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Como se notara en el procedimiento, unicamente es valida para curvas que cumplen las condiciones de funcion.
Lo que hice fue dividir al dominio en intervalos, todos de igual cardinal, quedándome intervalos de cardinal , con cardinal del dominio. A cada uno de estos intervalos les correspondía un subconjunto de la imagen de la función. Geométricamente, se puede notar que para muy grandes, los puntos de la imagen correspondientes a un intervalo (de los mencionados) forman muy aproximadamente una recta, valiendo esto para cualquier curva.
De esta forma, ya trabajando únicamente con segmentos rectos, puedo escribir por el teorema de pitágoras:
. Donde
es la longitud de la recta correspondiente a la imagen de un intervalo 
, 
es dicho intervalo, y 
es la proyección de en el eje de las ordenadas.
Teniendo en cuenta que
:
Como se puede notar, mi objetivo es sumar todos los que le correspondan a cada uno de los intervalos mencionados. Entonces:
Siendo
el ángulo que forma la recta correspondiente a un intervalo (que como se puede notar están ordenados y por lo tanto se pueden numerar) con la horizontal (es decir con cualquier recta paralela al eje de las abscisas). El subíndice 
hace referencia al numero de orden del intervalo del dominio que se esta tomando.
Pero como ya se hizo explicito,
, y para ajustarse lo mas posible a la curva, hagamos que 
:
Como se puede notar,
es la pendiente de la recta que pasa por la imagen de los intervalos, que es la misma pendiente que tiene la recta tangente de la función en un punto medio del intervalo elegido, que es por definición, la derivada (notar que esto solo es valido porque los segmentos tomados son muy pequeños). Entonces:
Lo que hice fue dividir al dominio en intervalos, todos de igual cardinal, quedándome intervalos de cardinal , con cardinal del dominio. A cada uno de estos intervalos les correspondía un subconjunto de la imagen de la función. Geométricamente, se puede notar que para muy grandes, los puntos de la imagen correspondientes a un intervalo (de los mencionados) forman muy aproximadamente una recta, valiendo esto para cualquier curva.
De esta forma, ya trabajando únicamente con segmentos rectos, puedo escribir por el teorema de pitágoras:
. Donde
es la longitud de la recta correspondiente a la imagen de un intervalo , es dicho intervalo, y es la proyección de en el eje de las ordenadas.Teniendo en cuenta que
:Como se puede notar, mi objetivo es sumar todos los
que le correspondan a cada uno de los intervalos mencionados. Entonces:Siendo
el ángulo que forma la recta correspondiente a un intervalo (que como se puede notar están ordenados y por lo tanto se pueden numerar) con la horizontal (es decir con cualquier recta paralela al eje de las abscisas). El subíndice hace referencia al numero de orden del intervalo del dominio que se esta tomando.Pero como ya se hizo explicito,
, y para ajustarse lo mas posible a la curva, hagamos que :Como se puede notar,
es la pendiente de la recta que pasa por la imagen de los intervalos, que es la misma pendiente que tiene la recta tangente de la función en un punto medio del intervalo elegido, que es por definición, la derivada (notar que esto solo es valido porque los segmentos tomados son muy pequeños). Entonces:
)
Buena demostración ser humano, sobre lo que dijo Stormkalt si el límite de una curva tiende a cero, ésta se hace una recta?
Comentario