Secundaria Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

[Chatran20]

Hace tiempo estaba leyendo en filosofía acerca de la paradoja de Zenón. Esta es un sofisma que pretendía argumentar que el movimiento es imposible. Después de darle muchas vueltas dejé el tema por superar a mi conocimiento matemático del momento. Pero ahora que la he vuelto a ver se me ha ocurrido una idea, y es que quizá esta pueda ser resuelta aplicando la longitud de Planck.

Para los que no conozcan la paradoja, va así:

El más rápido de los hombres, Aquiles, no podrá alcanzar nunca al más lento de los animales, la tortuga, si se da a ésta una ventaja inicial en una carrera. Pues, mientras Aquiles recorre el camino que la tortuga llevaba por la mencionada ventaja inicial, la tortuga habrá recorrido otra porción, aunque más pequeña. Cuando Aquiles haya llegado a recorrer esta última porción de camino, la tortuga habrá avanzado otra porción más pequeña, y así la tortuga llevará siempre la ventaja hasta en espacios infinitamente pequeños, con lo cual, Aquiles no podrá alcanzarla nunca.

Digamos que Aquiles camina a 10 m/s y la tortuga a 5 m/s. Matemáticamente para que Aquiles adelantara tendría que recorrer primero 1/2 del tramo realizado por la tortuga para llegar a donde ésta estaba antes, una vez que hubiera llegado a ese punto tendría que recorrer 1/4 para volver a realizar lo mismo, luego 1/8, y así sucesivamente.

Se supone que esto se puede expresar de la siguiente manera: $\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{2^x}$

Pero para mí, y no se si para la mayoría de los matemáticos también, es imposible realizar esta sumatoria. Obviamente el resultado tendría que ser igual con 1, y aunque matemáticamente es posible hacerlo, ¿se aplicará también al universo? Es decir, aplicar el infinito en matemática pura es una cosa, pero matemática aplicada se torna un poco quimérica la cosa, ¿no?
Con mis conocimientos podría argumentar que esta paradoja tiene sentido desde el punto de vista matemático, tan sólo realizo la siguiente integral

$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{2^x}dx$ y me da un resultado coherente, 0.721347... No es 1, pero siendo integral no me sorprende. Lo que quería mostrar era que matemáticamente es posible. Pero fisicamente no se puede aplicar el infinito.

¿Cómo resolver esto? Pues se me ocurre que se pueda aplicar la longitud de planck. Llegaría un momento en el que aquiles y la tortuga estarían separados sólo por 1.616252(81)x10^-35 metros. Una vez que ya hubieran llegado ahí, serían completamente indistinguibles las distancias. No habría manera de deducir cual está más adelantado que otro, sencillamente por que la geometría dejaría de tener sentido, y si esto pasara podría decirse que están en el mismo lugar y así solucionando la paradoja, pues aquiles podría empezar la carrera muy facilmente desde el punto en el que las distancia entre ambos es 0.

No soy experto en esto, es pura especulación, por eso pregunto: ¿Tiene algo de correcto mi planteamiento? ¿Va desencaminado? ¿De plano no tiene nada de correcto?

Gracias por las respuestas!

P.D: Odio el LaTeX . Aunque a ver si aprendo algo.

[pod]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

$\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{2^x}$

Pero para mí, y no se si para la mayoría de los matemáticos también, es imposible realizar esta sumatoria.

Hombre, no conozco "todos los matemáticos". Pero me aventuraría a decir que para la mayoría sí se puede calcular. Hay muchos esfuerzos matemáticos puestos en la teoría de sucesiones y series, así que por lo menos algún matemático se lo tomó bastante ne serio en su día.

$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{2^x}dx$ y me da un resultado coherente, 0.721347... No es 1, pero siendo integral no me sorprende. Lo que quería mostrar era que matemáticamente es posible. Pero fisicamente no se puede aplicar el infinito.

Me sorprende tu afirmación, por que de hecho la integral está definida como un sumatorio infinito. O, más exactamente, como el límite de dos series, que deben coincidir para que la integral esté bien definida.

De todas formas, lo retorcido de esta paradoja es que la necesidad de considerar infinitos términos se la crea el propio enunciado. El enunciado decide dividir el movimiento en infinitas partes cada vez más pequeñas. Pero lo hace por que le da la gana, podría haber optado por dividir el movimiento en partes pequeñas, pero de tamaño fijo. Por ejemplo, 0.1 segundos. Y entonces tendríamos un sumatorio finito.

En conclusión, si no te gusta tener infinitos términos, empieza por no hacer un razonamiento que te lleve a considerar longitudes cada vez más pequeñas, pero siempre superior a cero. Si no "crees" en los infinitos, tampoco en los infinitésimos.

¿Cómo resolver esto? Pues se me ocurre que se pueda aplicar la longitud de planck. Llegaría un momento en el que aquiles y la tortuga estarían separados sólo por 1.616252(81)x10^-35 metros. Una vez que ya hubieran llegado ahí, serían completamente indistinguibles las distancias. No habría manera de deducir cual está más adelantado que otro, sencillamente por que la geometría dejaría de tener sentido, y si esto pasara podría decirse que están en el mismo lugar y así solucionando la paradoja, pues aquiles podría empezar la carrera muy facilmente desde el punto en el que las distancia entre ambos es 0.

No soy experto en esto, es pura especulación, por eso pregunto: ¿Tiene algo de correcto mi planteamiento? ¿Va desencaminado? ¿De plano no tiene nada de correcto?

Lo que olvida tu razonamiento (y, en parte, también la paradoja original) es que tenemos experiencia directa que los adelantamientos sí son posibles. Sino, ponte a ver cualquier carrera de F1 (bueno, allí tampoco hay muchos adelantamientos por la aerodinámica, pero ya me entiendes). En Física, no nos debería gustar contradecir a la realidad.

[Chatran20]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

En conclusión, si no te gusta tener infinitos términos, empieza por no hacer un razonamiento que te lleve a considerar longitudes cada vez más pequeñas, pero siempre superior a cero. Si no "crees" en los infinitos, tampoco en los infinitésimos.

Tienes toda la razón, ya me dí cuenta. Aun así siempre hay algo que me perturba. Si en el universo todo está "cuantizado", ¿cómo podemos decir que las integrales son coherentes entonces?
Es decir, la masa, que es una forma condensada de energía, está cuantizada pues la energía viene en cuantos. La longitud está también cuantizada en la longitud de planck, y el tiempo así también en el tiempo de planck.
Si todas las unidades que existen en la física son un derivado de estas tres primeras, ¿cómo es posible que las integrales nos funcionen tan bien a la hora de describir un universo no continuo?

Mi planteamiento anterior estaba basado en el erroneo caso donde la integral es una aproximación donde $\Delta x=0$, pero siempre que fuera aproximación.

Lo que olvida tu razonamiento (y, en parte, también la paradoja original) es que tenemos experiencia directa que los adelantamientos sí son posibles. Sino, ponte a ver cualquier carrera de F1 (bueno, allí tampoco hay muchos adelantamientos por la aerodinámica, pero ya me entiendes). En Física, no nos debería gustar contradecir a la realidad.

yo sé, eso es lo bello de la paradoja. Un enunciado totalmente lógico (o aparentemente) que aparentemente contradice nuestra experiencia más directa. El quid de la cuestión es buscar la explicación, por que al igual que la relatividad predecía efectos increíbles a partir de 2 simples enunciados lógicos y aun así eran coherentes, esto debe tener algun tipo de coherencia, ¿no?

Please gente, perdonen mis horrores matemáticos

[pod]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

Tienes toda la razón, ya me dí cuenta. Aun así siempre hay algo que me perturba. Si en el universo todo está "cuantizado", ¿cómo podemos decir que las integrales son coherentes entonces?

Primero, por que en el universo no está todo discretizado. Sólo algunas cosas. Cuando llega a la mecánica cuántica, le parece que todo está discretizado, y empieza a exagerar discretizandolo todo... Pero no es así, cuando una magnitud en concreto es discreta, siempre hay un motivo detrás de ello. No tiene sentido discretizar por que sí.

Por ejemplo:

Es decir, la masa, que es una forma condensada de energía, está cuantizada pues la energía viene en cuantos.

Hay sistemas en que la energía es discreta, y en otros sistemas en que no. Por ejemplo, un electrón en un átomo de hidrógeno tiene ciertos niveles energéticos discretos. Pero un electrón libre puede tener cualquier energía que quieras, sin discretizar.

Hay un teorema que explica bajo que condiciones la energía es discreta. Básicamente, será discreta en cualquier sistema confinado.

Por lo general, la masa de una partícula es una cantidad fija (la energía necesaria para crearla en reposo). No es discreta ni deja de serlo: es un valor fijo.

La longitud está también cuantizada en la longitud de planck, y el tiempo así también en el tiempo de planck.

Realmente no hay motivos para pensar eso. Todas las teorías maduras (que hay funcionado en experimentos) son de espacio y tiempo continuos.

En las teorías inmaduras (que están en contrucción y/o aún no han podido ser experimentadas), hay un poco de todo. Hay teorías que funcionan bien en espacio-tiempo continuo. Otras que lo tienen discreto. Y otras que son holográficas (que vienen a significar que el espacio es borroso, pero no discreto). Así que lo que pasará con esto está por ver.

Si todas las unidades que existen en la física son un derivado de estas tres primeras, ¿cómo es posible que las integrales nos funcionen tan bien a la hora de describir un universo no continuo?

1) No todas las unidades son derivadas de estas tres. El sistema internacional de unidades tiene siete unidades base, no sólo esas tres.

2) Incluso si lo que uno está estudiando es discreto, la integral siempre es una buena aproximación para tratar situaciones donde nuestra precisión no es suficiente para llegar a "resolver" los diferentes niveles discretos. Por ejemplo, en Física de Fluidos, tratamos la materia como si fuera continua, y funciona extraordinariamente bien. Aunque sabemos que el agua, por ejemplo, no es continua sino que está formada de pequeñas caras de Mikey Mouse.

Hay teoremas que te permiten calcular el error que cometes al aproximar un sumatorio por una integral.

yo sé, eso es lo bello de la paradoja. Un enunciado totalmente lógico (o aparentemente) que aparentemente contradice nuestra experiencia más directa. El quid de la cuestión es buscar la explicación, por que al igual que la relatividad predecía efectos increíbles a partir de 2 simples enunciados lógicos y aun así eran coherentes, esto debe tener algun tipo de coherencia, ¿no?

Please gente, perdonen mis horrores matemáticos

Bueno, la paradoja se basa en lo siguiente: si supongo que existen distancias arbitrariamente pequeñas, entonces llego a una contradicción. Por lo tanto, no queda más remedio que el espacio sea discreto.

Ahora bien, tiempo más tarde se creó la metodología matemática para trabajar correctamente con cantidades tan pequeñas como uno quiera. Y se demostró que una suma de cantidades infinitamente pequeñas puede dar un resultado finito.

Es decir, el razonamiento base de la paradoja es falso. Si se hace correctamente, el tratar con cantidades arbitrariamente pequeñas ofrece el mismo resultado que vemos en la naturaleza: el adelantamiento es posible.

Por lo tanto, este razonamiento no sirve para decidir si el espacio-tiempo es discreto o no. Tendremos que ponernos a hacer Física en vez de pensar en tortugas para saberlo.

[andrewcraig]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

Precisamente los matemáticos sabemos que esa suma de infinitos números positivos es un número finito, se cumplen una serie de criterios y se ha calculado el valor que toma.

Después lo que haces con la integral es calcular el area de una curva que define esa función para todos los valores reales de x entre 1 e infinito, cosa que no tiene nada que ver con el problema que se trata de una suma de infinitos términos donde la x es siempre entera.

No hace falta "cuantificar" el problema, no existe tal paradoja, está totalmente superada

[eljose]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

Aunque igual no tiene mucho que ver existe una 'modificacion' de la relatividad que incluye la escala de Planck $L_p$ y su inverso que llaman 'k' de manera que la Relacion de dispersion, que relaciona la frecuencia (a altas energias) con el numero de ondas que 'caben' (y por tanto esta relacionada con la discretitud del espacio) es la siguiente

$f(\omega)= g(|k|, L_{p})+m^{2} _{0}c^{4}$

de manera que para particulas MUY energeticas, los fisicos estan intentando usar experimentos para ver si se cumple dicha relacion de dispersion para unas f y unas g dadas y conocidas de manera que se pueda verificar si el espacio es continuo o discreto. si algiuen sabe mas de estos experimentos pues ...

[alespa07]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

Digamos que Aquiles camina a 10 m/s y la tortuga a 5 m/s. Matemáticamente para que Aquiles adelantara tendría que recorrer primero 1/2 del tramo realizado por la tortuga para llegar a donde ésta estaba antes, una vez que hubiera llegado a ese punto tendría que recorrer 1/4 para volver a realizar lo mismo, luego 1/8, y así sucesivamente.

Se supone que esto se puede expresar de la siguiente manera: $\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{2^x}$

Hola. En realidad la paradoja de Zénon se traduce por la serie:

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{1}{2^n}$

Que es una serie convergente cuya suma sabemos calcular perfectamente gracias a la serie geométrica. Por ende, converge absolutamente hacia 1.

La paradoja, para los griegos, no tiene sentido hoy en día. En efecto, tiene que ver con el problema del continuo y del infinito. Los griegos pensaban que era imposible sumar infinitas veces. Entonces, aún menos podían pensar que el sumar infinitos números podía proporcionar un resultado finito. Afortunadmente, sabeos hoy por hoy que se da el caso porque sabemos aprehender las nociones de continuo y de infinito.

Saludos.

[Angelucho]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

Esta paradoja tiene una trampa.

"La paradoja sería cierta si fuese una carrera a realizar por mitades, Zenón la plantea y aunque no lo expone directamente, ese planteamiento es el de multiples carreras que se han de realizar cada vez que se recorra la mitad de lo que queda hasta llegar a la meta"

En ese caso es completamente cierto que Aquiles nunca alcanzará a la tortura, con lo que creo que no hay más paradoja ni más "zarandajas"

[Angelucho]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

Aclarando lo anterior, queria decir que es como una carrera por mitades. Lo que pasa es que éste y otros asunntos me tienen un poco molesto, ya que creo que hay cosas más serias de las que ocuparse.
No hay misterio, ni paradoja alguna; el misterio está en el sofista que fue Zenón y en la cara dura que tenía.
La paradoja que plantea no es una carrera, (y él debía saberlo) ya que Aquiles se detiene cada vez que llega a la posición en la que estaba la tortuga cuando él inicia cada nuevo tramo.
Si la tortuga no se detiene y Aquiles sí, ¿Donde está el problema taaaan dificil de resolver en siglos?.
No hay carrera alguna, y si no hay carrera, no hay competición entre desplazamientos simultáneos, ya que Aquiles se ve obligado a detenerse un número infinito de veces, mientras la tortuga no se detiene nunca.

[polonio]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

Aclarando lo anterior, queria decir que es como una carrera por mitades. Lo que pasa es que éste y otros asunntos me tienen un poco molesto, ya que creo que hay cosas más serias de las que ocuparse.
No hay misterio, ni paradoja alguna; el misterio está en el sofista que fue Zenón y en la cara dura que tenía.
La paradoja que plantea no es una carrera, (y él debía saberlo) ya que Aquiles se detiene cada vez que llega a la posición en la que estaba la tortuga cuando él inicia cada nuevo tramo.
Si la tortuga no se detiene y Aquiles sí, ¿Donde está el problema taaaan dificil de resolver en siglos?.
No hay carrera alguna, y si no hay carrera, no hay competición entre desplazamientos simultáneos, ya que Aquiles se ve obligado a detenerse un número infinito de veces, mientras la tortuga no se detiene nunca.

Pues siento decir que te equivocas. Zenón no para ni hace arrancar a nadie infinitas veces ni nada de eso. Te haces un lío de cuidado y puedes liar a otros en el foro.

La solución de la paradoja es la que menciona alespa07: una serie de infinitos términos puede converger y dar una suma finita, cosa que no contemplaba Zenón.

[juancarlos]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

El más rápido de los hombres, Aquiles, no podrá alcanzar nunca al más lento de los animales, la tortuga, si se da a ésta una ventaja inicial en una carrera. Pues, mientras Aquiles recorre el camino que la tortuga llevaba por la mencionada ventaja inicial, la tortuga habrá recorrido otra porción, aunque más pequeña. Cuando Aquiles haya llegado a recorrer esta última porción de camino, la tortuga habrá avanzado otra porción más pequeña, y así la tortuga llevará siempre la ventaja hasta en espacios infinitamente pequeños, con lo cual, Aquiles no podrá alcanzarla nunca.


Hola Chatran :

Hay algo que es muy obvio: congelaste el tiempo, vale decir que al subdividir en tramos mas chicos cada vez, estas considerando intervalos de
tiempo cada vez menores, y por ende nunca llega el instante "t" en que la tortuga es superada.
En tu analisis, involuntariamente asignas intuitivamente tiempos iguales a cada intervalo, sin embargo el tiempo tambien se va haciendo mas chico igual que las distancias recorridas, de modo que pensandolo asi, tampoco llegas nunca ,en tu reloj, a dicho instante t.
Mentalmente estas haciendo una "camara lenta" que cada vez va mas despacio, y dicho evento nunca llega.

Un saludo
Juan Carlos

[arivero]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

Hola,

Ojo con el singular en "paradoja de Zenon", en realidad en el original hay tres o cuatro paradojas, que se emplean para atacar distintas visiones del discreto o del continuo tanto para el espacio como para el tiempo. No esta claro lo que queria hacer Zenon, si defender una de las posibles combinaciones o mas bien atacar a la vez todas las descripciones, dandolas por imposibles. Pero es interesante que hay otra paradoja, no de Zenon sino de Democrito, que viene a ser la version "estatica", solo discretizando el espacio: ¿Cual es la diferencia entre una rodaja de cono y una rodaja de cilindro, si ambas se cortan arbitrariamente cerca de la base? Buscad por "democrito" y "crisipo" en google.

[Tarkus]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

El problema es que en esa época, no se tenía un buen concepto de lo infinito. Y como utilizaban números y cálculos matemáticos para medir distancias, por qué éstas no pueden ser infinitamente pequeñas si pueden ser infinitamente grandes?
Hoy sólo sabemos que es ocurre en nuestra imaginación, y se supone que el espacio está cuantificado.
Además matemáticamente una sumatoria de infinitos términos puede terminar dando un resultado finito (como en el caso de la solución a la paradoja).

¿Cual es la diferencia entre una rodaja de cono y una rodaja de cilindro, si ambas se cortan arbitrariamente cerca de la base? Buscad por "democrito" y "crisipo" en google.

Supongo que para ese problema habría que recurrir al cálculo infinitesimal. Si tubieses un cono y un cilindro de igual base, y cortás una rodaja de cada uno de tal forma que las bases sean iguales, y la altura mida un dx... Entonces ambas rodajas serían iguales.
Pero bueno, eso en la práctica no se podría lograr.

[ser humano]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

Hay algo que es muy obvio: congelaste el tiempo, vale decir que al subdividir en tramos mas chicos cada vez, estas considerando intervalos de
tiempo cada vez menores, y por ende nunca llega el instante "t" en que la tortuga es superada.
En tu analisis, involuntariamente asignas intuitivamente tiempos iguales a cada intervalo, sin embargo el tiempo tambien se va haciendo mas chico igual que las distancias recorridas, de modo que pensandolo asi, tampoco llegas nunca ,en tu reloj, a dicho instante t.
Mentalmente estas haciendo una "camara lenta" que cada vez va mas despacio, y dicho evento nunca llega.

exactamente

[iracubo]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

Hace un par de años empecé a aficionarme a la teoría de cuerdas. Entre otras cosas curiosas esta afirma que el mismísimo tejido espacio temporal podría estar hecho de cuerdas, que existen un montón de dimensiones microscópicamente enrolladas en geometrías inentendibles (para mí) llamadas espacios de Calabi-Yau, y que la distancia mínima que existe en la realidad es la longitud de Planck que equivale a, aproximadamente, 1,61624x10-35. Ahora que actualizo este texto y quiero publicarlo, encuentro que alguien publicó el año pasado un comentario relacionando la Longitud de Planck y la paradoja de Zenón y al pobre tipo lo atacaron con comentarios más iracundos que lúcidos. El ponente afirma que la distancia entre el corredor y la tortuga se hace cada vez más pequeña hasta llegar a la longitud de Planck, por debajo de ella la geometría no tiene sentido así que podríamos afirmar que los dos se encuentran en el mismo sitio. Los matemáticos respondieron que ya se sabe que no hay tal paradoja por que la suma de infinitésimos produce un número finito, como ingeniero chambón creo reconocer el machetazo de las aproximaciones que (me parece) invalida este razonamiento. Un solo argumento me pareció interesante, alguien tuvo en cuenta que al disminuir las distancias se disminuye también el tiempo por lo que el movimiento terminará deteniéndose y de todas formas persistirá la paradoja. Creo tener otra respuesta. Mi razonamiento no es que la geometría deje de tener sentido y por eso se pueda considerar que se encuentren en el mismo sitio. Yo quiero redimir mi comentario jocoso de la discontinuidad del espacio tiempo y, apoyándome en la teoría de cuerdas (que no se sabe aun si es cierta) afirmar que cuando la distancia se reduce a la longitud de Planck, el perseguidor supera cuánticamente esta distancia y alcanza a la tortuga en un intervalo de tiempo igual o mayor al tiempo de Plank. Esto implicaría que en realidad cada movimiento que hacemos involucra teletransportaciones microscópicas o algo así; pero si alguna vez se llega a confirmar que la teoría de cuerdas es cierta, me pido el Nobel de física por el razonamiento, aun que probablemente solo reciba el Ig-Nobel por hablar de vainas que realmente no entiendo.