas decir relatividad restingida -ya que es un caso restringido de la relatividad general), yo estaba espeso y metí la pata de nuevo. He revisado de nuevo y consultado algún video en youtube y creo que lo he entendido. De todos modos creo que necesito un poco mas de tiempo para aclarar las ideas.
Saludos

[pod]

Re: Duda sobre la fuerza en mecánica relativista.

Lo que te ha puesto Weip, que es más que correcto, es la tri-fuerza. Es un objeto bastante inútil en relatividad, ya que no es un tensor. Más útil es la quadri-fuerza, que sí se transforma como un tensor (de orden 1). Para partículas con masa es

$$f^\mu = \frac{\dd}{\dd\tau} p^\mu = m \dfrac{\dd u^\mu}{\dd \tau} .$$

Donde $u^\mu$ es la quadri-velocidad, y la $m$ es la masa invariante Lorentz, que en algunos sitios encontrarás llamada masa en reposo o con un sub-índice 0. En cualquier caso, es constante y no va multiplicada por factores $\gamma$ (esos factores van dentro de la quadri-velocidad, $u^\mu = (\gamma c,\ \gamma \vec v)$ ).

En la web tenemos dos recopilaciones de ecuaciones de relatividad especial y electrodinámica:

http://www.lawebdefisica.com/files/c...orm_mec_t5.pdf
http://www.lawebdefisica.com/files/c...os/edc/edc.pdf

(aunque a mi me gusta mas decir relatividad restingida -ya que es un caso restringido de la relatividad general),

¿No valdría lo mismo diciendo que es un caso "especial" de la relatividad general?

[Alriga]

Re: Duda sobre la fuerza en mecánica relativista.

... he tratado de determinar el cómo se expresa la fuerza en relatividad general, ...

Kaixo Iñaki, ya se ha comentado que te referías a Relatividad Especial, (o Restringida como le gustaba decir a mi profe de Física de la Uni) y no General. Sobre el tema de Fuerza relativista, mírate estos 2 artículos que están superbien y que no entiendo como pod no te los ha enlazado, (o se ha olvidado de ellos, o se pasa de humilde ):

http://forum.lawebdefisica.com/conte...-o-a-una-mayor

http://forum.lawebdefisica.com/conte...n-la-velocidad

Saludos.

[inakigarber]

Re: Duda sobre la fuerza en mecánica relativista.

Después de revisar los citados enlaces, me sale;

$$F=\frac{am}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+\frac{v^2ma}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}c^2}$$

pero no estoy muy seguro.

[pod]

Re: Duda sobre la fuerza en mecánica relativista.

Después de revisar los citados enlaces, me sale;

$$F=\frac{am}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+\frac{v^2ma}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}c^2}$$

pero no estoy muy seguro.

Fíjate que eso que has puesto se puede simplificar sacando factor común de $\gamma m a$,

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Con lo cual,

$$\boxed{ F = \gamma^3 m a . }$$

Este es un resultado conocido. Ahora bien, fíjate que esta expresión no será válida cuando la fuerza y la velocidad no tengan la misma dirección. La expresión que has puesto tu con escalares es un poco sutil cuando se trata con vectores. En particular, ten en cuenta que la derivada del cuadrado de un vector se debe hacer como la derivada de un producto escalar, $\frac{\dd}{\dd t} v^2 = \frac{\dd}{\dd t} (\vec v \cdot \vec v) = 2 \vec a \cdot \vec v$. El resultado (lo tienes en los formularios que te puse) seria similar a

$$\vec F = m \gamma \vec a + \frac1{c^2} m \gamma^3 (\vec v \cdot \vec a) \vec v .$$

Este es uno de los resultados sorprendentes de la relatividad. Resulta que la aceleración no es paralela a la fuerza que la causa (excepto en el caso unidimensional que hicimos antes; en general, la aceleración será paralela a la fuerza si ésta lo es a la velocidad). Además, tampoco hay una constante de proporcionalidad que relacione la fuerza y la aceleración; la relación entre fuerza y aceleración causada es muy complicada, depende de la velocidad y de la dirección de la fuerza.

[inakigarber]

Re: Duda sobre la fuerza en mecánica relativista.

¿No valdría lo mismo diciendo que es un caso "especial" de la relatividad general?

Tienes razón. Como es un caso "particular", podríamos también hablar de "relatividad particular". Creo que fuí demasiado tiquismiquis.

Creo que cuando intente desarrollar la fórmula, no hice la elección más apropiada. Era mejor expresar la velocidad en función de la aceleración y el tiempo, en vez de hacerlo como hice yo expresandola como la relación entre el espacio y el tiempo. Así la expresión queda;

$$P=\frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{mat}{\sqrt{1-\frac{a^2t^2}{c^2}}}$$

Tratándolo como la derivada del producto da lugar a la fórmula de la cual no estaba seguro, de una forma más sencilla como lo había imaginado en el primer momento.
De manera que la fuerza me queda;$\boxed{F=\frac{am}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+\frac{v^2ma}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}c^2}= \gamma^3 m a}$

Este es un resultado conocido. Ahora bien, fíjate que esta expresión no será válida cuando la fuerza y la velocidad no tengan la misma dirección. La expresión que has puesto tu con escalares es un poco sutil cuando se trata con vectores. En particular, ten en cuenta que la derivada del cuadrado de un vector se debe hacer como la derivada de un producto escalar, $\frac{\dd}{\dd t} v^2 = \frac{\dd}{\dd t} (\vec v \cdot \vec v) = 2 \vec a \cdot \vec v$. El resultado (lo tienes en los formularios que te puse) seria similar a

$$\vec F = m \gamma \vec a + \frac1{c^2} m \gamma^3 (\vec v \cdot \vec a) \vec v .$$

Este es uno de los resultados sorprendentes de la relatividad. Resulta que la aceleración no es paralela a la fuerza que la causa (excepto en el caso unidimensional que hicimos antes; en general, la aceleración será paralela a la fuerza si ésta lo es a la velocidad). Además, tampoco hay una constante de proporcionalidad que relacione la fuerza y la aceleración; la relación entre fuerza y aceleración causada es muy complicada, depende de la velocidad y de la dirección de la fuerza.

No entiendo muy bien este comentario. Por una parte, la relatividad especial contempla los objetos cuando estos se desplazan a velocidades uniformes, relativistas pero uniformes. ¿estoy entrando en el terreno de la relatividad general? ¿tiene lo que mencionas en este párrafo relación con las anomalías que se habían observado en la órbita de mercurio y que Einstein explicó por primera vez? ¿Sí la expresión obtenida no es válida cuando fuerza y aceleración no tienen la misma dirección, cuál sería la valida en ese caso?
Quizá estas preguntas están fuera del tema de este hilo y convendría ponerlas en otro hilo aparte.
Saludos y gracias.

[saturno]

Re: Duda sobre la fuerza en mecánica relativista.

La idea de encasillar la relatividad especial con movimientos uniformes es un fallo que leo muy asiduamente en la red... Quizá un remanente de la relatividad galileana.

En el libro de relatividad de Hartle se explica de forma muy sencilla como los movimientos acelerados pueden definirse en relatividad especial, asi como transformaciones entre sistemas acelerados. No recuerdo si era en el capítulo 3,4 o 5, quizá te sirva.

[Weip]

Re: Duda sobre la fuerza en mecánica relativista.

Hola.

No entiendo muy bien este comentario. Por una parte, la relatividad especial contempla los objetos cuando estos se desplazan a velocidades uniformes, relativistas pero uniformes. ¿estoy entrando en el terreno de la relatividad general?

No entras en relatividad general, en relatividad especial también se pueden tratar objetos con aceleración como dice saturno. Es posible que te sea útil este enlace que habla de las coordenadas de Rindler. Fíjate que en el enlace aclara que el espaciotiempo es de Minkowski (es decir, plano).

[inakigarber]

Re: Duda sobre la fuerza en mecánica relativista.

La idea de encasillar la relatividad especial con movimientos uniformes es un fallo que leo muy asiduamente en la red... Quizá un remanente de la relatividad galileana.

En el libro de relatividad de Hartle se explica de forma muy sencilla como los movimientos acelerados pueden definirse en relatividad especial, asi como transformaciones entre sistemas acelerados. No recuerdo si era en el capítulo 3,4 o 5, quizá te sirva.

Yo siempre había pensado, tal vez equivocadamente, que la relatividad especial se limitaba a los cuerpos a velocidades relativistas con movimiento uniforme. Por tanto sin aceleración. Desconozco el libro que mencionas.
Saludos,

- - - Actualizado - - -

Hola.

No entras en relatividad general, en relatividad especial también se pueden tratar objetos con aceleración como dice saturno. Es posible que te sea útil este enlace que habla de las coordenadas de Rindler. Fíjate que en el enlace aclara que el espaciotiempo es de Minkowski (es decir, plano).

No me ha aclarado mucho y me ha suscitado una duda, ¿porque en un movimiento uniformemente acelerado lleva una trayectoria de movimiento hiperbólico?
Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Re: Duda sobre la fuerza en mecánica relativista.

Yo siempre había pensado, tal vez equivocadamente, que la relatividad especial se limitaba a los cuerpos a velocidades relativistas con movimiento uniforme. Por tanto sin aceleración.

yo recuerdo estos hilos donde se hablaba de al menos aceleración centripeta

http://forum.lawebdefisica.com/threa...-SR-acelerados

y

http://forum.lawebdefisica.com/threa...uesta-a-prueba

se que hay mas cuando los halle te los paso


Saludos

[Alriga]

Re: Duda sobre la fuerza en mecánica relativista.

... ¿porque en un movimiento uniformemente acelerado lleva una trayectoria de movimiento hiperbólico? ...

No lo sé exactamente, pero no me extraña, porque el signo negativo del tiempo en el elemento de longitud del espaciotiempo, $ds^2=-dt^2 + dx^2$ hace que en Relatividad Especial las hipérbolas en el espaciotiempo de Minkowski salgan como setas, (recuerda que una ecuación del tipo $x^2-y^2=k$ es siempre una hipérbola)

Sobre la proliferación de hipérbolas en R.E., puedes echarle un vistazo a Paradoja” de los gemelos para gummies

Saludos.

[pod]

Re: Duda sobre la fuerza en mecánica relativista.

Yo siempre había pensado, tal vez equivocadamente, que la relatividad especial se limitaba a los cuerpos a velocidades relativistas con movimiento uniforme. Por tanto sin aceleración. Desconozco el libro que mencionas.

Stricto sensu, la relatividad especial es aplicable a observadores inerciales. Es decir, aquellos que se mueven a velocidad constante respecto de otro observador inercial. El observador inercial puede observar cuerpos que tengan cualquier tipo de movimiento, acelerado o no. La única limitación está en el movimiento del observador, no del cuerpo observado. Un observador inercial puede predecir con toda precisión el movimiento de una partícula acelerada, por ejemplo: esto se hace rutinariamente en los aceleradores de partículas. Hasta donde un humilde servidor sabe, no utilizan RG para controlar los haces de partículas.

Luego, lo que apunta saturno (y en otros hilos lo apuntaba carroza), es que uno puede dividir un movimiento acelerador en una sucesión (potencialmente infinita) de movimientos uniformes. De la misma manera, podemos tratar un observador no inercial en relatividad especial como una sucesión de observadores inerciales. Ello permite perfectamente hacer cálculos en base a observadores no inerciales en relatividad especial. Sinceramente, desconozco el grado en que esta técnica se aproxima a los resultados de la relatividad general; intuyo (sin más justificación) que serán aceptables si se trata de fenómenos bastante locales y con aceleración baja. Quizá el libro que comentaba saturno contenga más detalles sobre la validez de la aproximación.

[inakigarber]

Re: Duda sobre la fuerza en mecánica relativista.

Stricto sensu, la relatividad especial es aplicable a observadores inerciales. Es decir, aquellos que se mueven a velocidad constante respecto de otro observador inercial. El observador inercial puede observar cuerpos que tengan cualquier tipo de movimiento, acelerado o no. La única limitación está en el movimiento del observador, no del cuerpo observado. Un observador inercial puede predecir con toda precisión el movimiento de una partícula acelerada, por ejemplo: esto se hace rutinariamente en los aceleradores de partículas. Hasta donde un humilde servidor sabe, no utilizan RG para controlar los haces de partículas.

Muchas gracias por tu respuesta. Aclara algunas cuestiones, pero sigo teniendo dudas.
Supongamos que soy el piloto de una nave tal como la de la figura y que tu eres un observador en reposo. La nave avanza hacia adelante (en sentido horizontal y hacia la derecha según tu sistema de referencia) y con una aceleración en la misma dirección que la velocidad. Yo sentiré una fuerza que tiende a encajarme en el asiento.
Según la física clásica podría incrementar mi velocidad teóricamente hasta el $=\infty$, de manera que que tú me verías en cada instante desplazandome a mayor velocidad, pero siempre hacia tu derecha y a la misma altura.
Sin embargo la relatividad nos pone un límite, no podemos alcanzar el valor de c, necesitaríamos una energía y una fuerza $=\infty$, de manera que tú me verías acelerando cada vez más despacio (aunque yo en mi nave sintiera la misma fuerza sobre el asiento que cuando viajaba a velocidades no relativistas) además de cambios de forma y de color a consecuencia de las rotaciones de Terrell Penrose y del efecto Doppler [si bien este último también está contemplado en la física clásica, aunque con matices], pero si en relatividad el movimiento uniforme sigue una trayectoria hiperbólica, entonces en tu sistema de referencia ¿no debería alejarme de la horizontal?, si fuera así, desde tu sistema de referencia mi vector aceleración no apuntaría en la misma dirección que mi vector velocidad. De manera que en tu sistema de referencia yo estaría subiendo (por ejemplo) ¿como podría ser que en tu sistema de referencia estuviera ganando altura y yo no lo notara? Debo estar equivocandome en algo. Yo también te vería desde mi ventana los mismos efectos respecto a los objetos que están en tu sistema de referencia.

Luego, lo que apunta saturno (y en otros hilos lo apuntaba carroza), es que uno puede dividir un movimiento acelerador en una sucesión (potencialmente infinita) de movimientos uniformes. De la misma manera, podemos tratar un observador no inercial en relatividad especial como una sucesión de observadores inerciales. Ello permite perfectamente hacer cálculos en base a observadores no inerciales en relatividad especial. Sinceramente, desconozco el grado en que esta técnica se aproxima a los resultados de la relatividad general; intuyo (sin más justificación) que serán aceptables si se trata de fenómenos bastante locales y con aceleración baja....

Parece lógico poder expresar un movimiento uniformemente acelerado como una sucesión infinita de movimientos uniformes.
Saludos y gracias.