Demostración de las ecuaciones del movimiento parabólico

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[FONT=Verdana]Hola a todos. En este artículo demostraré la ecuación de la posición de un movimiento parabólico (que represetaremos con la letra $\vec{r}$). Antes de nada, recomiendo la lectura del artículo sobre [FONT=Tahoma]Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) y el Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) y sobre la cinemática en una dimensión en general.[/FONT] Además, sería buena alguna lectura sobre integración de este mismo foro, pues su entendimiento es necesario para comprender la demostración. Un movimiento parabólico se puede describir como muestra la imagen (consideraremos que el tiro se ejecuta desde el origen del sistema de coordenadas):

El movimiento parabólico se desarrolla en dos dimensiones, y podemos ver que consta de dos componentes: una que describe un Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU, representado por el eje horizontal $X$) y un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA, representado por el eje vertical $Y$).

La velocidad incicial ($\vec{v_0}$) tiene dos componentes, una horizontal ($v_0_x$) y otra vertical ($v_0_y$), representada por la ecuación:[/FONT]

$$\vec{v_0}=v_0_x\hat{\imath}+v_0_y\hat{\jmath}$$

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Mediante el dibujo podemos realizar las siguientes relaciones trigonométricas (a partir de las definiciones de seno y coseno):[/FONT]

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$$v_0_x=v_0\cos\alpha$$

y

$$v_0_y=v_0\sin\alpha$$

[/FONT]

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Como la componente horizontal de la velocidad es de un MRU, esta es constante, y por tanto igual a la velocidad inicial:[/FONT]

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$$v_x=v_0_x=\text{constante}$$

[/FONT]

[FONT=Verdana]Por último, la aceleración de este movimiento depende únicamente de la intensidad del campo gravitatorio (suponemos que terrestre y a una altura en que su variación sea despreciable):[/FONT]

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$$\vec{a}=0\hat{\imath}-g\hat{\jmath}$$

$$\vec{a}=-g\hat{\jmath}$$

[/FONT]

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La constante $-g$ la suponemos negativa ya que es un vector que apunta siempre hacia el centro de la Tierra.

Con estas aclaraciones, ya podemos proceder a la demostración de la ecuación dela posición en el movimiento parabólico. Primero partiremos de la ecuación de la aceleración:[/FONT]

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$$\vec{a}=-g\hat{\jmath}$$

[/FONT]

[FONT=Verdana]Sabemos que $\vec{a}=\frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{d} t}$:[/FONT]

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$$\frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{d} t}=-g\hat{\jmath}$$

[/FONT]

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$$\mathrm{d}\vec{v}=(-g\hat{\jmath})\mathrm{d}t$$

[/FONT]

[FONT=Verdana]
Integramos en ambos miembros (desde la velocidad inicial hasta la velocidad en el primero y desde el tiempo inicial hasta el tiempo en el segundo):[/FONT]

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$$\dst\int_{{v}_{0}}^v\mathrm{d}\vec{v}=\dst\int_{{t}_{0}}^t (-g\hat{\jmath})\mathrm{d}t$$

[/FONT]

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Como $-g\hat{\jmath}$ es constante, podemos sacarlo fuera de la integral:[/FONT]

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$$\dst\int_{{v}_{0}}^v\mathrm{d}\vec{v}=-g\hat{\jmath}\dst\int_{{t}_{0}}^t \mathrm{d}t$$

[/FONT]

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Resolvemos:[/FONT]

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$$\vec{v}-\vec{v_0}=-g(t-t_0)\hat{\jmath}$$

$$\vec{v}=\vec{v_0}-g\Delta t \hat{\jmath}$$

[/FONT]

[FONT=Verdana]Sustituimos $\vec{v_0}$ por $v_0_x\hat{\imath}+v_0_y\hat{\jmath}$ de acuerdo con la ecuación ([/FONT][FONT=Verdana]1[/FONT][FONT=Verdana]):[/FONT][FONT=Verdana]

[/FONT]

$$\vec{v}=v_0_x\hat{\imath}+(v_0_y-g\Delta t) \hat{\jmath}$$

[FONT=Verdana]
Ahora procederemos de forma similar a la anterior integración, pero esta vez tomando la definición de la velocidad $v=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d} t }$:[/FONT]

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$$\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d} t }=v_0_x\hat{\imath}+(v_0_y-g\Delta t) \hat{\jmath}$$

$$\mathrm{d} \vec{r} =(v_0x\hat{\imath}+(v_0_y-g\Delta t) \hat{\jmath})\mathrm{d} t$$

[/FONT]

Volvemos a integrar en ambos miembros, esta vez desde la posición incial hasta la posición en el primer miembro y desde el tiempo inicial hasta el tiempo en el segundo:

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$$\dst\int_{{r}_{0}}^r\mathrm{d} \vec{r}=\dst\int_{{t}_{0}}^t(v_0_x\hat{\imath}+(v_0_y-g\Delta t) \hat{\jmath})\mathrm{d} t$$

[/FONT]

Resolvemos cada integral (esta vez tenemos tres constantes, $v_0_x\hat{\imath}$, $v_0_y\hat{\jmath}$ y $-g\hat{\jmath}$):

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$$\vec{r}-\vec{r_0}=v_0_x \Delta t \hat{\imath}+\left(v_0_y \Delta t -g\frac{{\Delta t}^{2}}{2}\right)\hat{\jmath}=v_0_x \Delta t \hat{\imath}+\left(v_0_y \Delta t -\frac{1}{2}g {\Delta t}^{2}\right)\hat{\jmath}$$

(Colocamos el $\frac{1}{2}$ delante por mayor comodidad).


[/FONT]

[FONT=Verdana]El vector $\vec{r_0}$ corresponde con el vector posición cuando $t=0$. Sus componentes son:

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$$\vec{r_0}=x_0\hat{\imath}+y_0\hat{\jmath}$$

[/FONT]

[FONT=Verdana]Sustituyendo $\vec{r_0}$ en nuestra ecuación:

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$$\vec{r}=(x_0+v_0_x \Delta t)\hat{\imath}+\left(y_0+v_0_y \Delta t-\frac{1}{2}g{\Delta t}^{2}\right)\hat{\jmath}$$

[/FONT]

[FONT=Verdana]Y teniendo en cuenta las relaciones trigonométricas presentadas al principio de la demostración correspondientes a las[FONT=Verdana] ecuaciones ([FONT=Verdana]2[/FONT][/FONT][FONT=Verdana]) y ([/FONT][FONT=Verdana]3[/FONT][FONT=Verdana])[/FONT], podemos concluir que:

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[FONT=Verdana][FONT=Verdana]

$$\boxed{\vec{r}=(x_0+v_0 \cos \alpha \Delta t)\hat{\imath}+\left(y_0+v_0 \sin \alpha \Delta t-\frac{1}{2}g{\Delta t}^{2}\right)\hat{\jmath}}$$

[/FONT][/FONT]

[FONT=Verdana][FONT=Verdana]Esta ecuación se suele escribir en forma escalar, resultantes de la descomposición de la ecuación ([/FONT][/FONT][FONT=Verdana][FONT=Verdana]21[/FONT][/FONT][FONT=Verdana][FONT=Verdana]), en cuyo caso el movimiento se describe mediante las siguientes ecuaciones:

[/FONT][/FONT]

$$\boxed{x=x_0+v_0\cos\alpha\Delta t}$$

[FONT=Verdana]
[/FONT]

[FONT=Verdana]

$$\boxed{y=y_0+v_0\sin\alpha\Delta t-\frac{1}{2}g{\Delta t}^{2}}$$

[/FONT]

[FONT=Verdana]A partir de estas ecuaciones podemos determinar la ecuación de la trayectoria para el movimiento parabólico. Para ello, despejamos $\Delta t$ de la ecuación ([/FONT][FONT=Verdana]22[/FONT][FONT=Verdana]) y la sustituimos en la ecuación ([/FONT][FONT=Verdana]23[/FONT][FONT=Verdana]):

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$$x=x_0+v_0\cos\alpha\Delta t$$

$$\Delta t=\frac{x-x_0}{v_0\cos\alpha}=\frac{\Delta x}{v_0 \cos\alpha}$$

$$y=y_0+v_0\sin\alpha\Delta t-\frac{1}{2}g{\Delta t}^{2}$$

$$y=y_0+v_0\sin\alpha\frac{\Delta x}{v_0 \cos\alpha}-\frac{1}{2}g\left({\frac{\Delta x}{v_0 \cos\alpha}}\right)^{2}$$

Y arreglando un poco la ecuación, obtenemos, finalmente, la ecuación de la trayectoria:

$$\boxed{y=y_0+\tan\alpha \Delta x-\frac{g {\Delta x}^{2}}{{2v_0}^{2} \left({\cos\alpha}\right)^{2}}}$$

[/FONT][FONT=Verdana]
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[FONT=Verdana]Y hasta aquí la demostración. Por supuesto, estoy abierto a todo tipo de críticas y sugerencias.[/FONT]

[Weip]

Por favor, comentad a ver que os parece y si hay algo mal (sobretodo se me suelen pasar los detalles) antes de publicarlo en el blog. Por cierto, ya sé que el título está mal, había repasado todo menos eso y creo que no se puede editar.

[angel relativamente]

Bueno, tienes algunos fallos de olvidos (por ejemplo te has olvidado una j en las ecuaciones 20 y 21) y de estilo (los paréntesis de la 18 puedes hacerlos que se adapten a la ecuación). No obstante, me interesa antes analizar un poco el contenido, para que lo medites un poco.

Las ecuaciones (22) y (23) solo son el resultado de coger las ecuaciones de posición de MRU y MRUA y descomponer la velocidad inicial. Así que, básicamente de lo que trata tu artículo, es de demostrar las ecuaciones de MRU y MRUA e imponer que un parabólico ha de cumplirlas. Pero quizá sea conveniente preguntarse, ¿y por qué sale parabólico? ¿no podría ser semicircular?

Saludos,

[Weip]

Vale, ya he corregido lo que me has dicho.

Las ecuaciones 22 y 23 las pongo porque es como suelen verse más, digamos que es el resultado final final del todo, aunque el objetivo es llegar a la ecuación 21 (puesto que las otras dos salen de una simple descomposición). Yo lo que impongo es que el parabólico, como todos los movimientos, obedezca a la ecuación de la velocidad y de la aceleración (que es la gravedad por el mismo hecho que lo es también en una caída libre), que también obedecen los MRU y los MRUA.
Bueno, así lo veo yo, claro que salen del MRU y del MRUA, pero por el hecho que estos tienen una velocidad y una aceleración determinadas que cumplen con su misma definición matemática, y con el parabólico pasa lo mismo.

[angel relativamente]

En general, no encuentro errores.
Se te han colado algunas palabras juntas, como "queapunta" y "dela" después de (6).
Entre (10) y (11), fíjate que lo que sacas fuera de la integral es $-g\hat \jmath$.

Yo lo que impongo es que el parabólico, como todos los movimientos, obedezca a la ecuación de la velocidad y de la aceleración (que es la gravedad por el mismo hecho que lo es también en una caída libre), que también obedecen los MRU y los MRUA.
Bueno, así lo veo yo, claro que salen del MRU y del MRUA, pero por el hecho que estos tienen una velocidad y una aceleración determinadas que cumplen con su misma definición matemática, y con el parabólico pasa lo mismo.

Estoy de acuerdo. Por el hecho de lanzar un cuerpo con cierta velocidad inicial en un plano bidimensional sobre el que hay un campo gravitatorio (considerado uniforme y en la dirección del eje y), es correcto imponer que el movimiento se puede descomponer en un MRU y en un MRUA. No obstante, eso sigue sin implicar que sea parabólico. Para complementar el artículo (y acabar al fin con el tiro parabólico) se podría demostrar eso (tan solo hay que ver que la ecuación de la trayectoria corresponde a la ecuación de una parábola convexa).
Por mí, puedes subir el blog cuando te plazca.

Por cierto, y si la gravedad fuese repulsiva, ¿también sería un tiro parabólico?

[Weip]

Esto de los espacios no sé porqué pasa, de todas formas en "de la" he dejado dos espacios porque parece que con uno no es suficiente.
Lo de $-g\hat \jmath$ no lo entiendo. Es una constante y la saco fuera. Por cierto, ¿qué significa el sombrerito? Siempre he expresado estos vectores ($\vec{i}$, $\vec{j}$ y $\vec{k}$) con flechitas.
Lo de la ecuación de la trayectoria lo haré mañana. Ya que lo voy a hacer, de paso especificaré más la descomposición de $\vec{r}$.
¿Como se subía un artículo en el blog? No me acuerdo y no veo la opción.
Si la gravedad fuese repulsiva, así lo primero que pienso es que sería la misma trayectoria pero boca abajo. Creo que sería un poco difícil tirar desde el suelo.

Edito: ¿En lo que dices de $-g\hat \jmath$ te refieres a que en el texto de enmedio me he olvidado la $\vec{j}$? Si es así, corregido, aunque sigo sin entender lo del sombrerito.

[angel relativamente]

Esto de los espacios no sé porqué pasa, de todas formas en "de la" he dejado dos espacios porque parece que con uno no es suficiente.

A veces ocurre si haces copy-paste.

¿Como se subía un artículo en el blog? No me acuerdo y no veo la opción.

Se supone que desde la página del blog
http://forum.lawebdefisica.com/blogs/6442-QED

Arriba a la derecha te debe de salir lo de escribir blog. Si no avisa y te miro los permisos, pero que yo sepa no se han tocado desde que subiste el anterior.

Edito: ¿En lo que dices de $-g\hat \jmath$ te refieres a que en el texto de enmedio me he olvidado la $\vec{j}$? Si es así, corregido, aunque sigo sin entender lo del sombrerito.

Yo también lo he visto en libros de bachillerato con la jota con punto y vector arriba, pero según mi profesor no es la notación correcta. La $\imath$ y la $\jmath$ van sin punto, y el sombrerito es para indicar que es unitario. Si no te apetece cambiarlo, tampoco es una cosa muy grave.

Por cierto, sube bien la imagen. Aquí en el club no importa, lo digo por el blog.
Y feliz dosmiltrece retrasado

[Weip]

He arreglado lo que me has dicho y otras cosillas que he ido encontrando. Lo subiré ahora mismo al blog. Lo de la imagen es que no sé como ponerla en el club, cuando le doy a insertar imagen solo me da la opción de escribir la URL de la imagen y no la de subir desde mi ordenador como es habitual, así que la he de subir en otro hilo (que no envío), le doy a previsualizar, le doy al enlace y así me sale la imagen con URL. De todas formas en el blog sí sé ponerla.

¡Feliz 2013 a tí también!

[AlePhisics]

Ummm.... yo creo que eso tiene muy buena pinta, si quereis presento mi ecuacion sobre el funcionamiento de una aghujero de gusano

[AlePhisics]

Mi trabajo sobre el funcionamiento de un agujero de gusano: \frac{m}{E }\prod_{n = 0}^\inftyt\prod_{n = 0}^\inftyv

[AlePhisics]

Oigan a ustedes les salen los simbolos que he puesto al presentar mi ecuacion?¿

[gdonoso94]

AlePhisics tienes que poner los comandos tex y /tex entre corchetes antes de escribir la ecuación.

En cuanto a las demostraciones: geniales, me ha gustado mucho. Podrías animarte e introducirle algún tipo de fuerza disipativa, en plan rozamiento del aire o algo así, y añadirle algún gráfico, por probar !

Un saludo!

[Weip]

AlePhisics, la ecuación que has puesto, colocando los comandos, quedaría: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Por cierto, ¿de donde la has sacado?

gdonoso94, me alegra que te haya gustado la demostración. En cuanto al parabólico con rozamiento, el problema es que no tengo ni idea de cómo hacerlo (es que las demostraciones las quiero hacer yo solo). De todas formas, ya tenía pensado hacerlo cuando lo dé en la carrera (me refiero a las ecuaciones a demostrar). No sé, cuando llegue el día no te preocupes que lo escribiré en el club, para luego subirlo al blog de Demostraciones.

[Weip]

gdonoso94, hoy por probar he intentado deducir las ecuaciones del tiro parabólico con rozamiento del aire y me he encallado en unas ecuaciones diferenciales de segundo orden que no sé resolver. Por lo que he visto en internet voy por buen camino y solo me faltaría resolverlas. Intentaré hacerlo pero es improbable que me acabe saliendo bien. De todas formas, si me sale haré un artículo nuevo.
Por último, gracias por comentarmelo, si no nunca lo hubiera probado (para mí esto ya es un avance).

[Weip]

Pues al final me ha salido. gdonoso, gracias, con esto he aprendido que uno no puede saber nunca donde están sus límites. Bueno aún me queda formalizarlo, pasarlo a latex... un trabajazo que creo que dejaré para el mes que viene, porque me esperan un montón de examenes y otras faenas.