Divulgación Diferencia entre covariancia y contravariancia

[inakigarber]

Buenas noches, repasando algunos aspectos relativos a los principios del calculo tensorial en la relatividad en este foro, creo que los principios básicos que aparecen los entiendo bastante bien, pero me pierdo cuando cuándo empieza a mencionar los conceptos de vector covariante y contravariante y no consigo ver el fundamento físico de la cuestión. ¿Son estos conceptos exclusivos de la relatividad general? ¿existen en otras ramas de la física como relatividad especial, clásica o cuántica por ejemplo?
¿Hay alguna forma sencilla de entenderlos?

Saludos y gracias.

[Weip]

Re: Consulta sobre diferencia entre covarianza y contravarianza.

De éste tema se han escrito ríos de tinta. Usualmente se enseñan de forma hiper confusa y las explicaciones teóricas no siempre ayudan así que intentaré dar un "eslogan" de lo que es un vector contravariante y un vector covariante e intentaré dar luego la argumentación pesada. Lo que te tienes que quedar es con este titular:

-Vector Contravariante = Vector columna, el de toda la vida. Su índice que indica las componentes va arriba: $v^{\mu}$.

-Vector Covariante = Vector fila. Su índice que indica sus componentes va abajo: $v_{\mu}$.

Dicho esto, vamos al meollo. Contestando a tu pregunta, estos conceptos son exclusivos de la relatividad en tanto que hemos de tratar con la geometría del espaciotiempo y necesitamos hablar de vectores. En otros sitios como en la teoría cuántica de campos también se usan porque los vectores en el espaciotiempo también juega un papel. Así que todo lo que tenga que ver con vectores, incluido todo lo que es la física elemental, tiene que ver con la covarianza y la contravarianza. Lo que pasa es que hasta ahora hablar en estos términos no era lo más adecuado. Un follón más que otra cosa si ves la jungla de índices que hay ahí fuera. Pero es lo que hay.

De forma teórica, un vector contravariante no deja de ser un vector de toda la vida que pertenece a un espacio vectorial de dimensión finita $V$. Es una flecha, ni más ni menos, así que los vectores contravariantes no dan miedo. Ahora, la historia viene con los vectores covariantes. Éstos son 1-formas lineales o covectores, y son vectores del espacio dual $V^*$. Si te suena el espacio dual entonces bien pero si no dímelo e intentaré explicarlo en otro mensaje; no lo haré ahora porque es otro meollo en el que no quiero meterme. En todo caso el espacio vectorial $V$ es isomorfo a $V^*$ así que en el fondo los vectores contravariantes y covariantes son "lo mismo", de ahí la palabra dualidad.

La explicación hasta hora se ha movido por los entornos del álgebra. Pero la relatividad está formulada en términos geométricos, así que vamos para allí. Ahora tenemos una variedad que es el espaciotiempo $M$ y en cada punto $p$ tenemos asignado el espacio tangente $T_pM$. Hace el papel de $V$. Éste espacio es la generalización a dimensiones superiores de la ya conocida recta tangente a un punto en la gráfica de una función. Dejo dibujo aquí del espacio tangente para que se entienda mejor.

Todos los vectores de $T_pM$ son vectores contravariantes. Su dual es llamado espacio cotangente $T_p^*M$ y sus vectores son covariantes (también son llamados formas diferenciales en textos de matemáticas). Hace el papel de $V^*$. Teniendo una métrica en el espaciotiempo podemos pasar de una descripción a otra. Si tienes un vector contravariante podemos obtener un vector covariante aplicando la regla:

$v_{\mu}=g_{\mu \nu}v^{\nu}$

Donde $g_{\mu \nu}$ es la métrica del espaciotiempo. De la misma forma podemos pasar de un vector covariante a un vector contravariante aplicando la matriz inversa:

$v^{\mu}=g^{\mu\nu}v_{\nu}$

A esto se le llama "subir y bajar índices" en los libros. Fíjate que al escribir operaciones con vector covariantes, contravariantes y tensores de más rango (matrices en este caso) el eslogan que te he explicado al principio no acaba de funcionar bien por el tema de las dimensiones de los vectores y las matrices. Pero la idea es la de hacer la traspuesta así que al menos quédate con ella a nivel intuitivo.

Notas y observaciones:

-En éste mensaje he dado más prioridad a la idea que a los detalles. Leyéndome se podría objetar que lo que son covariantes o contravariantes no son los vectores sino sus componentes. Aún sindo cierto como es una cuestión de lenguaje he preferido dejarla de lado.

-La explicación también me ha quedado con un gusto más de matemáticas que de física. Dado el background que tengo no me sé explicar en términos más físicos si se puede decir así pero este tema es tratado de forma muy calculística y algebraica en los textos de RG así que tampoco se me ocurre otra forma de hacerlo. Podría poner ejemplos como el potencial electromagnético que se puede pensar como un vector o como una forma diferencial pero no sé hasta que punto es complicarse.

Espero haberte ayudado.

[Richard R Richard]

Re: Consulta sobre diferencia entre covariancia y contravariancia.

De lo que creo haber entendido la RG , me ha quedado una idea de como explicar la contravariancia y la covariancia. Primero supongamos que estamos en un espacio plano , el euclídeo de toda la vida, elegimos medir un objeto en un punto P cualquiera y medimos una variable asociada a la geometría como la posicion, distancia, velocidad , aceleración etc y la llamamos V que sera nuestro vector contravariante, si dejamos que objeto se mueva a otro punto Q y efectuamos la misma medición obtenemos otro vector V* sera nuestro covariante.

Cuando el espacio es plano V y V* coinciden son lo mismo, si asigno un modulo a ese vector sera D . Pero podemos pensar que V es lo que mido en un espacio plano tangente que pasa por P del espacio euclídeo y V* es lo que mide alguien en un espacio plano tangente que pasa por Q del mismo espacio euclídeo. El espacio plano tangente se usa para afirmar que las mediciones se hacen en un espacio PLANO LOCAL. Ambos miden la misma misma magnitud "D".

En este caso la métrica del espacio es una simple delta de kronecker una diagonal de unos y el resto ceros.

Ahora pasemos al espaciotiempo la métrica plana la tiene el espacio de Minkowski... en él es valido todo lo anterior para explicar que cada espacio Local plano tangente tambien es un espacio de Minkowski donde es valida la RE....de nuevo lo que haría alguien para comparar los vectores de los puntos P y Q es comparar V y V* de nuevo la relación entre los vectores la da la métrica que es también es una Delta de Kronecker. (La coordenada temporal tiene un -1 o bien signo contrario alas espaciales)De nuevo ambos miden la misma misma magnitud D.(el módulo de vector se calcula multiplicando por su metrica)

Bueno vayamos ahora a un espacio curvo de la RG.. la pregunta que nos hacemos es... medimos una variable V aqui en P como nuestro espacio Local es plano medimos magnitud D... pero cuanto mide ese vector V* que esta en Q si lo mido desde P???
,si lo mido en Q, para un observador en Q como el espacio local es plano entonces mide D ... Pero como convierto la medida local del Vector V* a la medida local de V para compararlos? bueno como antes a través de la métrica...lo único que ahora la métrica de los espacios curvos no es una delta de Kronecker, sino mas bien expresiones mas o menos complejas como las de Schwarzchild, FRLW etc. cuya diagonal ya no son solo 1, por lo que por lo general si P mide D no necesariamente P vera que Q mide D para el mismo objeto.

Luego V y V* son dos medidas del mismo vector es dos lugares diferentes del mismo espacio, la que corresponde a nuestro espacio local la llamamos contravariante y a la del otro "observador" covariante.

La relación es la que marca Weip $v_{\mu}=g_{\mu \nu}v^{\nu}$ donde los $g_{ij}$ de $g_{\mu \nu}$ serian los elementos de una matriz que representa la métrica de ese espacio curvo.

Que significa esto, no es necesario entender que hay dos observadores, uno solo basta, ejemplo ....si yo mido una vara de 1 metro en el Punto P de un espacio curvo y digo que localmente mide 1 metro, si me voy a Q con esa Vara y la mido allí veo que localmente también mide 1 metro. Ahora me vuelvo a P y vuelvo a medir la Vara que deje en Q y ahora como el plano tangente del espacio en P no es el mismo que el de Q mi medida de la vara será diferente.

Como transformar una medida en la otra con la relación antes dada.

Pero claro las relación entre derivadas como velocidades aceleraciones, para transformar unas en las otras no se hace de una manera directa, puesto al derivar no solo hay que derivar los vectores, sino a la multiplicación de estos por la métrica... de los que sale toda un álgebra que explica como hacer la derivada covariante y también como transformar vectores entre una y otra base así como también transforman Tensores de cualquier rango y grado entre esas bases, como por ejemplo tensores de grado 2 del electromagnetismo ,o bien como dije uno que es un simple vector distancia de grado 1. Pero para explicar las aceleraciones como la de gravedad no hay otra que involucrarse con tensores de grado 2 ....

Tondo esto lleva a que mediante un espacio curvo se puede explicar la trayectoria de objetos en órbita gravitacional porque siguen una geodesia de ese espacio tiempo, que en realidad es explicar el MRU en un espacio curvo... ya que la geodesia es la "recta" de ese espacio curvo...luego la masa o la energía lo único que hace es darle forma a ese espacio, entonces los objetos o esas masas se mueven siguiendo las "rectas curvas"(geodesias) de ese espacio curvo.

Bueno espero haber dicho o afirmado la menor cantidad posible de sandeces y haberte aportado algo de luz , en un tema que cobrarían cima.

[Alriga]

Re: Diferencia entre covariancia y contravariancia

Consulta sobre diferencia entre covarianza y contravarianza

Iñaki te hago una corrección ortográfica en el título, observa que tu consulta debería haber sido sobre la diferencia entre covariancia y contravariancia, ya que la covarianza es un indicador estadístico y la "contravarianza" ni siquiera existe

Saludos.

[carroza]

Re: Consulta sobre diferencia entre covarianza y contravarianza.

De éste tema se han escrito ríos de tinta. Usualmente se enseñan de forma hiper confusa y las explicaciones teóricas no siempre ayudan así que intentaré dar un "eslogan" de lo que es un vector contravariante y un vector covariante e intentaré dar luego la argumentación pesada. Lo que te tienes que quedar es con este titular:

-Vector Contravariante = Vector columna, el de toda la vida. Su índice que indica las componentes va arriba: $v^{\mu}$.

-Vector Covariante = Vector fila. Su índice que indica sus componentes va abajo: $v_{\mu}$.

Un ejemplito físico de esto: Si quieres representar la posición de la partícula en un instante dado, puedes usar el cuadrivector contravariante

$x^\mu = \left(<br /> \begin{array}{c}<br /> ct \\ x \\ y \\ z \end{array}\right)$.



O también (en un espacio tiempo plano), por el cuadrivector covariante

$x_\mu = \left(<br /> \begin{array}{cccc}<br /> -ct & x & y & z \end{array}\right)$

(Fijate en el signo de ct, que viene del tensor métrico). La gracia de esto es que a partir de ambos puedes construir un escalar

$x_\mu x^\mu = -c^2 t^2 + x^2 + y^2 +z^2$

que es invariante frente a transformaciones de Lorentz (rotaciones, y cambios de la velocidad del sistema de referencia).

Un saludo

[inakigarber]

Re: Diferencia entre covariancia y contravariancia

Buenas noches,

Gracias por vuestra ayuda, tengo un monton de dudas, a ver si voy aclarándolas.

Iñaki te hago una corrección ortográfica en el título, observa que tu consulta debería haber sido sobre la diferencia entre covariancia y contravariancia, ya que la covarianza es un indicador estadístico y la "contravarianza" ni siquiera existe

Saludos.

No me habia dado cuenta de ese error, procuraré tenerlo en cuenta para próximas ocasiones.

- - - Actualizado - - -

….
-Vector Contravariante = Vector columna, el de toda la vida. Su índice que indica las componentes va arriba: $v^{\mu}$.

-Vector Covariante = Vector fila. Su índice que indica sus componentes va abajo: $v_{\mu}$.

Ha quedado muy claro, como más adelante ha confirmado Carroza.

Me salen dudas cuando dices;

Si tienes un vector contravariante podemos obtener un vector covariante aplicando la regla:



$v_{\mu}=g_{\mu \nu}v^{\nu}$

Donde $g_{\mu \nu}$ es la métrica del espaciotiempo. De la misma forma podemos pasar de un vector covariante a un vector contravariante aplicando la matriz inversa:



$v^{\mu}=g^{\mu\nu}v_{\nu}$

A esto se le llama "subir y bajar índices" en los libros. Fíjate que al escribir operaciones con vector covariantes, contravariantes y tensores de más rango (matrices en este caso) el eslogan que te he explicado al principio no acaba de funcionar bien por el tema de las dimensiones de los vectores y las matrices. Pero la idea es la de hacer la traspuesta así que al menos quédate con ella a nivel intuitivo.

Bien, empezare por la primera expresión; $v_{\mu}=g_{\mu \nu}v^{\nu}$. a ver si lo he entendido. Hay un índice que se repite $\nu$, por tanto es una sumatoria segun la notación de Einstein. Para un valor $n=4$, el sumatorio se desarrollaría.
$g_{u1}v^1+g_{u2}v^2+g_{u3}v^3+g_{u4}v^4$, para unos valores $u=1,2,3,4$ y haciendo $g_{uv}=0 \mapsto\ \ u\neq v$ y $g_{uv}=1 \mapsto\ \ u=v$, obtendría un vector del tipo; $v_1+v_2+v_3+v_4=v_{\nu}$ esto lo hago suponiendo el elemento $g_{\mu \nu}$ como el delta de Kronecker, es decir, cada uno de los elementos de esta matriz, $G=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0& 0& 1& 0\\0& 0& 0& 1&\end{pmatrix}$

Sin embargo, me pierdo cuando en el paso siguiente mencionas $v^{\mu}=g^{\mu\nu}v_{\nu}$

- - - Actualizado - - -

...
De forma teórica, un vector contravariante no deja de ser un vector de toda la vida que pertenece a un espacio vectorial de dimensión finita $V$. Es una flecha, ni más ni menos, así que los vectores contravariantes no dan miedo. Ahora, la historia viene con los vectores covariantes. Éstos son 1-formas lineales o covectores, y son vectores del espacio dual $V^*$. Si te suena el espacio dual entonces bien pero si no dímelo e intentaré explicarlo en otro mensaje; no lo haré ahora porque es otro meollo en el que no quiero meterme. En todo caso el espacio vectorial $V$ es isomorfo a $V^*$ así que en el fondo los vectores contravariantes y covariantes son "lo mismo", de ahí la palabra dualidad.
...

Si son "lo mismo" debe haber alguna diferencia entre ambos.

- - - Actualizado - - -

...
Bueno vayamos ahora a un espacio curvo de la RG.. la pregunta que nos hacemos es... medimos una variable V aqui en P como nuestro espacio Local es plano medimos magnitud D... pero cuanto mide ese vector V* que esta en Q si lo mido desde P???
,si lo mido en Q, para un observador en Q como el espacio local es plano entonces mide D ... Pero como convierto la medida local del Vector V* a la medida local de V para compararlos? bueno como antes a través de la métrica...lo único que ahora la métrica de los espacios curvos no es una delta de Kronecker, sino mas bien expresiones mas o menos complejas como las de Schwarzchild, FRLW etc. cuya diagonal ya no son solo 1, por lo que por lo general si P mide D no necesariamente P vera que Q mide D para el mismo objeto.

Luego V y V* son dos medidas del mismo vector es dos lugares diferentes del mismo espacio, la que corresponde a nuestro espacio local la llamamos contravariante y a la del otro "observador" covariante.

La relación es la que marca Weip $v_{\mu}=g_{\mu \nu}v^{\nu}$ donde los $g_{ij}$ de $g_{\mu \nu}$ serian los elementos de una matriz que representa la métrica de ese espacio curvo.
....

Tanto en la métrica Euclidiana como en la de Minkowsky todos los elementos externos a la diagonal son nulos, en las métricas de la R.G ¿siguen siéndolo?
No entiendo el significado de la segunda frase.

[Weip]

Re: Diferencia entre covariancia y contravariancia

Bien, empezare por la primera expresión; $v_{\mu}=g_{\mu \nu}v^{\nu}$. a ver si lo he entendido. Hay un índice que se repite $\nu$, por tanto es una sumatoria segun la notación de Einstein. Para un valor $n=4$, el sumatorio se desarrollaría.
$g_{u1}v^1+g_{u2}v^2+g_{u3}v^3+g_{u4}v^4$, para unos valores $u=1,2,3,4$ y haciendo $g_{uv}=0 \mapsto\ \ u\neq v$ y $g_{uv}=1 \mapsto\ \ u=v$, obtendría un vector del tipo; $v_1+v_2+v_3+v_4=v_{\nu}$ esto lo hago suponiendo el elemento $g_{\mu \nu}$ como el delta de Kronecker, es decir, cada uno de los elementos de esta matriz, $G=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0& 0& 1& 0\\0& 0& 0& 1&\end{pmatrix}$

Cuidado porque $v_{\mu}$ no es suma de sus componentes $v_1$, $v_2$, $v_3$, $v_4$. Lo que es correcto es $v_{\mu}=g_{\mu1}v^1+g_{\mu2}v^2+g_{\mu3}v^3+g_{\mu4}v^4$. Es decir:

$v_{1}=g_{11}v^1+g_{12}v^2+g_{13}v^3+g_{14}v^4$
$v_{2}=g_{21}v^1+g_{22}v^2+g_{23}v^3+g_{24}v^4$
$v_{3}=g_{31}v^1+g_{32}v^2+g_{33}v^3+g_{34}v^4$
$v_{4}=g_{41}v^1+g_{42}v^2+g_{43}v^3+g_{44}v^4$

Con lo cuál obtenemos un vector fila $\left(\begin{array}{cccc}v_1 & v_2 & v_3 & v_4 \end{array}\right)$. Ahora, permíteme unos comentarios sobre la notación que has utilizado:

-Es conveniente que uses los subíndices $\mu$, $\nu$ y no $u$, $v$ porque la convención es que los índices griegos van de a $3$ (de $1$ a $4$ si lo quieres aunque no es tan habitual) y que los índices latinos vayan de $1$ a $3$.

-Está bien que uses la métrica euclídea pero aconsejo trabajar con la métrica de Minkowski para irte acostumbrando a estas cosas porque a la práctica cuándo hagas RG las métricas que utilizarás no serán definidas positivas. No es un detalle menor, ésta característica es la que encierra la idea del tiempo como dimensión y de ahí se deriva la causalidad. Si usas una métrica euclídea estás pensando $\mathbb{R}^4$ como un espacio de cuatro dimensiones. Si usas la métrica de Minkowski estarás pensando $\mathbb{R}^4$ como un espaciotiempo de dimensión $3+1$.

Sin embargo, me pierdo cuando en el paso siguiente mencionas $v^{\mu}=g^{\mu\nu}v_{\nu}$

La historia es, ¿cómo despejarías $v^{\nu}$ de la ecuación $v_{\mu}=g_{\mu\nu}v^{\nu}$? Bueno, sabemos que la métrica es una matriz invertible con inversa definida por la expresión $g^{\mu\rho}g_{\rho\nu}=\delta^{\mu}_{\nu}$. Fíjate que no deja de ser la ya conocida definición de matriz inversa $g^{-1}g=I$. Lo diré en notación matricial por si te suena mejor. Si quieres pasar $g_{\mu\nu}$ al otro lado hemos de multiplicar por la matriz inversa en ambos miembros de la ecuación por la izquierda. Usando el hecho de que si multiplicas una matriz por su inversa te da la identidad se obtiene directamente la expresión que he puesto. Los índices salen cambiados pero eso es igual, los puedes renombrar como yo he hecho al escribir el mensaje.

Si son "lo mismo" debe haber alguna diferencia entre ambos.

A nivel algebraico no pues $V$ y $V^*$ son isomorfos. La gracia es que no hay diferencia. Por eso los usamos cómo queremos, entremezclando vectores covariantes con contravariantes y con todo tipo de tensores en nuestras expresiones. En honor a la verdad he de decir diferencias hay, pero no creo que sean relevantes para lo que estás y vas a estar estudiando. Lo que necesitas para relatividad es más la parte calculística que conceptual. Y tengo miedo de que si comento algo acabes confundido. Así que mejor dejarlo en que son lo mismo. Si en un futuro quieres entender qué es un vector contravariante y covariante con total profundidad entonces lo podrás hacer, pero ahora mismo lo dicho, es meterse en un berenjenal sin necesidad.

Tanto en la métrica Euclidiana como en la de Minkowsky todos los elementos externos a la diagonal son nulos, en las métricas de la R.G ¿siguen siéndolo?
No entiendo el significado de la segunda frase.

No, en RG hay métricas no diagonales. Pero déjame decir que en relatividad especial tampoco, y en mecánica newtonina menos... De hecho las métricas euclídea y Minkowski no tienen porqué ser diagonales. Fíjate que las matrices tienen sus componentes respecto a una base. Por tanto mediante un cambio de base se pueden cambiar, y la matriz de la métrica puede llegar a ser no diagonal perfectamente. Esto es algo que también ocurre con el producto escalar de toda la vida. Lo que pasa es que escogiendo una base con buenas propiedades podemos simplificar mucho la forma de su matriz, y lo que acaba llegando a los libros cuando se introducen estos conceptos son las versiones diagonales. Pero tampoco te preocupes mucho por esto, ya llegará el momento de tratar con métricas más complicadas.

[Richard R Richard]

Re: Consulta sobre diferencia entre covariancia y contravariancia.

Aver si puedo explicarlo sin irme muy por las ramas

en un espacio plano sin rotaciones ,las componentes diagonales de la matriz de la métrica son componente o bien 1 o bien -1... estamos acostumbrados a definir el producto escalar euclideo como

$x\cdot y=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3<br />$

pero bien se puede escribir como

$x\cdot y = \vec x\cdot M_ij \vec y= \begin{pmatrix}<br /> x_1& x_2 & x_3 \end{pmatrix}$ $<br /> \begin{pmatrix}<br /> 1& 0& 0 \\ 0& 1& 0 \\0& 0& 1 \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}y_1\\ y_2\\ y_3\end{pmatrix}$

al ser$M_{ij}$ la matriz identidad por ser plano el espacio, se resume la cuenta a lo que se expresaba anteriormente, pero en espacios curvos donde la matriz no es ni diagonal siquiera no se puede perder la generalidad y se debe expresar


el producto escalar de vectores contravariantes como


$\vec x \cdot \vec y =g_{ij} x^i y^j= x_iy^j<br />$

el de los covariantes

$\bar x \cdot \bar y =g^{ij} x_i y_j= x^i<br /> y_j$

y la norma o "medida" que es a lo que me refería

para contravariantes
$\vec x \cdot \vec x =g_{ij} x^i x^j= x_i<br /> x^j=|\vec x|^2$

y para covariantes
$\bar x \cdot \bar x =g^{ij} x_i x_j= x^i<br /> x_j=|\bar x|^2<br />$


pero si



$x_{\mu}=g_{\mu \nu}x^{\nu}=g_{ij}x^{j}=x_i$



luego la norma de los covariantes es

$\bar x \cdot \bar x =g^{ij} x_i x_j= g^{ij} g_{ij}x^{j} x_j=I x^{j} x_j<br />$

$g^{ij}$ y $g_{ij}$ son dos matrices una inversa de la otra su multiplicación es la identidad, luego lo que queda es un sumatorio de la multiplicación de las componentes de los vectores
que da por resultado un escalar que es el mismo valor para el vector covariante que para el contravariante , de allí que tienen la misma norma o medida. Quizá esto tiene mucha mas rigurosidad algebraica que me he saltado dando pasos gigantes al demostrar.

cuando digo

Luego V y V* son dos medidas del mismo vector es dos lugares diferentes del mismo espacio, la que corresponde a nuestro espacio local la llamamos contravariante y a la del otro "observador" covariante.

cuando tomo medidas para definir un vector, estoy calculando las componentes del vector contravariante, las componentes del vector covariante del espacio dual quedan definidas mediante $v_{\mu}=g_{\mu \nu}v^{\nu}$

este vector es el que me permite definir un escalar "Norma" , que es invariante transformaciones de Lorentz o rotaciones en ese espacio. etc.

Es una forma en que entiendo la RG ,la verdad no se si es acertada y que uno no puede experimentar fácilmente ni preguntar demasiado para estar seguro, es lo que me ha quedado de la lectura. Un objeto que mide un metro en esta región del espacio no tiene porqué medir un metro cuando lo mido colocado en otra región del espacio cuando el espacio no es plano . Ahora bien, si voy a esa region del espacio y lo mido seguro mide un metro. La forma de pasar una medición a otra del espacio, se hace sabiendo la geometria de ese espacio y trabajando con los vectores covariantes, para luego transformarlos a contravariantes en el plano local que necesitamos al medida...así lo he entendido.

[Weip]

Re: Consulta sobre diferencia entre covariancia y contravariancia.

Buenas Richard. He de insistir en el último punto que comenté en el anterior mensaje. Es tentador pensar que la métrica es diagonal / la identidad porque el espacio o espaciotiempo es plano, pero no es cierto. Vamos al detalle.

al ser$M_{ij}$ la matriz identidad por ser plano el espacio, se resume la cuenta a lo que se expresaba anteriormente, pero en espacios curvos donde la matriz no es ni diagonal siquiera no se puede perder la generalidad y se debe expresar

Mucho cuidado. La matriz $M_{ij}$ es la identidad si se expresa en una base ortonormal. Su forma diagonal no tiene nada que ver con si el espacio es plano o curvo. Pongo un ejemplo. Voy a trabajar en $\mathbb{R}^2$ con el producto escalar usual por simplicidad. Si tomamos la base ortonormal $\left\{ (1,0), (0,1) \right\}$ entonces la matriz (de Gram) $M$ del producto escalar estándar es:

$M= \left(\begin{array}{cccc}1& 0 \\ 0& 1 \end{array}\right)$

Nótese que ésta matriz se obtiene calculando $M_{ij}=\left<e_i, e_j\right>$ con $\left\{ e_i\right\}$ base canónica de $\mathbb{R}^2$. Ahora, si cambiamos la base a una con menos propiedades, por ejemplo $\left\{ (-1,0), (2,2) \right\}$, la matriz del producto escalar estándar es:

$M'= \left(\begin{array}{cccc}1& -2 \\ -2& 8 \end{array}\right)$

Esto se puede hacer igual que antes o realizando el cambio de base con matrices, es decir, si $B$ es la matriz que tiene por columnas los vectores de la nueva base que hemos tomado entonces se calcula $M'=B^TMB$ con $M$ la matriz identidad. Notar que $M'$ es la matriz del producto escalar de toda la vida escrita en una base distinta. No es diagonal, pero el espacio sigue siendo plano pues su curvatura es cero (esto es porque los coeficientes de la métrica son constantes con lo que todos los símbolos de Christoffel se anulan). Todo esto es totalmente euclídeo, sin truco ni cartón.

Finalmente comentar para inakigarber que en RG hay métricas diagonales aún estando en un espaciotiempo curvo. Sin ir más lejos, la métrica de Schwarzschild, famosa por el tema de los agujeros negros, es diagonal en la forma en la que se suele presentar. Como ocurre con el ejemplo que he puesto aquí, la métrica puede ser no diagonal mediante un cambio de base/coordenadas.

[Richard R Richard]

Re: Diferencia entre covariancia y contravariancia

Gracias Weip por la aclaración, había empezado diciendo que se trataba de un espacio plano "sin rotaciones" veo que es insuficiente la base debe ser ortonormal.
El uso de esas bases en RG permite que las matrices sean o bien simétricas, o bien antisimétricas reduciendo el numero de componentes independientes cuando se calcula tensores de rango 2.en el tensor de einstein tiene 26 componentes y solo 10 son independientes.

[inakigarber]

Re: Diferencia entre covariancia y contravariancia

….
La historia es, ¿cómo despejarías $v^{\nu}$ de la ecuación $v_{\mu}=g_{\mu\nu}v^{\nu}$? Bueno, sabemos que la métrica es una matriz invertible con inversa definida por la expresión $g^{\mu\rho}g_{\rho\nu}=\delta^{\mu}_{\nu}$. Fíjate que no deja de ser la ya conocida definición de matriz inversa $g^{-1}g=I$. Lo diré en notación matricial por si te suena mejor. Si quieres pasar $g_{\mu\nu}$ al otro lado hemos de multiplicar por la matriz inversa en ambos miembros de la ecuación por la izquierda. Usando el hecho de que si multiplicas una matriz por su inversa te da la identidad se obtiene directamente la expresión que he puesto. Los índices salen cambiados pero eso es igual, los puedes renombrar como yo he hecho al escribir el mensaje.
....

Entonces, toda matriz que representa una métrica del tipo $g^{\mu \nu}$ será una matriz cuadrada invertible, tal que el producto $g^{\mu \nu}g_{\mu \nu}=I$. [FONT=Verdana]Luego, puedo pasar la matriz métrica de covariante a contravariante y viceversa solo con pasarlas al otro lado de la igualdad. [/FONT]En el caso de las matrices $A=\begin{pmatrix}1 & 0&0&0 \\0 & 1&0&0\\0&0&1&0&\\0&0&0&1 \end{pmatrix}$ y [FONT=Verdana]$B=\begin{pmatrix}-1 & 0&0&0 \\0 & 1&0&0\\0&0&1&0&\\0&0&0&1 \end{pmatrix}$ cada matriz es su propia inversa ya que $A\cdot A=B \cdot B=I$.
[/FONT]

[FONT=Verdana]Los he expresado en forma de matriz porque no he sabido como expresarlas en notación más compacta. Me doy cuenta de que cuando opero un vector a través del operador matricial lo paso de contravariante a covariante y viceversa.
[/FONT]

- - - Actualizado - - -

Gracias por tu ayuda, me parece de gran interes, pero me salen dudas....

...
De forma teórica, un vector contravariante no deja de ser un vector de toda la vida que pertenece a un espacio vectorial de dimensión finita $V$. Es una flecha, ni más ni menos, así que los vectores contravariantes no dan miedo. Ahora, la historia viene con los vectores covariantes. Éstos son 1-formas lineales o covectores, y son vectores del espacio dual $V^*$. Si te suena el espacio dual entonces bien pero si no dímelo e intentaré explicarlo en otro mensaje; no lo haré ahora porque es otro meollo en el que no quiero meterme. En todo caso el espacio vectorial $V$ es isomorfo a $V^*$ así que en el fondo los vectores contravariantes y covariantes son "lo mismo", de ahí la palabra dualidad.

La explicación hasta hora se ha movido por los entornos del álgebra. Pero la relatividad está formulada en términos geométricos, así que vamos para allí. Ahora tenemos una variedad que es el espaciotiempo $M$ y en cada punto $p$ tenemos asignado el espacio tangente $T_pM$. Hace el papel de $V$. Éste espacio es la generalización a dimensiones superiores de la ya conocida recta tangente a un punto en la gráfica de una función. Dejo dibujo aquí del espacio tangente para que se entienda mejor.

[ATTACH=CONFIG]14596[/ATTACH]

Todos los vectores de $T_pM$ son vectores contravariantes. Su dual es llamado espacio cotangente $T_p^*M$ y sus vectores son covariantes (también son llamados formas diferenciales en textos de matemáticas). Hace el papel de $V^*$. Teniendo una métrica en el espaciotiempo podemos pasar de una descripción a otra. Si tienes un vector contravariante podemos obtener un vector covariante aplicando la regla:

$v_{\mu}=g_{\mu \nu}v^{\nu}$

Donde $g_{\mu \nu}$ es la métrica del espaciotiempo. De la misma forma podemos pasar de un vector covariante a un vector contravariante aplicando la matriz inversa:

$v^{\mu}=g^{\mu\nu}v_{\nu}$

A esto se le llama "subir y bajar índices" en los libros. Fíjate que al escribir operaciones con vector covariantes, contravariantes y tensores de más rango (matrices en este caso) el eslogan que te he explicado al principio no acaba de funcionar bien por el tema de las dimensiones de los vectores y las matrices. Pero la idea es la de hacer la traspuesta así que al menos quédate con ella a nivel intuitivo.

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De manera que uno de los espacios (superficies en este dibujo) contendría los vectores covariantes y el otro los contravariantes, localmente son el mismo plano de manera a nivel local no habría diferencia entre covariancia y contravariancia. En un punto x' situado en otro lugar de la superficie curva habría otro plano tangente que podría ser distinto de este, pero ambos observadores x e x' harán sus respectivas medidas respecto a sus sistemas de referencia locales en los que localmente no habrá diferencia entre covariancia y contravariancia.
No se si voy por el camino correcto, pero siento que estoy hecho un lio.

[Weip]

Re: Diferencia entre covariancia y contravariancia

[FONT=Verdana]Luego, puedo pasar la matriz métrica de covariante a contravariante y viceversa solo con pasarlas al otro lado de la igualdad.[/FONT]

[FONT=Verdana]Más o menos sí. Lo digo porque estamos usando las componentes de los vectores y de las matrices con lo que la propiedad conmutativa se cumple y puedes pasar cosas al otro lado sin problemas pero recuerda que en notación matricial las ecuaciones que hemos puesto son matriciales y como el producto de matrices no es conmutativo hay que multiplicar por matrices a ambos lados y decidir si se hace por la izquierda o por la derecha. Mientras lo tengas presente no hay problema en lo que has dicho, todo correcto.
[/FONT]

En el caso de las matrices $A=\begin{pmatrix}1 & 0&0&0 \\0 & 1&0&0\\0&0&1&0&\\0&0&0&1 \end{pmatrix}$ y [FONT=Verdana]$B=\begin{pmatrix}-1 & 0&0&0 \\0 & 1&0&0\\0&0&1&0&\\0&0&0&1 \end{pmatrix}$ cada matriz es su propia inversa ya que $A\cdot A=B \cdot B=I$.[/FONT]

De aquí solo quiero comentar una cosa que supongo que ya sabes pero la destaco por si acaso y es que esto no es general, es decir, la matriz inversa de una métrica no tiene porqué ser la misma métrica otra vez. En los casos que pones es así por las formas concretas de las métricas pero lo habitual es que la inversa sea una matriz distinta.

[FONT=Verdana]Los he expresado en forma de matriz porque no he sabido como expresarlas en notación más compacta.[/FONT]

Ya has hecho bien. Si quieres escribirlas de otra forma la única que se me ocurre y que es muy habitual también es la notación clásica que básicamente es escribir la forma bilineal asociada a la matriz de la métrica. Por ejemplo la métrica euclídea en un espacio de cuatro dimensiones se escribiría, en coordenadas cartesianas:

$ds^2=dx^2+dy^2+dz^2+dw^2$

Y la métrica de Minkowski en unidades en las que $c=1$:

$ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$

Observa que los $1$ y $-1$ de las dos métricas vienen de los coeficientes que hay delante de $dx^2$, $-dt^2$, etc. Cuando la métrica no es diagonal $ds^2$ tiene términos cruzados de la forma $\lambda dxdy$ y cosas parecidas, en este caso para pasar de $ds^2$ a la matriz el coeficiente tiene que ser $\lambda/2$ y no $\lambda$ porque $\lambda dxdy=(\lambda/2)dxdy+(\lambda/2)dydx$.

De manera que uno de los espacios (superficies en este dibujo) contendría los vectores covariantes y el otro los contravariantes, localmente son el mismo plano de manera a nivel local no habría diferencia entre covariancia y contravariancia. En un punto x' situado en otro lugar de la superficie curva habría otro plano tangente que podría ser distinto de este, pero ambos observadores x e x' harán sus respectivas medidas respecto a sus sistemas de referencia locales en los que localmente no habrá diferencia entre covariancia y contravariancia.

Correcto. Ahora el próximo paso si vas dirigido a la RG será ver cómo se comparan esos dos vectores resultados de la medida. No es evidente cómo hacerlo porque cada vector pertencece a dos espacios vectoriales distintos. El resultado de esta reflexión será un nuevo concepto de derivada. Pero no me avanzo más, ya lo verás.

No se si voy por el camino correcto, pero siento que estoy hecho un lio.

Vas por el camino correcto sí, no te preocupes porque este tema es muy confuso, y en mi opinión estás avanzado a muy buen ritmo. También tiene mérito entender las pedradas de mensajes que te he lanzado jaja. Espero no haberme puesto demasiado técnico (en el mal sentido de la palabra) en algunas cuestiones, a veces no sé explicarme mejor.

[inakigarber]

Re: Diferencia entre covariancia y contravariancia

[FONT=Verdana]...[/FONT]Correcto. Ahora el próximo paso si vas dirigido a la RG será ver cómo se comparan esos dos vectores resultados de la medida. No es evidente cómo hacerlo porque cada vector pertencece a dos espacios vectoriales distintos. El resultado de esta reflexión será un nuevo concepto de derivada. Pero no me avanzo más, ya lo verás.

Supongo que eso tiene algo que ver con las derivadas covariantes.

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[FONT=Verdana]….[/FONT]Espero no haberme puesto demasiado técnico (en el mal sentido de la palabra) en algunas cuestiones, a veces no sé explicarme mejor.

No, lo que pasa es que el tema es bastante complejo y a mi me cuesta entender las cosas.

[Visitante]

Hola a todos, me parece interesante este vídeo de 11 minutos: Tensores explicados intuitivamente: Covariante, Contravariante, Rango.

https://www.youtube.com/watch?v=CliW...XVsBS8&index=2