Ecuación de Schrödinger unidimensional

[Saplaya]

Se busca obtener la ecuación de Schrödiger, unidimensional, independiente del tiempo, es decir, la ecuación diferencial que relaciona la energía $E$ de un sistema cuántico unidimensional con su función de onda $\Psi$. La ecuación de Schröndinger se obtiene para la partícula libre y una vez obtenida se postula su validez para cualquier sistema cuántico.
Se considera como punto de partida el postulado de de Broglie, que establece la dualidad onda-corpúsculo, aplicado a una partícula libre de momento lineal $p$. De este modo, las ecuaciones en las que se basa la demostración son:

a) Ecuación de onda general

$$\frac{\partial^2{\Psi}}{\partial {x}^2}-\frac{1}{v^2}{\frac{\partial^2{\Psi}}{\partial {t}^2}}=0$$

donde $\Psi$ representa la función de onda asociada a la partícula y $v$ su velocidad de propagación.

b) Postulado de de Broglie

$$\lambda=\frac{2\pi\hbar}{p}$$

siendo $\lambda$ la longitud de onda.

Dado que la partícula libre no se haya influenciada por ningún agente externo, a excepción de un potencial constante, se considera como onda asociada una onda de periodo constante que se desplace con velocidad $v$ constante

$$v={\lambda}{\nu}$$

siendo $\nu$ la frecuencia de la onda. Haciendo el cambio $\omega=2\pi\nu$ obtenemos

$$v=\frac{\lambda\omega}{2\pi}$$

una onda que se ajusta a estos requerimientos es

$$\Psi=A\mathrm{e}^{-i{\omega}t}\mathrm{e}^{ikx}$$

Como se busca una ecuación diferencial independiente del tiempo, para finalmente postular su validez para cualquier sistema cuántico, la parte independiente de $t$ interesa expresarla de forma generalizada, de esta forma hacemos

$$\varphi=A\mathrm{e}^{ikx}$$

teniendo siempre en cuenta que $\varphi$ depende únicamente de $x$, es decir $\varphi=\varphi({x})$, por tanto nos queda

$$\Psi=\mathrm{e}^{-i{\omega}t}\varphi$$

Ahora procedemos a obtener las primeras y segundas derivadas respecto de $t$ y de $x$

$$\frac{\partial{\Psi}}{\partial {t}}=-i{\omega}\mathrm{e}^{-i{\omega}t}\varphi$$

$$\frac{\partial^2{\Psi}}{\partial {t}^2}=-{\omega}^2\mathrm{e}^{-i{\omega}t}\varphi$$

$$\frac{\partial{\Psi}}{\partial {x}}=\mathrm{e}^{-i{\omega}t}\frac{\partial{\varphi}}{\partial {x}}$$

$$\frac{\partial^2{\Psi}}{\partial {x}^2}=\mathrm{e}^{-i{\omega}t}\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {x}^2}$$

Sustituyendo (1.5) y (1.6) en (1.1) llegamos a la siguiente forma de la ecuación de onda general

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lo cual nos permite eliminar el factor dependiente del tiempo $\mathrm{e}^{-i{\omega}t}$, quedándonos

$$\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {x}^2}+\frac{{\omega}^2}{v^2}{\varphi}=0$$

ahora sustituimos la expresión de la velocidad (1.3) en (1.7)

$$\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {x}^2}+\frac{{4{\pi}^2\omega}^2}{{\lambda}^2{\omega}^2}{\varphi}=0$$

En este punto introducimos el postulado de de Broglie, sustituyendo $\lambda$ por la ecuación (1.2)

$$\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {x}^2}+4{\pi}^2\frac{p^2}{4{\pi}^2{\hbar}^2}{\varphi}=0$$

y simplificando queda

$$\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {x}^2}+\frac{p^2}{{\hbar}^2}{\varphi}=0$$

Lo siguiente que necesitamos hacer es relacionar la ecuación (1.8) con la energía de la partícula, para ello partimos del hamiltoniano

$$E=\frac{p^2}{2m}+V$$

$p^2/2m$ es la energía cinética y $V$ la potencial, que es constante por tratarse de una partícula libre. De esta expresión obtenemos

$$p^2=2m(E-V)$$

y sustituyendo (1.9) en (1.8)

$$\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {x}^2}+\frac{2m(E-V)}{{\hbar}^2}{\varphi}=0$$

multiplicando ahora por $-\frac{{\hbar}^2}{2m}$

$$\boxed{- \frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {x}^2}+V{\varphi}=E{\varphi}}$$

que es la Ecuación de Schrödinger unididmensional independiente del tiempo.

[Saplaya]

Las demostraciones a realizar serían:

1- Obtención de la ecuación de onda general (ecuación 1.1)
2- Demostración de la relación de de Broglie para el fotón (ecuación 1.2)
3- Demostrar que la función de onda seleccionada (ecuación 1.4) es de periodo constante y se desplace con velocidad $v$ constante
4- Demostrar que

$$\frac{\dd(\mathrm{e}^{{\alpha}z})}{\dd z}={\alpha}\mathrm{e}^{{\alpha}z}$$

[ser humano]

Demostracion de que la funcion de onda 1.4 tiene periodo constante (subdemostracion de la ecuacion de Schrödinger unidimencional, item 3)

$\Psi=A\mathrm{e}^{-i{\omega}t}\mathrm{e}^{ikx} =A\mathrm{e}^{-i{\omega}t + ikx}=A\mathrm{e}^{i(kx-{\omega}t) }$

Implementando la ultima expresion, intentaremos notar que para cualquier $x$ se cumple que el valor de $\Psi$ cada $nT$ (siendo $n\in \mathbb{N}$ o $n=0$, y $T$ el periodo) es el mismo.

para un tiempo $t$ como ya se menciono, $\Psi_1=A\mathrm{e}^{i(kx-{\omega}t) }$. Veamos que pasa en un tiempo $t+nT$:

$\Psi_2=A\mathrm{e}^{i[kx-{\omega}(t+nT)] }$

Tomando a $T=\frac {2\pi}{\omega}$

$$\Psi_2=A\mathrm{e}^{i[kx-{\omega t+2\pi n)] }}=A\mathrm{e}^{i(kx-\omega t)}\mathrm{e}^{(i2\pi n)}$$

Por la formula de Euler para todo $y$ se cumple $\mathrm{e}^{iy}=\cos y + i \sin y$, por lo tanto:

$\mathrm{e}^{i2\pi n}= \cos {2\pi n} + i \sin {2\pi n}$

como para todo $n$, $\cos {2\pi n}=1$ y $\sin {2\pi n}=0$:

$\mathrm{e}^{i2\pi n}=1$

Entonces si sustituimos en (2.1):

$\Psi_2=A\mathrm{e}^{i(kx-{\omega}t) } = \Psi_1$

Quedando demostrado de esta manera que (1.4) es una onda periodica.

[Entro]

Obtención de la ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo a través de un tratamiento variacional

Usualmente podemos obtener las ecuaciones dinámicas a partir de un principio variacional que extremiza la acción (o función principal de Hamilton):

$$S=\int_{t_1}^{t_2}L dt=\int_{t_1}^{t_2}(K-V)dt$$

Variando la acción obtenemos las ecuaciones de Euler-Lagrange.

$$\frac{\partial L}{\partial x}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)=0$$

La ecuación de Schrödinger, que usaremos la versión unidimensional por simplicidad viene dado por:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V\psi=i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}$$

La derivación original de Schrödinger de la ecuación (3) se fundamenta en un tratamiento variacional. El propone que la descripción de la mecánica ondulatoria viene dada por una función de la forma:

$$\psi=Aexp({i\frac{S}{\hbar}})$$

Esto es un ansatz, es decir, es el postulado que tenemos que asumir. Su validez vendrá determinada por la capacidad de encontrar la ecuación de Schrödinger a partir de este supuesto.

La acción (función principal de Hamilton) ha de verificar la ecuación de Hamilton-Jacobi:

$$\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^2+V=0$$

Empleando (4) se verifica:

$$\frac{\partial S}{\partial x}=-\frac{i\hbar}{\psi}\frac{\partial \psi}{\partial x}$$

Teniendo en cuenta que $\frac{\partial S}{\partial t}$ corresponde a la energía E del sistema y que $\psi$ es una cantida compleja, la ecuación de Hamilton-Jacobi (5) se puede escribir como:

$$-E+\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^*\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)+V=0$$

Sustituyendo (6) obtenemos:

$$-E+\frac{1}{2m}\left(\frac{i\hbar}{\psi^*}\frac{\partial \psi^*}{\partial x}\right)\left(-\frac{i\hbar}{\psi}\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)+V=0$$

Reordenando términos:

$$(V-E)\psi^*\psi+\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial \psi^*}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)$$

Esta cantidad se puede considerar la densidad lagrangiana de un sistema que verifique la ecuación de Schrödinger. Dicha densidad lagrangiana depende de las siguientes cantidades $(\psi,\psi^*,\frac{\partial \psi}{\partial x},\frac{\partial \psi^*}{\partial x})$

$$\mathcal{L}= (V-E)\psi^*\psi+\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial \psi^*}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)$$

Tomando las ecuaciones de Euler-Lagrange que se obtienen variando $\psi^*$:

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi^*}-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\frac{\partial \psi^*}{\partial x})}\right)=0$$

que nos da:

$$(V-E)\psi-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}=0$$

Que es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

Comentarios:

1.- Este camino se fundamenta en el principio de acción y sigue bastante de cerca el planteamiento inicial de Schrödinger.
2.- El ansatz (4) es justificado por el resultado y porque es el punto de partida de la formulación de Feynman de la mecánica cuántica, base de las integrales de camino.
3.- Se podría derivar la Lagrangiana 10 imponiendo que la teoría es invariante bajos cambios de fase. Por aplicación del teorema Noether encontrariamos la corriente de probabilidad usual en mecánica cuántica.
4.- Para encontrar la ecuación de Schrödinger se ha de suponer que $(\psi, \psi^*)$ son variables independientes. Este es un procedimiento usual en teoría cuántica, luego hay que imponer condiciones de realidad que te aseguran que una es la compleja conjugada de la otra.
5.- Este tratamiento se puede extender al caso dependiente del tiempo y, evidentemente, a tres dimensiones espaciales.

[Saplaya]

Obtención de la Ecuación de Schrödinger partiendo de la Ecuación de Klein-Gordon

En este artículo se obtiene la ecuación de Schrödinger por aplicación de la ecuación cuántico-relativista de Klein-Gordon sobre la función de onda monocromática asociada a la partícula cuántica, considerando para ello la aproximación al límite no relativista. Las características que definen la partícula son su masa $m$, su cantidad de movimiento $\vec{p}$ y la frecuencia de la onda asociada $\nu$.

La ecuación de Klein-Gordon viene expresada de la siguiente forma

$$\boxed{\left (\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right )\Psi=0}$$

La función de onda considerada adquiere la forma

$$\Psi=\ee^{-i\omega t}\varphi (x,y,z)$$

Realizamos la primera y segunda derivación de $\Psi$ respecto del tiempo

$$\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-i \omega \ee^{-i\omega t}\varphi(x,y,z)=-i\omega\Psi$$

$$\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}=-\omega^2 \ee^{-i\omega t}\varphi(x,y,z)=-\omega^2\Psi$$

La energía de la partícula es

$$E=\omega\hbar, \qquad E^2=\omega^2\hbar^2, \qquad \omega=2\pi\nu, \qquad \hbar=\frac{h}{2\pi}$$

$$\omega=\frac{E}{\hbar}$$

$$\omega^2=\frac{E^2}{\hbar^2}$$

sustituyendo (5) en la primera derivada de $\Psi$ (3)

$$\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-i\frac{E}{\hbar}\Psi$$

$$E\Psi=i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}$$

sustituyendo (6) en la segunda derivada de $\Psi$ (4)

$$\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}=-\frac{E^2}{\hbar^2}\Psi$$

y aplicando (8) sobre la ecuación de Klein-Gordon (1)

$$\left (-\frac{1}{c^2}\frac{E^2}{\hbar^2}-\nabla^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right )\Psi=0$$

multiplicando ahora por $\dst -\frac{\hbar^2}{2m}$

$$\left (\frac{E^2}{c^2 2m}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2-\frac{m^2c^2}{2m}\right )\Psi=0$$

Consideramos ahora la expresión relativista del cuadrado de la energía de la partícula

$$E^2=p^2c^2+m^2c^4$$

y la sustituimos en (9)

$$\left (\frac{ p^2c^2+m^2c^4}{c^2 2m}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2-\frac{m^2c^2}{2m}\right )\Psi=0$$

$$\left (\frac{ p^2c^2}{c^2 2m}+\frac{m^2c^4}{c^2 2m}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2-\frac{m^2c^4}{c^2 2m}\right )\Psi=0$$

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en el límite no relativista la expresión $\dst \frac{p^2}{2m}$ corresponde a la energía cinética

$$T=\frac{p^2}{2m}$$

siendo la energía total

$$E=T+V, \qquad (V= \text{Energia potencial})$$

con lo que

$$\frac{p^2}{2m}=E-V$$

Sustituyendo ahora (12) en (11)

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y finalmente utilizando la ecuación (7) sobre la expresión (13) concluimos

$$\boxed{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi+V\Psi= i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}}$$

que es la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

Demostraciones relacionadas:

- Ecuación de Schrödinger Dependiente del Tiempo
- Ecuación de Schrödinger Tridimensional
- Ecuación de Schrödinger Unidimensional
- Ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo a través de un tratamiento variacional

Subdemostraciones:

- Obtención de la expresión relativista del cuadrado de la energía (ecuación 10)