Movimiento parabólico: demostraciones del tiempo de movimiento, del abasto y de la altura máxima.

[Weip]

Hola a todos. Este es mi primer artículo, en el que demostraré las ecuaciones del tiempo de movimiento, del alcance y de la altura máxima en el movimiento parabólico (en dos dimensiones).
Para comprender mejor las demostraciones, recomiendo el siguiente artículo relacionado con el Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) y el Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA).
[FONT=Tahoma]
Hecha la introducción, empecemos:

El movimiento parabólico está compuesto por dos movimientos: Un MRU (Componente horizontal de velocidad $v_x$ constante) y un MRUA (Componente vertical de velocidad $v_y$ constante).

La velocidad inicial $\vec{v_0}$ se descompone en sus dos componentes horizontal $v_0_x$ y vertical $v_0_y$. Observando el dibujo y ayudándonos de la trigonometría, podemos establecer las siguientes relaciones:

[FONT=arial]

$$\cos\alpha=\frac{v_0_x}{v_0}$$

y

$$\sin\alpha=\frac{v_0_y}{v_0}$$

[/FONT]

[FONT=arial]Así, obtenemos que:[/FONT]

[FONT=arial]

$$v_0_x=v_0\cos\alpha$$

$$v_0_y=v_0\sin\alpha$$

[/FONT]

[FONT=arial]
La componente horizontal de la velocidad es siempre constante y igual a la velocidad inicial:

[/FONT]

[FONT=arial]

$$v_x=v_0_x=\text{constante}$$

[/FONT]

El vector posición $\vec{r}$ es la suma vectorial de los vectores posición de cada movimiento, de esta manera:
[/FONT]

[FONT=arial]

$$\vec{r}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}$$

[/FONT]

[FONT=arial]
Como hemos dicho, el movimiento horizontal corresponde a un MRU, cuya ecuación es la siguiente:
[/FONT]

[FONT=arial]

$$x=x_0+v_0_x}t$$

[/FONT]

[FONT=arial]
El movimiento vertical corresponde a un MRUA de ecuación:
[/FONT]

[FONT=arial]

$$y=y_0+v_0_yt-\frac12gt^2$$

[/FONT]

[FONT=arial]He cogido el valor de $g$ como negativo ya que es un vector que apunta al centro de la Tierra (y por tanto, hacia abajo). En adelante se mantendrá este criterio.[/FONT]

[FONT=arial]
Teniendo en cuenta estas ecuaciones, ya podemos iniciar nuestras demostraciones. Consideraremos que el tiro parabólico se inicia desde el suelo, donde $x_0=0$, $y_0=0$ y $t_0=0$, ya que las siguientes ecuaciones solo sirven bajo estas condiciones.
[/FONT]

[FONT=arial]

Tiempo de movimiento[/FONT]

[FONT=arial]
El tiempo de movimiento es el tiempo total que un móvil permanece en movimiento. Para calcularlo, debemos tener en cuenta la componente vertical del movimiento. También hemos de tener en cuenta que$y=0$. Por tanto:
[/FONT]

[FONT=arial]

$$0=v_0_yt-\frac12gt^2$$

[/FONT]

[FONT=arial]
Sacamos factor común de $t$:
[/FONT]

[FONT=arial]

$$t\left(v_0_y-\frac12gt\right)=0$$

[/FONT]

[FONT=arial]Ahora tenemos una ecuación de segundo grado con dos soluciones. La primera es $t=0$, que corresponde al instante inicial. La que buscamos es la segunda solución:
[/FONT]

[FONT=arial]

$$v_0_y-\frac12gt=0$$

$$v_0_y=\frac12gt$$

[/FONT]

[FONT=arial]Despejamos $t$:
[/FONT]

[FONT=arial]

$$\boxed{t=\frac{2v_0\sin\alpha }{g}}$$

[/FONT]

[FONT=arial]
Y esta es la ecuación del tiempo de movimiento.
[/FONT]

[FONT=arial]

Alcance

[/FONT]

[FONT=arial]El alcance es la distancia horizontal que recorre un móvil (que representaremos así: $x_{\max}$).
Para demostrar el alcance, sustituimos el tiempo de movimiento (ecuación (13) en la ecuación (7)):
[/FONT]

[FONT=arial]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[/FONT]

[FONT=arial]
Como sabemos, $v_0_x=v_0\cos\alpha$
[/FONT]

[FONT=arial]

$$x_{\max}=x_0+v_0\cos\alpha\frac{2v_0\sin\alpha }{g}$$

[/FONT]

[FONT=arial]
Simplificamos la ecuación:
[/FONT]

[FONT=arial]

$$x_{\max}=\frac{2v_0^2\sin\alpha\cos \alpha}{g}$$

[/FONT]

[FONT=arial]

Finalmente, usamos la relación trigonométrica $\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha$:
[/FONT]

[FONT=arial]

$$\boxed{x_{\max}=\frac{v_0^2\sin2\alpha}{g}}$$

[/FONT]

[FONT=arial]

Y esta es la ecuación del alcance.
[/FONT]

[FONT=arial]

Altura máxima

[/FONT]

[FONT=arial]La altura máxima es la altura a la que llega el punto más alto del tiro parabólico. Es decir, cuando $v_y=0$. Lo representaremos así: $y_{\max}$.
Tomamos la ecuación de la velocidad del MRUA (puesto que debemos encontrar la altura máxima, hemos de trabajar con la componente vertical):
[/FONT]

[FONT=arial]

$$0=v_0_y-gt$$

[/FONT]

[FONT=arial]
Despejamos el tiempo:
[/FONT]

[FONT=arial]

$$t=\frac{v_0_y} g$$

[/FONT]

[FONT=arial]
Sabemos que $v_0_y=v_0\sin\alpha$, y por tanto:
[/FONT]

[FONT=arial]

$$t=\frac{v_0\sin \alpha} g$$

[/FONT]

[FONT=arial]
Ahora, tomamos la ecuación (8) y sustituimos en la ecuación el valor del tiempo de la ecuación (13) (recordemos que el tiro lo realizamos desde el suelo):
[/FONT]

[FONT=arial]

$$y_{\max}=v_0_yt-\frac 1 2 gt^2$$

[/FONT]

[FONT=arial]
Arreglamos un poco la ecuación:
[/FONT]

[FONT=arial]

$$y_{\max}=\frac{v_0^2\sin^2\alpha } g -\frac{v_0^2 \sin ^2\alpha }{2g}$$

[/FONT]

[FONT=arial]
Finalmente:
[/FONT]

[FONT=arial]

$$\boxed{y_{\max}=\frac{v_0^2\sin^2\alpha }{2g}}$$

[/FONT]

[FONT=arial]
Y esta es la expresión de la altura máxima.

Otra forma de obtener dicha ecuación es obtener la ecuación de la trayectoria y sustituir $x$ por $x_{\max}/2$, que es el valor de la coordenada $x$ para el cual $y$ es máximo.

Por supuesto, estoy abierto a todo tipo de críticas y sugerencias.[/FONT]

[angel relativamente]

Aviso que voy a destriparte el artículo porque soy muy meticuloso. Muchas de las cosas que te digo son nimiedades, en general me parece que la demostración está bien hecha y bien explicada.

1-Aquí sí veo bien la imagen, pero en el borrador que tienes sigo sin verla bien.
No sé como adjuntarías la otra imagen, pero tiene que salirte algo así como [ATTACH]...[/ATTACH], y entre los puntos suspensivos el código de tu imagen.

2-Respecto a los enlaces que pones, me parecen acertados, pero por estilo queda más bonito ponerlo con [URL="enlacequequieresqueaparezca"]nombrequequieresquesevea[/url], ya que en lugar de verse http://www.wordreference.com/definicion/as%C3%AD se ve así.

3- Para encuadrar una ecuación $\left(\boxed{\text{supongo que te refieres a esto}}\right)$, utiliza el comando \boxed{}. Y en lugar de preguntar cualquier duda de $\LaTeX$ que tengas y no hayas encontrado en el manual, te digo un truco: Haz doble click en la ecuación que quieras ver y te aparecerá el código escrito.

4-

[FONT=arial]Como hemos dicho, el movimiento horizontal corresponde a un MRU, cuya ecuación es la siguiente:
[/FONT]$x=x_{0}+v_{0x}t$

Correcto, aunque yo lo he visto más veces representado por $x=x_0+v_x t$

, ya que $v_{0x}=v_x$ al ser MRU. Vamos, por ahorrar espacio.

5-

[FONT=arial]El movimiento vertical corresponde a un MRUA de ecuación:
$y=y_0+v_{0y}t-\dfrac 12 gt^2$
[/FONT]

Correcto relativamente. Lo que has hecho es seleccionar un criterio de signos (en concreto, el que se suele usar para el plano cartesiano). Sería, pues, conveniente que explicitaras ese criterio que utilizas. Esto es más que nada porque la gente que no entiende bien el tema de sistemas de referencia llegan a universalizar tanto que $g$ es negativo que si les cambian el sistema se hacen un lío. Hay situaciones que conviene más tomar el positivo "hacia abajo", y la gente sigue poniéndole el signo menos a la $g$. Siempre que me encuentro una cosa similar les digo, ¿y hacia dónde apunta $g$ si me pongo a hacer el pino?

6-

[FONT=arial] Decir que el tiro parabólico se inicia desde el suelo, donde $x_0=0$, $y_0=0$, $t_0=0$ [/FONT]

No sabía yo que todos los tiros parabólicos cumplían esas condiciones. Creo que la única condición es que su trayectoria sea parabólica para un observador en reposo. En todo caso di que esas son las condiciones que pones a tu tiro parabólico para que la demostración sea más sencilla

7-

[FONT=arial]Arreglamos un poco la ecuación:
[/FONT]$0=v_{0y}-\dfrac 12 gt^2$

Pues has intentado arreglarla pero la has dejado peor, ya que te has comido descaradamente un tiempo. Supongo que querías llegar a $0=v_{0y}-\dfrac 12 gt$, que es lo que resulta al dividir entre t la anterior ecuación. No obstante, quizá eso tuvieses que explicarlo un poco más (mostrando la factorización), ya que al hacer ese paso te comes la solución trivial de $t=0$. Que a pesar de ser trivial es correcta y no está de más añadirla.

8-

[FONT=arial](Teniendo en cuenta que $v_{0y}=v_0 \sin \alpha$)[/FONT]

La descomposición vectorial podrías hacerla al principio. Así dejas claro cómo se relacionan las velocidades en los dos ejes con la velocidad inicial que se le imprime a la partícula y luego no tienes que ir diciendo la coletilla del "teniendo el cuenta" o el "como sabemos" (ya que además presupones que lo saben), y puedes limitarte a remitir la ecuación que habías explicado anteriormente.

9- En la ecuación (9) te has comido un cuadrado.

10- Otra forma de demostrar la altura máxima es obtener la ecuación de la trayectoria (es decir, dejar y en función de x) y sustituir x por $x_{max}/2$, que es el valor de la coordenada x para el cual y es máximo (aunque esto solo es válido en el caso que describes, cuando el punto de lanzamiento y el de caída están al mismo nivel).

11-

[FONT=arial]Para calcularlo, debemos tener en cuenta la componente vertical del movimiento[/FONT]

Tenía entendido que las componentes estaban referidas a los vectores, ¿y cuál es el vector movimiento?
No es que no quede claro a lo que te quieres referir, es por darle un poco de rigor que en matemáticas y física hay mucha terminología y cambiarla puede liar.

Y si se me permite ponerme estricto con la lengua:

12. Tienes algunas parejas de palabras entre las que no metes espacio (probablemente sea problema del copia y pega).

13. Cuando abres un paréntesis, se empieza en minúscula (salvo que antes haya un punto, cosa que no suele ocurrir).

14. Los pronombres "este, ese, aquel" ya no está permitido acentuarlos según las nuevas normas de la RAE.

Y no sigo que vas a ponerte a registrar artículos míos y a buscarme fallos a mí

De las cosas que te digo, la mayoría son como consejo. Cada cual tiene su estilo, y hace los blogs a su gusto. No hace falta que te tomes mis notas al pie de la letra.

Saludos,

[Weip]

1- A mi a veces se me ve y otras no. No me salía nada de lo que has dicho.

2- De acuerdo, en cuanto pueda lo corrijo.

3- Soy tonto, sabía lo del doble click pero no se me ha ocurrido xD.

4- Es que a mi me la han enseñado así la ecuación, por eso la he puesto como tengo por costumbre. Bueno, de hecho es lo mismo, y no sé decidir que queda mejor.

5- Cierto, se me ha olvidado, debería haber especificado el criterio de signos. Yo siempre tomo el valor de la gravedad negativo ya que el vector va hacia abajo (Hacia el centro de la Tierra).

6- Vale, se puede malinterpretar, lo especificaré.

7- Es que en este paso no sabía que hacer: Si dividir y cargarme una solución (Que es lo que he hecho) o solucionar la ecuación de segundo grado, que como bien dices una será el valor 0 del tiempo que es el inicial. Creo que seguiré el camino de la ecuación de segundo grado, que creo que se entiende mejor.

8- Lo quería hacer, se me ha olvidado (Como tembién tenia que poner la imagen y eso).

9- Ups, uno se marea con tanto Latex.

10- Ahora que lo dices es verdad, que hago, ¿Pongo los dos caminos?

11- Olvido con bastante frecuencia...

12- Es del corta y pega del documento Word, mira que lo he revisado y aún quedan... Si después aún quedara algun error de espacios, ¿Te importaría decirme en que párrafo está?

13- En un foro de no se cual diccionario (¿"Cual" lleva acento/tilde?) un usuario preguntaba lo mismo y le dijeron que en paréntesis siempre va mayúscula, por eso lo he hecho así hasta ahora.

14- Sé que hubo una temporada que aceptaban acentuarlo y no acentuarlo, no sabía que lo habían vuelto a cambiar.

Nótese que en este mensaje aún hay mis faltas habituales hasta que he leído tu frase, no me mates que me da palo corregir todo el mensaje ahora xD.
Intentaré corregirlo lo más rápido que pueda, ya que me tendré que ir y no me va a dar tiempo de todo.

Gracias por los consejos, los agradezco porque yo también soy muy meticuloso (Sí, en este artículo me he soltado).

Edito: En la objeción 7, ahora me he dado cuenta, que el tiempo no es al cuadrado.

[angel relativamente]

1- Voy a preguntarlo.

4- Déjala como te guste. En algunos sitios se explica así para ver que es parte de la descomposición de la velocidad inicial. Quizá sería conveniente aclarar que puesto que es un MRU da lo mismo.

10- Tampoco es necesario, muchas de las demostraciones tienen más de un modo de hacerse. Si acaso, para hacer tu artículo más completo (y sobre todo para enseñarle al lector que no todo tiene un único camino en ciencias) puedes nombrarlo. No obstante me gusta más el tuyo, ya que se puede generalizar para cuando $y_0\neq 0$

12-
12.1- Párrafo 2: RectilíneoUniforme
Y para que quede más presentado, cuando insertes una ecuación en medio de un párrafo procura dejar un espacio antes. Ejemplos donde no lo has hecho:

12.2- En el párrafo anterior a la ecuación 4
12.3- Entre la ecuación 9 y la 10
12.4- En el párrafo anterior a la ecuación 11, después del "así:"

13- Cuál se sigue acentuando cuando es pronombre interrogativo y exclamativo. Respecto a lo de los paréntesis, a saber qué foro has leído. Si buscas un poco más podrás ver que en la mayoría dicen lo contrario. Esta (sin tilde) es la fuente más fiable que he encontrado. Mira el apartado 5.7 (o más concreto el 5.7.7).

14- Sí, son así de indeseables los lingüistas. Ahora tampoco se acentúa el "solo" de solamente (salvo unas excepciones muy raras) y tampoco se acentúan palabras como guion, ion y truhan.

Espero los cambios,

Saludos

[pod]

¿"Abasto" no debería ser "alcance"?

[Weip]

Respecto al punto 14, no entiendo para nada a los lingüistas... guion sin acento queda fatal.

pod, tienes razón. Abasto en castellano existe, pero no significa lo mismo que alcance (Ya habrás notado que es una traducción literal del catalán xD).

Iré editando el artículo en las próximas horas.

Una cosa, si intento encuadrar las ecuaciones, me sale error, que la imagen es demasiado grande. Pero reduzco mucho el tamaño y sigue poniendo lo mismo.

[angel relativamente]

Ya va cogiendo buen color, vamos a ver si lo rematamos.

1- El $\LaTeX$ lo veo bien. Solo dos comentarios:
1.1- En la ecuación (5) escribe constante mediante \text{constante}. Lo que has puesto es c·o·n·s·t·a·n·t·e.
1.2- En la ecuación 10, los paréntesis ponlos con \left( ... \right) Así los paréntesis se ajustan al tamaño de la ecuación.

Lo que te sale de texto demasiado grande no lo entiendo, ¿has metido todo entre \boxed{}?¿te has asegurado de que esté encerrado entre las llaves o en que salga la barra?
He editado tu texto (solo he tocado la ecuación 13) y se encuadra a la perfección.

2- El párrafo 1 no me gusta (la parte que citas los artículos de MRU y MRUA). En primer lugar, para que tenga gracia lo de [URL][/URL] no lo digas dos veces. En el propio párrafo 1 sustituye directamente lo de "recomiendo los siguientes artículos relacionados con el Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) y el Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)" por su respectivo hiperenlace (y así no dices encima que "lo de MCU no, como si no fuese de interés). Aunque he revisado los enlaces, y el 1º es un blog, mientras que el 2º es el contenido de dos blogs en una discusión de club. Así que como en el 2º está incluido el 1º, no hace falta que enlaces el 2º.

3- Si cambias lo de abasto (no me di cuenta que estaba mal, debe ser que también tengo algo de influencia del catalán) cámbialo en todo el artículo.

4- Aún te queda alguna ecuación y texto pegados.

5- No me has hecho caso con la norma de los paréntesis.

6- Cuando explicas que también se puede demostrar la altura máxima, conviene que explicites que solo es válido para cuando $y_0=0$, que he visto que ese método lo usa gente aun cuando sí hay altura inicial.

7- Le he echado un ojo a los archivos adjuntos de tu blog, y creo que he dado con el problema de la imagen. Cuando subes la imagen a los archivos adjuntos, has de insertarla en el artículo, que es lo que creo que no has hecho. Dale a editar artículo, métete en gestionar archivos adjuntos, selecciona la imagen y darle a insertar en línea.

No le veo más pegas de momento

Saludos,

[Weip]

1- Lo de la constante en su momento lo hice bien, pero no sé porqué al retocar las otras ecuaciones se me iba un espacio hacia abajo (en realidad no lo hay, pero al guardarlo se ve así), por eso al final lo he metido dentro.
Lo del parénteseis intentaré arreglarlo, me sale erro pro el tamaño (y aunque lo reduzca a uno sigue saliendo el error).
Lo de encuadrar, he mirado otras fórmulas y en principio está bien, no sé lo que pasa...

4- Es que les meto 4 espacios y solo bajan uno xD.

5- Me he olvidado, todo a su tiempo.

6- Lo digo al principio de las demostraciones para todas las ecuaciones, ya que para el tiempo y el alcance también se necesita la misma condición.

7- Me he dado cuenta que se ve solo si inicio sesión en el foro, sinó no se ve. He puesto la URL de la imagen porque al editarlo no me da la posibilidad de adjuntar imagenes, sinó lo de la URL.

Edito:

-Ya he solucionado lo de la imagen, ahora debería verse siempre.
-He encuadrado las ecuaciones. No sé ni como lo he conseguido, lo he hecho igual que cuando me salía el error.
-Creo que no hay ninguna falta de ortografía más, si hay alguna agradecería que me indicaseis en que párrafo está.
-Lo de la constante solucionado.

[angel relativamente]

Lo veo genial. Solo me quedan tres comentarios:

1- Entre la ecuación 16 y 17, a ver si consigues separar "trigonométrica" de la ecuación.

2- Y otro detalle. Cuando dices entre la ecuación 4 y la ecuación 5: "[FONT=arial]La velocidad en la componente horizontal" no me gusta. Los vectores no están sobre componentes, los vectores son la suma de sus componentes. Así que sería más correcto decir "la componente horizontal de la velocidad".

3- Esto no influye sobre cómo se ve el artículo para el lector, pero por lo que he visto has metido las ecuaciones con [TEX=número][/TEX] para numerarlas. Pero eso tiene un problema, y es que si añades una nueva ecuación por medio te toca reorganizarlo todo. Se deben escribir con [/FONT][FONT=arial] [TEX=*][/TEX]. Así se numeran solas, y si introduces una nueva se reorganizan.

Por lo demás perfecto. Cuando puedas pásalo al borrador y ya lo publicamos[/FONT]

[Weip]

1- Hecho.

2- Cierto, por supuesto quería decir la componente horizontal de la velocidad, no lo que había puesto.

Ya lo he puesto en el borrador. Cuando digas publicamos.

3- Esto me lo tendrías que haber dicho ayer xD.

Edito: Ya me he vuelto a hacer un lío con la imagen... ya lo arreglaré.
Me acabo de dar cuenta que el título está mal y no se puede editar... angel relativamente, ¿Tú puedes editar el título dde la misma manera que eudes editar el artículo?

Vuelvo a editar: Imagen arreglada, a ver cuanto dura.

[angel relativamente]

¿Tú puedes editar el título dde la misma manera que eudes editar el artículo?

La discusión del club no puedo (aunque me es indiferente, quien no entienda lo que quiere decir abasto que lea los comentarios). En el blog la he cambiado, aunque creo que tú deberías poder.

Cuando quieras, quitas el borrador

(Por si preguntas, puedes hacerlo en las opciones que aparecen abajo, cambiando el estado de publicación).

[Weip]

Pufff... Soy más tonto porque no me entreno xD. En el blog si que podia, pero yo me pensaba que lo que estaba editando era el borrador y no el blog, y creo recordar que en borrador no se puede (creo recordar, porque a lo mejor si se puede).
¿Entonces el blog ya está publicado? Porque lo he hecho sin querer, (porque a ver si aún había errores).

Finalmente, la imagen solo si ve si te conectas al foro. Supongo que no pasa nada, aunque el lector de fuera del foro no podrá verla...

[angel relativamente]

Aún sigue siendo un borrador. Cuando quieras quitalo (y tranquilo, si aún quedan errores se puede volver a editar aunque esté publicado).

Añadido: Debe ser que no te he dado margen a quitarlo, ya se ve publicado

PD1: En mi ordenador se ve perfectamente la imagen aun cuando no estoy conectado
PD2: Voy a añadirlo al listado de demostraciones