Análisis Matemático I

[Afisionado]

Pues allá vamos. A ver si logramos que no se nos atragante.

[javigc]

Pues nada, como lo prometido es deuda, me inicio con una explicación -espero que breve- de los temas 1, 2 y 3 de la unidad 1. Creo que he acabado entendiéndolo bastante bien, así que a ver si os sirve, jeje!
Estos tres tremas hablan de los números y sus propiedades. En el tema 1 se explica cómo son los números naturales (N) a partir de los axiomas de Peano. En el tema 2 se explica cómo son los números enteros (Z) a partir de los naturales. Y en el tema 3 se explica cómo son los números racionales (Q) a partir de los enteros. Es decir:
axiomas de Peano --> naturales
naturales --> enteros (= naturales + negativos)
enteros --> racionales (= enteros + fracciones que no dan exacto)

En cada conjunto existen una serie de propiedades de la suma y del producto, y según cuáles de todas ellas se den, el conjunto será un semianillo, un anillo o un cuerpo, en función de DOS leyes de composición (la suma Y el producto). Los números naturales forman un semianillo, los números enteros forman un anillo y los números racionales forman un cuerpo. Además, todos estos grupos son ordenados.
Existe otro concepto que es el de "grupo", que es parecido pero en base a UNA sola ley de composión (la suma O el producto). Si es respecto a la suma, se llama grupo aditivo; si es respecto al producto, grupo multiplicativo. Y si tiene ciertas propiedades, tanto uno como el otro se llaman grupo abeliano (aditivo o multiplicativo).

Las propiedades que existen en total son:
-asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c // (a·b)·c = a·(b·c)
-conmutativa: a + b = b + a // a·b = b·a
-distributiva del producto respecto a la suma: a·(b+c) = a·b + a·c
-cancelativa: a + b = a + c --> b = c // a·b = a·c --> b = c
-existencia del neutro: a + 0 = a // a·1 = a
-existencia de opuestos: a + (-a) = 0
-existencia de inversos: a· (a^-1) = 1 (a^-1: a elevado a menos uno)

Cada propiedad se puede demostrar por recurrencia o por inducción; podéis ver las demostraciones en el libro.

A continuación explicaré brevemente cómo se define cada conjunto de números:

TEMA 1: NATURALES
(Cuando se habla de la aplicación s, se refiere a la aplicación "siguiente de", es decir s(1) = 2; s(2) = 3, etc.)
Axiomas de Peano:
1) s es una aplicación inyectiva --> o sea, todos los números tienen un número siguiente.
2) existe un único elemento 1 pertenece a N tal que s(n) distinto de 1 para todo n pertenece a N --> o sea, no hay ningún número cuyo número siguiente sea el 1 (ya que el cero no es un número natural), por tanto NO es una apliación suprayectiva.
3) si un subconjunto U de N verifica que 1 pertenece a U y que n pertenece a U, por lo que s(n) también pertenece a U, implica que U = N --> esto es el principio de inducción, que implica que si yo demuestro que una aplicación se cumple para n = 1 y luego pruebo que es cierta para n + 1 (es decir, el siguiente de n), entonces será válida para todo n.

Casi todos los ejercicios del tema 1 se demuestran por inducción en los siguientes pasos: primero sustituyo n por 1 y compruebo que se cumple la igualdad dada. Luego digo "asumo que es cierto para n y voy a comprobar si lo es para "n+1". Y entonces se suma (n+1) a cada lado de la igualdad y se intenta factorizar y ponerlo de forma que se vea claro que es cierto para "n+1".

TEMA 2: ENTEROS
¿Por qué? Porque NO siempre existe un número natural x tal que a + x = b. (efectivamente, si a=8 y b= 4, x será el número negativo "-4", que no pertenece a los naturales. Por este motivo necesitamos los enteros.
Un entero se representa como la resta de dos números naturales. Por ejemplo 4 - 7 = -3; 8 - 11 = -3; 1 - 4 = -3
Como vemos en este ejemplo, todas las restas dan el número entero "-3", por tanto todas son equivalentes. Eso en nuestro querido libro lo explican como: (a, b) R (c, d) cuando a + d = b + c y se dice que están en una relación de equivalencia.
No es tan complicado como parece, esto significa que, tomando los ejemplos 4 - 7 = -3 y 8 - 11 = -3, tenemos que el número entero "-3" se define como un par que se resta (4, 7) y también (8, 11). En el libro dice que alfa = (a, b), o sea -3 = (4, 7) y beta = (c, d), o sea -3 = (8, 11). Pues bien, eso de la relación de equivalencia sólo significa que los números alfa y beta son iguales si los pares (que se restan) cumplen a + d = b + c. En nuestro ejemplo se cumple perfectamente, 4 + 11 = 7 + 8.
Por tanto, un entero es una combinación de naturales en una relación de equivalencia, es decir, Z = N x N/R.

La relación de equivalencia (a, b) R (c, d) --> a + d = b + c tiene tres propiedades:
-reflexiva: (a, b) R (a, b) --> a + b = b + a
-simétrica: (a, b) R (c, d) --> (c, d) R (a, b)
-transitiva: (a, b) R (c, d) y (c, d) R (e, f) --> (a, b) R (e, f)

TEMA 3: RACIONALES
¿Por qué? Porque NO siempre existe un número natural x tal que a·x = b. (efectivamente, si a=7 y b= 3, x será el número racional 3/7, que no pertenece a los enteros. Por este motivo necesitamos los racionales.
Un racional se representa como la división de dos números enteros. Por ejemplo 5 ÷ 4 = 5/4; 20 ÷ 16 = 5/4; 300 ÷ 240 = 5/4. Como vemos en este ejemplo, todas las divisiones dan el número racional "5/4", por tanto todas son equivalentes. Eso en el libro lo explican nuevamente como: (a, b) R (c, d) cuando a·d = b·c y se dice que están en una relación de equivalencia.
De nuevo, esto significa que, tomando los ejemplos 5 ÷ 4 = 5/4; 20 ÷ 16 = 5/4, tenemos que el número entero "5/4" se define como un par que se divide (5, 4) y también (20, 16). En el libro dice que alfa = (a, b), o sea 5/4 = (5, 4) y beta = (c, d), o sea 5/4 = (20, 16). Pues bien, eso de la relación de equivalencia sólo significa que los números alfa y beta son iguales si los pares (que se dividen) cumplen a·d = b·c. En nuestro ejemplo se cumple perfectamente, 5·16= 4·20.
Por tanto, un racional es una combinación de enteros en una relación de equivalencia, es decir, Q = Z x Z/R.

La relación de equivalencia (a, b) R (c, d) --> a·d = b·c tiene tres propiedades:
-reflexiva: (a, b) R (a, b) --> a·b = b·a
-simétrica: (a, b) R (c, d) --> (c, d) R (a, b)
-transitiva: (a, b) R (c, d) y (c, d) R (e, f) --> (a, b) R (e, f)

CONCLUSIONES
N --> semianillo ordenado conmutativo y con unidad
Z --> anillo ordenado conmutativo y con unidad (grupo abeliano aditivo)
Q --> cuerpo ordenado (grupo abeliano aditivo y multiplicativo)

Existe una aplicación biyectiva f: N -> Z+ definida por f(n) = [(n+1, 1)] y que es un isomorfismo de semianillos ordenados que cumple:
f(m + n) = f(m) + f(n)
f(m·n) = f(m) · f(n)
m < n implica f(m) < f(n)

Asimismo, existe una aplicación biyectiva f: Z -> Qo definida por f(a) = [(a, 1)] y que es un isomorfismo de anillos ordenados que cumple:
f(a + b) = f(a) + f(b)
f(a·b) = f(a) · f(b)
a < b implica f(a) < f(b)

--------------

Uff, al final me he enrollado más de lo que pensaba!! Espero que se entienda y os sirva de algo!!
Un saludo y suerte!
J.

[Afisionado]

¡Bravo! Yo los veo muy logrados.
Saludos.

[Serina]

Desde luego menudo trabajo que te has pegado; yo estos temas ya los tenía estudiados, pero sino son unos esquemas geniales para ir apoyándose en ellos.
Un saludo!

[Tirulix]

Carai Javi, vaya currada!!!!! muy buenos los esquemas!!!! se agradece mucho que los cuelgues!!!!

[javigc]

Jeje, nada, la verdad es que me vino bien para repasar y además, como me gustó el resultado, me lo guardé como archivo y ya tengo esquemas de los primeros temas!
Un saludo,
J.

[javigc]

Mu wenas!
A ver si alguien me puede ayudar con las sucesiones de Cauchy, que no entiendo la definición...

"Una sucesión a(n) tiene por límite a∈K cuando para cada ϵ>0 de K, existe un número natural n(0) tal que |a(n) –a|< ϵ para todo n≥n(0)"

Tengo claro el significado final, es decir, que a medida que crece la (n), la diferencia entre números consecutivos es cada vez menor, pero no entiendo la definición que dan. Por ejemplo, no entiendo qué número es ϵ. Yo puedo elegir un valor para (n), porque está en el enunciado de la sucesión, pero dónde está esa ϵ. Alguien me ilustra con un par de ejemplos claros, donde me diga qué es la ϵ, y vea que se cumple eso de que |a(n) –a|< ϵ para todo n≥n(0). Por ejemplo, a(n) = 1/n, es decir {1, 1/2, 1/4, 1/8...} Sé que converge a 0, pero me gustaría que me explicarais cómo se aplica el enunciado.

Saludos,
J.

[Serina]

En términos de andar por casa, $\epsilon$ es cualquier número mayor que 0 y señala la distancia máxima a la que están todos los términos $a_{n}$; $a_{n+1}$;.... del límite al cual convergen.
En el caso de $a_{n}=\frac{1}{n}$, si tomamos por ejemplo $\epsilon=4$, vemos que para cualquier n>4 $a_{n}-0<4$
No sé si me he explicado claramente o si te he liado aún más...
Un saludo!

[javigc]

Jodeeer, que era la distancia entre a_n y el límiteeeee!! Mil gracias, Sheyla! Ahora sí que lo entiendooo! :-D
Saludos,
J.

[Serina]

No hay de qué, para eso estamos

[javigc]

Ainss, espera que ahora no lo acabo de entender... :-S
En ese mismo ejemplo:
-si ϵ = 4, entonces para cualquier n>4, se cumple |a(n) – 0|< 4
-si ϵ = 1, entonces para cualquier n>1, se cumple |a(n) – 0|< 1
-pero si ϵ = 1/2, entonces para cualquier n>1, no se cumple |a(n) – 0|< 1/2
Supongo que no estoy trasgrediendo ninguna ley, porque dice que ϵ es un número real (1/2 lo es) mayor que cero (1/2 lo es)... Y no está por debajo del límite, porque el límite es 0.
Estoy diciendo una tontería?

[Serina]

La que ha dicho una tontería he sido yo al ponerte el ejemplo, porque en la propia definición no se habla de todo n sino que se dice que existe un natural n (el cual depende de $\epsilon$) tal que.... etc.
Es decir, en el caso de $a_{n}=\frac{1}{n}$,
$\frac{1}{n}-0<\epsilon$
$\frac{1}{n}<\epsilon$
luego $n>\frac{1}{\epsilon}$,
por tanto en el caso de que $\epsilon=\frac{1}{2}$, necesariamente n tiene que ser n>2
En

[Serina]

En definitiva, n siempre va a depender del valor que le demos a $\epsilon$
Perdona por la confusión.
Saludos!!

[javigc]

No te preocupes. Me sigue sobrando esa ϵ, pero creo que es una cuestión puramente teórica... Está ahí por definición, pero realmente no se le suele buscar un valor... O eso quiero creer! jaja
Gracias!!

[javigc]

Mu wenas, qué tal?
A ver si alguien me puede ayudar con esta duda que me encuentro en algunas demostraciones del tema de sucesiones, donde siempre hay un paso que no veo de dónde surge. Pongo varios ejemplos:

Demostración de que si una sucesión es convergente, entonces el límite de a_n es único (página 62 del libro)
|a_n - a| < ϵ /2 y |a_n - a'| < ϵ /2 ---> --->
---> |a - a' = |a - a_n + a_n - a'| ≤ |a_n - a| + |a_n - a'| < ϵ/2 + ϵ/2= ϵ
¿De dónde sale el miembro |a - a_n + a_n - a'| y el signo ≤?

Demostración de que el lím (a_n + b_n) = a + b (página 64 del libro)
|a_n - a| < ϵ /2 y |b_n - b| < ϵ /2 ---> --->
--->|a_n + b_n - (a + b)| ≤ |a_n - a| + |b_n - b| < ϵ /2 + ϵ /2 = ϵ
¿De dónde sale el miembro |a_n + b_n - (a + b)| y el signo ≤?

Demostración de que el lím |an| = |a| (página 81, solución del ejercicio 1)
|a_n - a| < ϵ ---> --->
---> ||a_n| - |a|| ≤ |a_n - a|
¿De dónde sale el miembro ||a_n| - |a|| y el signo ≤?

A lo mejor es una tontería, pero por más vueltas que le doy, en ningún caso entiendo de dónde viene el signo ≤ junto con la expresión previa.

Muchas gracias!
J.