Divulgación Consulta sobre métrica y curvatura en relatividad

[inakigarber]

Buenas tardes;
leyendo un capítulo de esta serie dedicado a las ondas gravitacionales, pongo el enlace a la serie completa porque me parece interesante, aunque supongo que muchos ya la conoceréis.

En el libro correspondiente a las ondas gravitacionales menciona el concepto de curvatura. Entiendo que cuando se habla de curvatura $K=0$ estamos hablando de un espacio euclidiano. En este caso la suma de los tres ángulos de un triángulo dará $\alpha+\beta+\gamma=\pi$, en un espacio de forma de bocina de trompeta (creo que se llama de Lovachevsky)$\alpha+\beta+\gamma<\pi$ y en un espacio esférico $\alpha+\beta+\gamma>\pi$, creo que en el primer caso se dice que la curvatura es negativa y en el segundo positiva. Creo que en lo que he dicho estoy en lo cierto, pero no estoy seguro, me gustaría saberlo.

Pero donde ya me pierdo es cuando dice en el siguiente párrafo, porque no termino de entender porque se puede requerir más de un número.
"Estamos ya listos para definir la curvatura de Riemann...En tal caso, la curvatura de Riemann no está caracterizada por un solo número sino por varios; cuántos de estos números se requerirán dependerá de la dimensionalidad del espacio y de su geometría intrínseca, es decir, de su métrica."

En el caso de un espacio esférico o de un espacio cilíndrico ¿bastaría con un solo número? ¿Hay algún caso en que la curvatura esté determinada por un número complejo?

Saludos y gracias.

[Weip]

Re: Consulta sobre métrica y curvatura en relatividad

Hola inakigarber.

Entiendo que cuando se habla de curvatura $K=0$ estamos hablando de un espacio euclidiano.

No necesariamente. Para entender esto voy a explicar qué es $K$. Dejo la siguiente imagen porque lo que explicaré es algo muy visual y mejor si tienes la imagen delante:

Lo primero de todo es que $K$ es la llamada curvatura de Gauss, y mide la curvatura intrínseca de una superfície. Por tanto solo sirve para dimensión 2: plano euclídeo, esferas, cilindros, toros, plano hiperbólico etc. En dimensiones superiores la curvatura es más complicada, más tarde me explayaré en esto. Sobre qué es $K$ geométricamente hemos de imaginar una superfície en $\mathbb{R}^3$ (*) y el objetivo será calcular la curvatura en un punto $p$ de la superfície. Consideramos todos los planos que contienen el vector normal en $p$. La intersección de cada plano normal con la superfície es una curva que tendrá su propia curvatura. Llamaremos curvaturas principales a la curvatura máxima y mínima de entre todas las curvas que hemos obtenido y les ponemos como nombres $k_1$ y $k_2$. A partir de aquí uno estaría tentado a definir la curvatura como la media de las curvaturas principales, pero se puede demostrar que ese nuevo objeto, que se llama curvatura media $H$, no es intrínseco a la superfície. Vamos, que no se puede medir desde dentro de la superfície solamente. Resulta que la medida correcta de la curvatura es una cantidad sutil, la curvatura de Gauss $K=k_1k_2$, que es el producto de las curvaturas principales. El famoso Teorema Egregium de Gauss afirma que $K$ es intrínseca, esto es, que midiendo longitudes y ángulos desde dentro de la superfície se puede determinar el valor de $K$ en un punto. Realmente es un teorema sorprendente pues las curvaturas principales son cantidades extrínsecas, pero su producto es intrínseco. Haciendo todo este procedimiento para todos los puntos se obtiene una función que llamamos de la misma manera, la curvatura de Gauss $K$.

Calculando se puede ver que, efectivamente, la curvatura de Gauss del plano euclídeo es cero. La de la esfera es constate positiva y la del plano hiperbólico constante negativa. Casos como el toro tienen puntos de curvatura positiva, nula y negativa. Vamos ahora con el ejemplo que me interesa, el cilindro. Si consideras un punto cualquiera del cilindro y miras las dos direcciones principales te darás cuenta que una es una recta y la otra una circunferencia. La primera curva tiene curvatura cero, al fin y al cabo es una recta. Así pues $k_1=0$. La segunda curva es una circunferencia y tiene curvatura constante positiva $k_2$. Ahora si calculamos la curvatura de Gauss obtenemos $K=k_1k_2=0\cdot k_2=0$. Por tanto, el cilindro tiene curvatura $K=0$ en todos sus puntos, y obviamente un cilindro no es un plano euclídeo. Así pues el plano euclídeo tiene curvatura nula, pero una superfície con $K=0$ no tiene porqué ser el plano euclídeo. Llegados a este punto surge una pregunta natural: ¿Y qué distingue, geométricamente, un cilindro de un plano euclídeo? Si nos enfocamos en la cuestión de la curvatura entonces lo que desempata es la curvatura media: El cilindro tiene $H \neq 0$ pero el plano euclídeo tiene $H=0$. Así pues tenemos varias clases de puntos dependiendo de cuál sea su curvatura:

-El punto se dice parabólico si $K=0$ pero $H\neq 0$.
-El punto se dice plano si $K=H=0$.

Además también hacemos las siguientes distinciones:

-El punto se dice elíptico si $K>0$.
-El punto se dice hiperbólico si $K<0$.

(*) Realmente no hace falta que la superfície esté metida en $\mathbb{R}^3$ para poder calcular su curvatura pero prefiero hacerlo así para que tengas la intuición geométrica. Y todo sea dicho que si no hay espacio de dimensión superior la curvatura tiene una fórmula monstruosa y no nos queremos meter en eso.

Pero donde ya me pierdo es cuando dice en el siguiente párrafo, porque no termino de entender porque se puede requerir más de un número.
"Estamos ya listos para definir la curvatura de Riemann...En tal caso, la curvatura de Riemann no está caracterizada por un solo número sino por varios; cuántos de estos números se requerirán dependerá de la dimensionalidad del espacio y de su geometría intrínseca, es decir, de su métrica."

Si la curvatura de Gauss es sutil, el tensor de Riemann lo es infinitamente más. Es por ello que no hablaré de su interpretación geométrica, si estás interesado puedes leer un pequeño resumen que hice aquí, pero meternos en el transporte paralelo quizás requeriría un mensaje demasiado extenso. Aún así responderé tu pregunta directamente sin tener la interpretación geométrica en la cabeza. Decir que esto es en el caso de dimensión cuatro o superior. En dimensiones inferiores la curvatura es más simple.

Cuando quieres saber la curvatura de una función real $f(x)$, esto es, si es cóncava o convexa y en qué intervalos, lo que sueles hacer es calcular la segunda derivada $f''(x)$. La curvatura de las curvas funciona igual, y está muy relacionada con la aceleración de la curva, que es una segunda derivada. Con la curvatura de Gauss pasa algo parecido y lo que quiero decir es que, en dimensiones superiores, se tiene exactamente lo mismo: La curvatura de Riemann es una combinación de segundas derivadas covariantes. La derivada covariante es un asunto en el que tampoco voy a entrar pero quédate con que es la forma que tenemos de derivar en una variedad de dimensión cualquiera. Resulta que si queremos combinar estas segundas derivadas para describir la curvatura entonces necesariamente acabamos teniendo un objeto bastante complicado que ni siquiera es una función, es un tensor, y lo llamamos tensor de Riemann. En cuatro dimensiones que es lo habitual en Relatividad General tiene 256 componentes y lo puedes ver como una especie de matriz de cuatro dimensiones.

Así que el motivo por el cuál necesitamos 256 números para describir la curvatura en dimensión cuatro es porque la derivada covariante es un objeto complicado también, más que una derivada normal y corriente. Pero las derivadas de toda la vida no están disponibles en este contexto así que es lo que hay.

Remarcar que el tensor de Riemann se utiliza para dimensiones cuatro o superiores. En el caso de dimensión tres la curvatura está determinada por el tensor de Ricci, con muchas menos componentes que el tensor de Riemann, y en dimensión $1$ y $2$ basta un número por lo que he explicado en párrafos anteriores.

En el caso de un espacio esférico o de un espacio cilíndrico ¿bastaría con un solo número? ¿Hay algún caso en que la curvatura esté determinada por un número complejo?

Ya lo he explicado antes pero quiero remarcarlo. En el caso de una esfera o de un cilindro sí, solo requieren de un número, pues tienen dimensión $2$ y entonces su curvatura viene caracterizada por la curvatura de Gauss $K$. Esta curvatura es siempre real, no puede ser un número complejo por el hecho que las curvaturas de las curvas que surgen cuando intersecas los planos normales con la superfície son reales. Es decir, si dibujas una curva en un papel, verás que su curvatura es real, no compleja, y esto se hereda también en las superfícies.

Espero haberte ayudado.

[Alriga]

Re: Consulta sobre métrica y curvatura en relatividad

Iñaki, sobre este tema probablemente te interesará leer Curvatura del espacio-tiempo

Saludos.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre métrica y curvatura en relatividad

Gracias por vuestra ayuda.

….
Calculando se puede ver que, efectivamente, la curvatura de Gauss del plano euclídeo es cero. La de la esfera es constate positiva y la del plano hiperbólico constante negativa. Casos como el toro tienen puntos de curvatura positiva, nula y negativa. Vamos ahora con el ejemplo que me interesa, el cilindro. Si consideras un punto cualquiera del cilindro y miras las dos direcciones principales te darás cuenta que una es una recta y la otra una circunferencia. La primera curva tiene curvatura cero, al fin y al cabo es una recta. Así pues $k_1=0$. La segunda curva es una circunferencia y tiene curvatura constante positiva $k_2$. Ahora si calculamos la curvatura de Gauss obtenemos $K=k_1k_2=0\cdot k_2=0$. Por tanto, el cilindro tiene curvatura $K=0$ en todos sus puntos, y obviamente un cilindro no es un plano euclídeo. Así pues el plano euclídeo tiene curvatura nula, pero una superfície con $K=0$ no tiene porqué ser el plano euclídeo. Llegados a este punto surge una pregunta natural: ¿Y qué distingue, geométricamente, un cilindro de un plano euclídeo? Si nos enfocamos en la cuestión de la curvatura entonces lo que desempata es la curvatura media: El cilindro tiene $H \neq 0$ pero el plano euclídeo tiene $H=0$. Así pues tenemos varias clases de puntos dependiendo de cuál sea su curvatura:

-El punto se dice parabólico si $K=0$ pero $H\neq 0$.
-El punto se dice plano si $K=H=0$.

Además también hacemos las siguientes distinciones:

-El punto se dice elíptico si $K>0$.
-El punto se dice hiperbólico si $K<0$….

Veo que el tema es más complejo de lo que pensaba y me costará entenderlo, si lo alcanzo a entender.

Entiendo que si dibujara un triángulo en la cara curva del cilindro, la suma de sus ángulos también me daría $\pi$, al igual que en un plano euclídeo, $K=0$, en tanto que en una superficie esférica la suma será mayor que $\pi$, y en un plano de Lobachevsky será menor. De esta manera, me queda claro que el plano euclídeo no es la única situación geométrica en que la suma de los ángulos de un triángulo vale $\pi$ o en que la relación de una circunferencia con su radio sea $l=2\pi r$, como había creído entender hasta ahora.