Cinemática de la partícula en una dimensión

[feliphysics]

Cuando se estudia la cinemática de una partícula en una dimensión hay una gran variedad de problemas que resolver. En la mayor parte de ellos hay que encontrar la relación entre dos magnitudes a partir otra relación de magnitudes dada en el problema.

El objetivo de este artículo es mostrar el como se puede obtener cualquier relación de magnitudes a partir de cualquier otra. Deduciré los pasos de forma general para sintetizar un esquema-formulario de uso fácil. Doy por supuesto que se tienen los conocimientos mínimos sobre derivación e integración y evidentemente sobre el despeje de una variable en todo tipo de funciones, ya que este trabajo depende de cada caso particular y no lo detallaré aquí.

Las cuatro magnitudes que se usan habitualmente son: la posición $x$, la velocidad $v=\frac{\dd x}{\dd t}$, la aceleración $a=\frac{\dd v}{\dd t}$ y el tiempo $t$. Cada magnitud se relaciona con cada una de las otras, mediante funciones en forma de ecuación explícita tipo $a(v)=-kv^2$. Nos salen doce posibles funciones agrupadas en seis parejas. Cada pareja contiene el mismo par de magnitudes, una en función de la otra y viceversa:

$$\begin{aligned}<br /> x(t), t(x) & & x(v), v(x) & & x(a), a(x)\\<br /> \\<br /> v(t), t(v) & & v(a), a(v) & & a(t), t(a)<br /> \end{aligned}$$

Según qué tipo de funciones no son integrables analíticamente, por lo que es posible que, en algunos casos, alguna de las doce funciones no la podamos deducir.

Está claro que para pasar cualquier función a su pareja, hay que aislar la variable con el método más adecuado al tipo de función. Pero hay que tener cuidado de elegir bien en los casos de soluciones múltiples, ya que a veces, la solución correcta no es evidente de entrada. Por ejemplo, en el caso de las trigonométricas inversas, su solución retorna un ángulo en el intervalo $[0,2\pi]$ que puede hacer muy difícil la resolución de casos que trabajen fuera de este intervalo. Daré por supuesto que si deducimos una función $f(g)$, podemos obtener $g(f)$, por lo que sólo deduciré una función de cada pareja.


Dicho esto, empezamos por el caso clásico y más bien fácil. Es cuando se te da como dato $x(t)$ y debes encontrar alguna/s otra/s de las funciones.

Se deriva $x(t)$ para encontrar la velocidad respecto al tiempo:

$$\frac{\dd }{\dd t}x(t)=v(t).$$

Con un sistema de $x(t)$ y $v(t)$ obtenemos $v(x).$

Derivando $v(t)$ obtenemos la aceleración respecto al tiempo:

$$\frac{\dd }{\dd t}v(t)=a(t).$$

Con $x(t)$, $v(t)$ y $a(t)$ podemos encontrar el resto mediante sistemas: $a(x)$ y $a(v).$

Otro caso, es el que te dan $a(t)$ para encontrar cualquier otra función. Podemos integrar para encontrar la velocidad respecto del tiempo:

$$\begin{aligned}<br /> \frac{\dd v}{\dd t}&= a(t), \\<br /> \dd v&=a(t)\dd t,\\<br /> \int_{v_0}^v \dd v&=\int_0^t a(t)\dd t,\\<br /> v(t)&=v_0+\int_0^t a(t)\dd t.<br /> \end{aligned}$$

Si queremos conocer como actúa la función, nos falta saber la velocidad inicial $v_0.$ Normalmente se nos dará en el problema, si no, se deja como $v_0.$

Integrando $v(t)$ podemos encontrar $x(t).$

$$\begin{aligned}<br /> \frac{\dd x}{\dd t}&= v(t),\\<br /> \dd x&=v(t)\dd t,\\<br /> \int_{x_0}^x\dd x&=\int_0^t v(t)\dd t,\\<br /> x(t)&=x_0+\int_0^t v(t)\dd t.<br /> \end{aligned}$$

Como vemos, también nos falta la posición inicial, y de la misma forma que con $v_0$, se nos dará el valor, si no, lo dejamos como $x_0.$

Al igual que en el caso anterior, con $x(t)$, $v(t)$ y $a(t)$ se puede deducir el resto de funciones.

El otro caso típico es el que te dan $v(t)$. Si se dominan los dos casos anteriores, no debería ser ningún problema hallar el resto de funciones: derivar para hallar $a(t)$ e integrar para hallar $x(t),$ etc.

Luego están los casos un poco más difíciles, cuando te dan $v(x),$ $a(x)$ o $a(v).$

Para $v(x)$ hay dos caminos posibles:

$$\begin{aligned}<br /> \frac{\dd x}{\dd t}&=v(x),\\<br /> \dd t&=\frac{\dd x}{v(x)},\\<br /> \int_0^t \dd t&=\int_{x_0}^x\frac{\dd x}{v(x)},\\<br /> t(x)&=\int_{x_0}^x\frac{\dd x}{v(x)}.<br /> \end{aligned}$$

A partir de aquí se puede resolver como el caso $x(t).$

El otro camino de $v(x)$ es el siguiente:

$$\begin{aligned}<br /> a&=\frac{\dd }{\dd t}v(x),\\<br /> &=\frac{\dd }{\dd t}v(x)\frac{v}{v},\\<br /> &=v(x)\frac{\dd }{\dd t}v(x)\frac{\dd t}{\dd x},\\<br /> a(x)&= v(x)\frac{\dd }{\dd x}v(x).<br /> \end{aligned}$$

Para $a(x)$ solo hay un camino que vuelve a $v(x):$

$$\begin{aligned}<br /> \frac{\dd v}{\dd t}&=a(x)\\<br /> \frac{\dd v}{\dd x}\frac{\dd x}{\dd t}&=a(x)\\<br /> v\frac {\dd v}{\dd x}&=a(x),\\<br /> v\dd v&=a(x)\dd x,\\<br /> \int_{v_0}^v v\dd v&=\int_{x_0}^x a(x)\dd x,\\<br /> \frac 1 2 (v^2-v_0^2)&= \int_{x_0}^x a(x)\dd x,\\<br /> v(x)&=\sqrt{v_0^2+2\int_{x_0}^x a(x)\dd x}.<br /> \end{aligned}$$

Y finalmente tenemos $a(v)$ que también tiene un solo camino que lleva a $t(v):$

$$\begin{aligned}<br /> \frac{\dd v}{\dd t}&=a(v),\\<br /> \dd t&=\frac{\dd v}{a(v)},\\<br /> \int_0^t\dd t&=\int_{v_0}^v\frac{\dd v}{a(v)},\\<br /> t(v)&=\int_{v_0}^v\frac{\dd v}{a(v)}.<br /> \end{aligned}$$

A partir de aquí, se sigue la línea de $v(t).$

Ahora que ya hemos recorrido todos los caminos posibles, podemos crear un esquema/formulario para facilitar el trabajo. Espero que os sirva:

Las parejas de funciones están en los recuadros. Las integrales están en forma de ecuación diferencial y las derivadas en forma de expresión sin igualdades.

[feliphysics]

Hola guibix, estoy dándole vueltas a un problema y esto que publicaste me resulta de gran ayuda. Sin embargo, no llego a entender por qué v(x)=dx/dt , no se supone que dx/dt=v(t)? Soy muy nuevo en esto del cálculo diferencial e integral y a veces me resulta un tanto confuso este tipo de expresiones...

Saludos.

[guibix]

Re: Artículo: Cinemática de la partícula en una dimensión

Hola feliphysics, me alegro que el artículo te sea de ayuda. A ver si puedo resolver tu duda.

… no llego a entender por qué [FONT=&amp]v(x)[/FONT]=dx/dt , no se supone que dx/dt=[FONT=&amp]v(t)[/FONT]?

Cierto, la velocidad es una función con respecto al tiempo pero en algunos problemas no nos dan una $x(t)$ para derivar. Precisamente éste es el propósito del artículo: como obtener cualquier relación a partir de cualquier otra.
Lo que significa esta $v(x)$ es que tenemos una función para la velocidad donde la variable es una posición. O sea que la velocidad depende de la posición y si quisiéramos saber por ejemplo la relación de posición, velocidad y/o aceleración con respecto del tiempo, tenderemos que aplicar los pasos que indica el artículo.

Si solo disponemos de una función velocidad con respecto de la posición y no podemos saber a priori su dependencia con el tiempo, nos podemos sacar un as de la manga. Como sabemos que siempre se cumplirá $v=\frac{\dd x}{\dd t},$ podemos igualar esto a la expresión $v(x)$ que tenemos y así “meter” la dependencia con el tiempo para luego procesarlo y resolverlo.

Por ejemplo, en los problemas de conservación de energía se relaciona velocidad (energía cinética) y posición (energía potencial). Un caso especial podría ser el de un cuerpo de masa $m,$ en reposo y que se deja caer desde una altura $h_0$ en un campo gravitatorio uniforme de aceleración $g_0:$

$$\frac 1 2mv^2=-g_0m(h-h_0)=-g_0m\Delta h.$$

Simplificando y aislando $v$ tenemos

$$v=\sqrt{-2g_0\Delta h}.$$

Esta $v$ es $v(x)$ (o $v(h)$ en este caso) y es lo que hay que poner en todo el proceso. En la integral final quedaría

$$t=\int_{h_0}^h\frac{\dd h}{\sqrt{-2g_0\Delta h)}}.$$

Resolviendo la integral obtenemos $t(h).$ Aislando $h$ se obtiene $h(t)$, derivando $h(t)$ se obiene $v(t),$ etc.

Evidentemente existen maneras mucho más simples para resolver este problema en particular pero espero que sirva como ejemplo ilustrativo.

Un saludo!

[Adrian Leone]

Hola guibix!
Buen artículo, justo algo así andaba buscando.