formación de hielo

[alefriz]

Llevo todas las vacaciones con este problema y no me sale:

Una noche despejada con el aire a 6 ºC y una temperatura equivalente del firmamento, a efectos radiativos, de 228 K, se coloca al descubierto una bandeja aislante con una capa de agua (suponer a 15 ºC) de 1 cm de espesor. El aire está en reposo (coeficiente convectivo de 6 W/(m2·K)):

a) Razonar si es posible o no que el agua se congele transcurrido un cierto tiempo.
b) Si es posible su congelación, estimar el tiempo para que se inicie.
c) Estudiar la influencia del coeficiente convectivo del aire. Determinar si existe un valor crítico.

[balik]

Re: formación de hielo

[QUOTE=alefriz;11643]
Una noche despejada con el aire a 6 ºC y una temperatura equivalente del firmamento, a efectos radiativos, de 228 K, bandeja aislante con una capa de agua (suponer a 15 ºC)

explicame lo que quieres decir con temperatura equivalente del firmamento ( en que sentido son equivalentes? , porque una es 279 K y la otra a 228 K )

Cuando dices bandeja aislante , Que aisla ?
( la capa de agua esta debajo de la bandeja o encima ?

explicame estas cosas y tal vez pueda ayudarte.

[alefriz]

Re: formación de hielo

[QUOTE=balik;11649]

Una noche despejada con el aire a 6 ºC y una temperatura equivalente del firmamento, a efectos radiativos, de 228 K, bandeja aislante con una capa de agua (suponer a 15 ºC)

explicame lo que quieres decir con temperatura equivalente del firmamento ( en que sentido son equivalentes? , porque una es 279 K y la otra a 228 K )

Cuando dices bandeja aislante , Que aisla ?
( la capa de agua esta debajo de la bandeja o encima ?

explicame estas cosas y tal vez pueda ayudarte.

Bueno, yo entiendo que lo de la temperatura de 228 K es a la que radia el firmamento, o el ambiente, y el agua deberá radiar también a su temperatura (288 K). Bueno, yo lo estaba considerando asi, que no se si será correcto.

Lo de la bandeja yo he supuesto que está aislada al calor en toda su superficie (fondo y laterales) por su exterior, y la bandeja contiene ese agua.

[pod]

Re: formación de hielo

A ver... que la bandeja sea aislante significa que no hay pérdida de calor por conducción. Así que tendrás pérdidas por convección, donde la temperatura del fluido convectivo será 6ºC = 279K.

Además, hay flujo por radiación en ambas direcciones; el agua emite como un agujero negro a 288K; y recibe la radiación del firmamento, que es la de un agujero negro a 228K. Como la ganancia es menor que la pérdida, entonces se enfriará.

Juntas todos los términos y resuelves la ecuación diferencial para $t\to\infty$. Si te sale menor a 273K, se congela. Ahora sólo te falta saber como son las ecuaciones para convección y radiación; la de radiación debería ser la de Stefan simplemente. La de convección creo haberla visto alguna vez cuando era joven, pero ya no me acuerdo Supongo que tú la tendrás a mano, si andas estudiando estas cosas.

[alefriz]

Re: formación de hielo

A ver... que la bandeja sea aislante significa que no hay pérdida de calor por conducción. Así que tendrás pérdidas por convección, donde la temperatura del fluido convectivo será 6ºC = 279K.

Además, hay flujo por radiación en ambas direcciones; el agua emite como un agujero negro a 288K; y recibe la radiación del firmamento, que es la de un agujero negro a 228K. Como la ganancia es menor que la pérdida, entonces se enfriará.

Juntas todos los términos y resuelves la ecuación diferencial para $t\to\infty$. Si te sale menor a 273K, se congela. Ahora sólo te falta saber como son las ecuaciones para convección y radiación; la de radiación debería ser la de Stefan simplemente. La de convección creo haberla visto alguna vez cuando era joven, pero ya no me acuerdo Supongo que tú la tendrás a mano, si andas estudiando estas cosas.

Gracias por las indicaciones, pero pienso que intentar resolver esto mediante límites en ecuaciones diferenciales tiene que ser un puro de campeonato. No creo que pueda ser tan complicado o si? no lo se, la verdad.

[pod]

Re: formación de hielo

Gracias por las indicaciones, pero pienso que intentar resolver esto mediante límites en ecuaciones diferenciales tiene que ser un puro de campeonato. No creo que pueda ser tan complicado o si? no lo se, la verdad.

Inténtalo. Es posible que simplemente tengas que suponer que al cabo de mucho tiempo, tienes un estado estacionario, y por lo tanto puedes directamente "tirar" las derivadas, o la mayoría.

[alefriz]

Re: formación de hielo

Inténtalo. Es posible que simplemente tengas que suponer que al cabo de mucho tiempo, tienes un estado estacionario, y por lo tanto puedes directamente "tirar" las derivadas, o la mayoría.

Bueno, no lo conseguí con ecuaciones diferenciales (que soy un paquete con ellas), pero llegué a que sí se congela y el tiempo que tarda en iniciarse (aunque esto último no se si será correcto):

1.-
(Suponiendo una emisividad de 0,8 por ejemplo)
Flujo de calor cedido a la atmósfera (por unidad de superficie, W/m2):
$(\frac{q}{A})_{ced} = \epsilon \cdot \sigma \cdot {T_{agua}}^4 + h (T_{agua} - T_{atm}) = 0,8 \cdot 5,67 \cdot 10^{-8} \cdot 288^4 + 6 (288 - 279)\simeq 366$

Flujo de calor absorbido por el agua (por unidad de superficie, W/m2):
$(\frac{q}{A})_{abs} = \epsilon \cdot \sigma \cdot {T_{firm}}^4 = 0,8 \cdot 5,67 \cdot 10^{-8} \cdot 228^4\simeq 122,5$

El agua ira bajando de temperatura hasta alcanzar un valor $T$ en que se igualen los flujos térmicos en el equilibrio termodinámico, es decir:

$\epsilon \cdot \sigma \cdot (T^4 - {T_{firm}}^4) + h (T - T_{atm}) = 0$

Resolviendo da una temperatura $T \simeq 263,5 K$, por lo que sí se congela.

2.-
Me sale que tarda aproximadamente 53 minutos ($t_1 + t_2$) hasta que se empieza a iniciar la congelación del agua.

$\frac{\rho \cdot e \cdot C_e (T_{288} - T_{279})}{t_1} = \epsilon \cdot \sigma \cdot ({T_{288}}^4 - {T_{228}}^4) + h (T_{288} - T_{279})$

$\frac{\rho \cdot e \cdot C_e (T_{279} - T_{273})}{t_2} = \epsilon \cdot \sigma \cdot ({T_{279}}^4 - {T_{228}}^4) - h (T_{279} - T_{273})$

[carroza]

Re: formación de hielo

Bueno, no lo conseguí con ecuaciones diferenciales (que soy un paquete con ellas), pero llegué a que sí se congela y el tiempo que tarda en iniciarse (aunque esto último no se si será correcto):

1.-
(Suponiendo una emisividad de 0,8 por ejemplo)
Flujo de calor cedido a la atmósfera (por unidad de superficie, W/m2):
$(\frac{q}{A})_{ced} = \epsilon \cdot \sigma \cdot {T_{agua}}^4 + h (T_{agua} - T_{atm}) = 0,8 \cdot 5,67 \cdot 10^{-8} \cdot 288^4 + 6 (288 - 279)\simeq 366$

Flujo de calor absorbido por el agua (por unidad de superficie, W/m2):
$(\frac{q}{A})_{abs} = \epsilon \cdot \sigma \cdot {T_{firm}}^4 = 0,8 \cdot 5,67 \cdot 10^{-8} \cdot 228^4\simeq 122,5$

El agua ira bajando de temperatura hasta alcanzar un valor $T$ en que se igualen los flujos térmicos en el equilibrio termodinámico, es decir:

$\epsilon \cdot \sigma \cdot (T^4 - {T_{firm}}^4) + h (T - T_{atm}) = 0$

Resolviendo da una temperatura $T \simeq 263,5 K$, por lo que sí se congela.

2.-
Me sale que tarda aproximadamente 53 minutos ($t_1 + t_2$) hasta que se empieza a iniciar la congelación del agua.

$\frac{\rho \cdot e \cdot C_e (T_{288} - T_{279})}{t_1} = \epsilon \cdot \sigma \cdot ({T_{288}}^4 - {T_{228}}^4) + h (T_{288} - T_{279})$

$\frac{\rho \cdot e \cdot C_e (T_{279} - T_{273})}{t_2} = \epsilon \cdot \sigma \cdot ({T_{279}}^4 - {T_{228}}^4) - h (T_{279} - T_{273})$

Hola. parece que tu parte 1.- está correcta.

La parte 2 creo que no está bien. Estás suponiendo que la tasa de emisión de calor es constante.
Sugiero que hagas la aproximación siguiente:

$(T^4-T_{firm}^4)\simeq 4 (T-T_{firm}) T_{firm}^3$

Con ello tienes que

${C_e \over A} {dT \over dt} = - \epsilon \cdot \sigma \cdot 4 (T-T_{firm}) T_{firm}^3- h (T - T_{air})$


La solución de esta ecuación es



$T(t) = (T(0)-T(e)) exp(-\lambda t) + T(e)$

$T(e)$ es la temperatura de equilibrio que has calculado en (1).

$T(0)$ es la temperatura inicial

La tasa de variación de la temperatura $\lambda$ viene dada por

${C_e \lambda \over A}= \epsilon \cdot \sigma \cdot T_{firm}^3+h$



A partir de ahi, el tiempo necesario para alcanzar una temperatura de 273 grados es

$\lambda t =- \log((273-T(e))/(T(0)-T(e))$