2o ciclo metrica inducida

[alejandrito29]

Hola. No se si estaré interpretando bien la teoría.
Ej.
Tengo una variedad de coordenadas X,Y con elemento de línea
$ds^2=2YdX^2+ 2XdY^2$

Y voy a embeber en ella una subvariedad de coordenada z, tal que al embeberla

X= 2z, Y=3z....

Entonces para saber la métrica inducida tengo que usar la fórmula:



mi duda es:

$g_{uv}(X^a)=g{uv}(X o Y (z))???$ X(z) o Y(z)

o sea
$g{zz}= 2*2*(6z)+3*3*(4z)$
¿asi se hace?...

¿solo se puede calcular $g_{zz}$ cierto???

Tal vez parescan absurdas mis preguntas, pero solo he encontrado ejemplos en que la métrica en la variedad es la delta de kronecker, y no se si estaré interpretando bien.
Saludos

[pod]

Re: metrica inducida

En general, si las coordenadas del "bulk" son $x^\mu$ (con d componentes), y las de la subvariedad son $u^i$ (con n componentes), entonces la métrica inducida (también llamada "pull-back") es

$$g_{ij} = \partial_i x^\mu \partial_j x^\nu \, G_{\mu\nu}\ .$$

La métrica inducida tiene n(n+1)/2 componentes. En tu caso sólo tienes un parámetro, sólo tienes 1 componente, $g_{zz}$. Además, tu métrica es diagonal, así que será

$$g_{zz} = (\partial_z X)^2 G_{xx} + (\partial_z Y)^2 G_{yy} \ .$$

Ahora se trata de substituir todo.

[alejandrito29]

Re: metrica inducida

$$g_{zz} = (\partial_z X)^2 G_{xx} + (\partial_z Y)^2 G_{yy} \ .$$

Gracias, pero mi duda es :

$G_{xx}=G_{xx}(x^u)=2Y?$ o tomo $G_{xx}=G_{xx}(x^u(u^i))=2*3z?$ ...esa es mi duda

[pod]

Re: metrica inducida

Gracias, pero mi duda es :

$G_{xx}=G_{xx}(x^u)=2Y?$ o tomo $G_{xx}=G_{xx}(x^u(u^i))=2*3z?$ ...esa es mi duda

Tienes que ponerlo todo en términos de los parámetros, claro.