No unitariedad de las transformaciones de Lorentz en la representación de Dirac

[Vitor]

Hola,

En Teoría Cuántica de Campos siempre se dice que la unitariedad es una propiedad fundamental que debe garantizarse por consistencia, pero las transformaciones de Lorentz en la representación de Dirac no son unitarias.

¿Supone esto un problema en la teoría? ¿O hay alguna manera de garantizar la unitariedad cuando tenemos fermiones de Dirac?

[Weip]

Hola Vitor,

La cuestión es que las transformaciones de Lorentz pueden actuar sobre los estados o sobre los campos (operadores en general). Estas transformaciones deben venir representadas por matrices unitarias o antiunitarias en el espacio de estados (teorema de Wigner), pero en un espacio de campos como en el caso de los espinores, no tienen porqué.

Esto tiene sentido porque las probabilidades las calculamos a través de los estados cuánticos, así que para salvar los observables físicos de la teoría, estas transformaciones deben ser unitarias en los estados, pero nada más. En algunos textos de teoría cuántica de campos verás explicaciones del hecho que históricamente se intentó dar interpretación probabilística a los espinores: si $\psi$ es un espinor y $x$ es un punto del espaciotiempo, entonces $\psi(x)$ querían que fuese una función de onda. Pasa que no hubo éxito en esta interpretación porque no hay un producto escalar natural en el espacio de campos. Esto es, $\psi(x)$ no es una función de onda, es un operador, y por tanto una transformación de Lorentz aplicada al espinor no tiene porqué venir representada por una transformación unitaria.

Espero haber ayudado.

[Vitor]

Hola Weip, muchas gracias por tu respuesta.

Estoy entendiendo entonces que hay que distinguir bien entre los espinores como operadores de campo en sí y sus propios estados, de manera que los espinores como operadores de campo no van a tener operadores unitarios actuando sobre ellos, pero sus estados espinoriales sí que los van a tener. ¿Es correcto?

Si esto es correcto, no sé si podrías aportar un ejemplo concreto de un espinor de campo con operadores no unitarios (que supongo que puede ser una solución genérica de la ecuación de Dirac con operadores representados por el conmutador de matrices de Dirac) y un estado espinorial del mismo con su propio conjunto de operadores unitarios (de esto último no tengo ni idea porque pensaba que si un operador de campo no tiene operadores unitarios asociados entonces sus propios estados tampoco lo tienen).

[Weip]

Si esto es correcto, no sé si podrías aportar un ejemplo concreto de un espinor de campo con operadores no unitarios (que supongo que puede ser una solución genérica de la ecuación de Dirac con operadores representados por el conmutador de matrices de Dirac) y un estado espinorial del mismo con su propio conjunto de operadores unitarios (de esto último no tengo ni idea porque pensaba que si un operador de campo no tiene operadores unitarios asociados entonces sus propios estados tampoco lo tienen).

No estoy seguro de si es lo que pides pero en todo caso recomiendo la sección 3.5 de Peskin y Schroeder. En este apartado se explica que el espinor $\psi(x)$ viene dado en términos de los operadores de creación y destrucción:

$\psi(x)=\dst\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}\sum_s\left(a_p^s u^s(p)e^{-ip\cdot x}+b^{s\dagger}_{p}v^s(p)e^{ip\cdot x}\right)$

$\bar{\psi}(x)=\dst\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}\sum_s\left(b_p^s \bar{v}^s(p)e^{-ip\cdot x}+a^{s\dagger}_{p}\bar{u}^s(p)e^{ip\cdot x}\right)$

Poniendo un caso concreto, considera el estado de un electrón con momento $p$ y espín $s=1/2$: $|p,s\rangle=\sqrt{2E_p}a_p^{s\dagger}|0\rangle$. El producto escalar $\langle p,s|q,s\rangle=2E_p(2\pi)^3\delta^{(3)}(p-q)$ es invariante Lorentz de manera que el estado $|p,s\rangle=\sqrt{2E_p}a_p^{s\dagger}|0\rangle$ se transformará bajo el grupo de Lorentz mediante operadores unitarios $U(\Lambda)$ para preservar ese producto escalar. Por otro lado, estos operadores aplicados al espinor $\bar{\psi}$ dará una transformación $U(\Lambda)^{-1}\bar{\psi}U(\Lambda)=\bar{\psi}S^{-1}(\Lambda)$ con $S$ no unitario en general ($S$ es el $\Lambda_{1/2}$ que se usa en el libro). En la sección 3.5 estan los cálculos completos pero el resumen sería que por ejemplo el estado de un electrón se transforman con operadores unitarios aunque los espinores no lo hagan, y no hay ninguna contradicción con ello.

[Vitor]

No estoy seguro de si es lo que pides pero en todo caso recomiendo la sección 3.5 de Peskin y Schroeder. En este apartado se explica que el espinor $\psi(x)$ viene dado en términos de los operadores de creación y destrucción:

$\psi(x)=\dst\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}\sum_s\left(a_p^s u^s(p)e^{-ip\cdot x}+b^{s\dagger}_{p}v^s(p)e^{ip\cdot x}\right)$

$\bar{\psi}(x)=\dst\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}\sum_s\left(b_p^s \bar{v}^s(p)e^{-ip\cdot x}+a^{s\dagger}_{p}\bar{u}^s(p)e^{ip\cdot x}\right)$

Poniendo un caso concreto, considera el estado de un electrón con momento $p$ y espín $s=1/2$: $|p,s\rangle=\sqrt{2E_p}a_p^{s\dagger}|0\rangle$. El producto escalar $\langle p,s|q,s\rangle=2E_p(2\pi)^3\delta^{(3)}(p-q)$ es invariante Lorentz de manera que el estado $|p,s\rangle=\sqrt{2E_p}a_p^{s\dagger}|0\rangle$ se transformará bajo el grupo de Lorentz mediante operadores unitarios $U(\Lambda)$ para preservar ese producto escalar. Por otro lado, estos operadores aplicados al espinor $\bar{\psi}$ dará una transformación $U(\Lambda)^{-1}\bar{\psi}U(\Lambda)=\bar{\psi}S^{-1}(\Lambda)$ con $S$ no unitario en general ($S$ es el $\Lambda_{1/2}$ que se usa en el libro). En la sección 3.5 estan los cálculos completos pero el resumen sería que por ejemplo el estado de un electrón se transforman con operadores unitarios aunque los espinores no lo hagan, y no hay ninguna contradicción con ello.

Hola Weip, muchas gracias por el ejemplo y por la referencia, es justo algo así lo que preguntaba.

Hay algunas cosas que creo que no están claras, porque por ejemplo $U(\Lambda)$ actuando sobre el espinor $\bar{\psi}$ como $U(\Lambda)^{-1}\bar{\psi}U(\Lambda)$ no sé si es básicamente como el otro objeto $\Lambda_{1/2}$ que has mencionado (el cual veo que en el libro sigue justamente esa estructura $U(\Lambda)^{-1}\, \text{Espinor}\, U(\Lambda)$ que hemos comentado y su expresión sale en (3.30)). ¿Es correcto? Si no lo es, ¿sabes dónde sale exactamente la expresión de $U(\Lambda)$ que actúa sobre un espinor operador de campo?

Por otro lado, si es correcto que $U(\Lambda)=\Lambda_{1/2}$, ¿cómo se transforma exactamente el estado espinorial $|p,s\rangle$ que has comentado? ¿Tan fácil como $|p,s\rangle \rightarrow \Lambda_{1/2}|p,s\rangle$?

[Weip]

Hola de nuevo.

Hay algunas cosas que creo que no están claras, porque por ejemplo $U(\Lambda)$ actuando sobre el espinor $\bar{\psi}$ como $U(\Lambda)^{-1}\bar{\psi}U(\Lambda)$ no sé si es básicamente como el otro objeto $\Lambda_{1/2}$ que has mencionado (el cual veo que en el libro sigue justamente esa estructura $U(\Lambda)^{-1}\, \text{Espinor}\, U(\Lambda)$ que hemos comentado y su expresión sale en (3.30)). ¿Es correcto? Si no lo es, ¿sabes dónde sale exactamente la expresión de $U(\Lambda)$ que actúa sobre un espinor operador de campo?

La expresión $U(\Lambda)^{-1}\bar{\psi}U(\Lambda)=\bar{\psi}S^{-1}(\Lambda)$ sale de aplicar la transformación $U(\Lambda)^{-1}\bar{\psi}U(\Lambda)$ tal cual al campo $\bar{\psi}$ con la expansión que di arriba:

$\bar{\psi}(x)=\dst\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}\sum_s\left(b_p^s \bar{v}^s(p)e^{-ip\cdot x}+a^{s\dagger}_{p}\bar{u}^s(p)e^{ip\cdot x}\right)$

Fíjate que los operadores $U(\Lambda)$ entrarán dentro de la integral transformando los operadores de creación y destrucción. Por ejemplo de la explicación de mi mensaje anterior del estado $|p,s\rangle=\sqrt{2E_p}a_p^{s\dagger}|0\rangle$ se deduce que $U(\Lambda)^{-1}a_p^{s\dagger}U(\Lambda)=\sqrt{E_{\Lambda p}/E_p}a_{\Lambda p}^{s\dagger}$. A su vez si $p'=\Lambda p$ entonces $u^s(p)=u^s(\Lambda^{-1}p')=\Lambda^{-1}_{1/2}u^s(p')$ (recordemos que $\Lambda_{1/2}$ y $S$ son lo mismo, es notación). El razonamiento análogo es válido para el término $b_p^s \bar{v}^s$ y acaba quedando la transformación que escribí.

Por otro lado, si es correcto que $U(\Lambda)=\Lambda_{1/2}$, ¿cómo se transforma exactamente el estado espinorial $|p,s\rangle$ que has comentado? ¿Tan fácil como $|p,s\rangle \rightarrow \Lambda_{1/2}|p,s\rangle$?

La respuesta es un poco más complicada de lo esperado porque la matriz $\Lambda_{1/2}$ está esperando un espinor, pero le estás dando un vector del espacio de Hilbert. La idea va más por transformar el momento y el espín a la vez. Al hacer una transformación de Lorentz a un estado $|p,s\rangle$ de una partícula masiva de momento $p$ y espín $s$ el estado queda de la siguiente manera:

$U(\Lambda)|p,s\rangle=\dst\sum_{s'}D_{s's}\left(W(\Lambda, p)\right)|\Lambda p, s'\rangle$

$W$ es una transformación del grupo pequeño de Wigner (cumple $W(\Lambda, p)p=p$ por definición). La sección 2.5 del libro de Weinberg está dedicada entera a demostrar la anterior igualdad, te puede interesar para conocer todos los detalles (por ejemplo no sé si has visto alguna vez el grupo pequeño o no).

Más allá de la ecuación en sí, que puede resultar un poco complicada, conceptualmente nos dice que el momento $p$ se transforma a $\Lambda p$ y el espín $s$ se transforma con una representación del grupo pequeño, que en este caso es el grupo de rotaciones $\text{SO}(3)$ (es decir, el resultado tiene su lógica).

[Vitor]

Hola Weip, muchas gracias como siempre por la respuesta y por los detalles. Creo que en la primera parte no nos entendimos del todo porque principalmente mi pregunta iba por el tema de que en el libro no estaba viendo todas las expresiones del ejemplo bien detalladas, para poder entender entonces el ejemplo en sí que pusiste. Así, vi que la definición exacta de $\Lambda_{1/2}$ aparece en (3.30), pero la del operador $U(\Lambda)$ del ejemplo yo al menos no la vi por ningún lado y entonces estaba preguntando si quizás la notación del libro era tal que $U(\Lambda)=\Lambda_{1/2}$, pero leyendo tu respuesta parece que no es el caso, ¿no?

En cuanto a la última pregunta sobre la transformación del estado espinorial, con tu respuesta ese punto sí que me ha quedado claro, así que te agradezco igualmente el esfuerzo en responder a esa otra pregunta.

[Weip]

Así, vi que la definición exacta de $\Lambda_{1/2}$ aparece en (3.30), pero la del operador $U(\Lambda)$ del ejemplo yo al menos no la vi por ningún lado y entonces estaba preguntando si quizás la notación del libro era tal que $U(\Lambda)=\Lambda_{1/2}$, pero leyendo tu respuesta parece que no es el caso, ¿no?

$U$ es una aplicación que toma una transformación de Lorentz $\Lambda$ y le asigna un operador unitario $U(\Lambda)$. Esto es, por definición $U(\Lambda)$ es un operador unitario asociado a una transformación de Lorentz $\Lambda$. Es distinto de $\Lambda_{1/2}$ (si fuera igual fíjate que el espinor acabaría transformando con dos matrices $\Lambda_{1/2}$ en vez de una, no funcionaría).

[Vitor]

$U$ es una aplicación que toma una transformación de Lorentz $\Lambda$ y le asigna un operador unitario $U(\Lambda)$. Esto es, por definición $U(\Lambda)$ es un operador unitario asociado a una transformación de Lorentz $\Lambda$. Es distinto de $\Lambda_{1/2}$ (si fuera igual fíjate que el espinor acabaría transformando con dos matrices $\Lambda_{1/2}$ en vez de una, no funcionaría).

Muchas gracias por todas tus respuestas, ya me han quedado totalmente claras todas las diferencias y puedo ver que todo es precisamente como lo has explicado tú.