Universidad Nacional de Educación a Distancia

[Afisionado]

Hola. No estoy con ello ahora mismo y no lo conozco en profundidad pero creo que sé de donde salen varias cosas.

El signo ≤, por ejemplo sale de una de las propiedades del valor absoluto que dice que el v.a. de la suma es siempre menor que la suma de los valores absolutos. Ver http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_a..._fundamentales
para más información.

A $|a - a'|$ se le suma y resta $a_n$ para llegar a $|a - a_n + a_n - a'|$ y poder descomponerlo en la suma de los valores absolutos y llegar así a la demostración.

Le voy a echar un vistazo más a fondo a todo esto y a las propiedades de los valores absolutos a ver si puedo hacer un resumen.
Saludos.

[Afisionado]

Javier, te envié un correo al email Análisis Matemático de la UNED con apuntes de sucesiones. Mira si te llegó. Saludos.

[javigc]

Muchas gracias!
Sí, yo también pensé que simplemente habían sumado y restado a_n para luego operar, pero siempre me despistaba el signo mayor o igual, que no sabía de dónde sale. A ver si va a ser de esa propiedad del valor absoluto (que no conocía).
Un saludo,
J.

[Afisionado]

Creo que ya entendí el tema de las sucesiones convergentes y las sucesiones de Cauchy. Además, creo que puedo comentarlo de una manera muy simplificada y, en cierto modo, gráfica. Para ello, quien quiera seguir mis comentarios necesitará una hoja en blanco y bolígrafo.

Primero pintamos una línea horizontal que va a representar el conjunto de los números naturales. La llamaremos recta $\mathbb{N}$. Su primer elemento (según nuestro libro de texto) será el 1 (pintamos raya y 1 a la izquierda) y el último el infinito (raya + infinito a la derecha). Podemos pintar algún elemento más a continuación del 1: 2, 3, 4 ... y algunos más en otros puntos de la recta: m, m+1, m+2, ..., n, n+1, ... p, .... q, etc. Esta recta siempre contendrá los números naturales que sirven de índice a la sucesión.

Debajo, dejando unos tres dedos de espacio, pintamos una recta paralela a la anterior. La llamaremos recta $\mathbb{K}$ y representa un cuerpo ordenado (puede ser el cuerpo de los reales, los complejos, etc.) En principio no pintamos ningún elemento en ella.

Definición 1: Una sucesión de elementos de un cuerpo ordenado es una aplicación del conjunto $\mathbb{N}$ en el cuerpo $\mathbb{K}$
Ejemplo: Dibujamos en nuestro esquema la sucesión $(a_n) = 2n$. Para ello pintamos en la recta $\mathbb{K}$ los elementos 2, 4, 6, 8, etc. Y dibujamos una recta que une cada elemento de la recta $\mathbb{N}$ con su correspondiente en la recta $\mathbb{K}$: $a_1=2, a_2=4, a_3=6, ...$

Y ya está definido lo que es una sucesión cualquiera. Quizá no rigurosamente pero inteligible ¿no?

Definición 2: Se dice que una sucesión $(a_n)$ de elementos de un cuerpo ordenado $\mathbb{K}$ converge hacia $a \in \mathbb{K}$ o que tiene por límite $a \in \mathbb{K}$ cuando para cada $\epsilon > 0$ de $\mathbb{K}$ existe un número natural $n_0$ tal que $|a_n - a| < \epsilon$

Ejemplo y explicación gráfica: Vamos a usar la serie $a_n = \left(\frac{1}{n}\right)$ que converge a 0.
Dibujamos de nuevo la rectas $\mathbb{N}$ y $\mathbb{K}$ (nota: como el conjunto imagen serán los números racionales, ahora podríamos poner en lugar de la genérica $\mathbb{K}$ la específica $\mathbb{Q}$, pero valen ambas).
En la recta $\mathbb{N}$ nos van a hacer falta los primeros elementos: 1, 2, 3, .... y los elementos $n_0, n_0 + 1, n_0 +2 ...$
En la recta $\mathbb{K}$ marcamos el cero en medio de la recta y a la derecha, bastante apartado ponemos un 1. En mitad del 0 y el 1 ponemos $\frac{1}{2}$ y alguno más $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}$... cada vez más cerca del 0.
Ahora elegimos un valor para $\epsilon$ en $\mathbb{K}[/$que sea mayor que 0 pero tan pequeño como queramos. Como estamos en el cuerpo de los racionales, vamos a elegir $\frac{1}{20}$. Señalamos en la recta los valores de $a + \epsilon y a - \epsilon$ es decir, $0 + \epsilon y 0 - \epsilon$ aunque al no tener términos negativos, no vamos a usar el tramo correspondiente.
Ahora se trata de ver si en la recta $\mathbb{N}$ podemos encontrar un $n_0$ tal que todos los $n > n_0$ se aplican dentro del tramo que hemos marcado en $\mathbb{K}$ alrededor de 0 $0 + \epsilon y 0 - \epsilon$. Es decir, si todo $n > n_0$ cumple que $|a_n - 0| < \frac{1}{20}$. Si logramos encontrar ese $n_0$ la sucesión es convergente.
Efectivamente, para $n_0=20$ se cumple que $a_{n_0}+1=\frac{1}{21}<\frac{1}{20}$ etc.

[Afisionado]

Bueno, se me ha escapado y no se puede corregir. Donde pone

[FONT=Verdana]Señalamos en la recta los valores de $a + \epsilon y a - \epsilon$ es decir, $0 + \epsilon y 0 - \epsilon$ aunque al no tener términos negativos, no vamos a usar el tramo correspondiente.[/FONT]

poner $0 + \frac{1}{20}$ y $0 - \frac{1}{20}$

Las sucesiones de Cauchy son parecidas, pero no hace falta saber el valor al que converge la sucesión. Simplemente hay que comprobar que, elegido cualquier $\epsilon$ en el entorno cercano al posible valor de convergencia, se pueden hallar dos valores sucesivos de [FONT=Verdana]$\mathbb{N}$ [/FONT][FONT=Verdana]tales que cualesquiera valores posteriores al aplicarlos a [FONT=Verdana]$\mathbb{K}$ producen dos términos de la sucesión cuya diferencia es menor que $\epsilon$.[/FONT][/FONT]
[FONT=Verdana][FONT=Verdana]Si no queda claro así en otro momento pongo el ejemplo pseudgráfico.[/FONT][/FONT]
[FONT=Verdana][FONT=Verdana]Atención porque puede no ser correcto, no soy un experto, conviene contrastarlo con los libros. Yo, por mi parte, tendré que darle un repaso. [/FONT][/FONT]
[FONT=Verdana][FONT=Verdana]Saludos. [/FONT][/FONT]

[Afisionado]

Bueno, se me ha escapado y no se puede corregir. Donde pone

[FONT=Verdana]Señalamos en la recta los valores de $a + \epsilon y a - \epsilon$ es decir, $0 + \epsilon y 0 - \epsilon$ aunque al no tener términos negativos, no vamos a usar el tramo correspondiente.[/FONT]

poner $0 + \frac{1}{20}$ y $0 - \frac{1}{20}$

Las sucesiones de Cauchy son parecidas, pero no hace falta saber el valor al que converge la sucesión. Simplemente hay que comprobar que, elegido cualquier $\epsilon$ en el entorno cercano al posible valor de convergencia, se pueden hallar dos valores sucesivos de [FONT=Verdana]$\mathbb{N}$ [/FONT][FONT=Verdana]tales que cualesquiera valores posteriores al aplicarlos a [FONT=Verdana]$\mathbb{K}$ producen dos términos de la sucesión cuya diferencia es menor que $\epsilon$.[/FONT][/FONT]
[FONT=Verdana][FONT=Verdana]Si no queda claro así en otro momento pongo el ejemplo pseudgráfico.[/FONT][/FONT]
[FONT=Verdana][FONT=Verdana]Atención porque puede no ser correcto, no soy un experto, conviene contrastarlo con los libros. Yo, por mi parte, tendré que darle un repaso. [/FONT][/FONT]
[FONT=Verdana][FONT=Verdana]Saludos. [/FONT][/FONT]

[javigc]

Joder, me ha quedado clarísimo!! Épsilon es la imagen de n_o, a partir de la cual cualquier n > n_o tendrá una imagen comprendida entre [FONT=Calibri] épsilon y el límite.[/FONT]
[FONT=Calibri]Muchísimas gracias!![/FONT]
[FONT=Calibri]J.[/FONT]

[javigc]

Por cierto, os pongo un ejemplo que puede resultar bastante clarificador:[FONT=Verdana]
[FONT=Verdana]-----------[/FONT]
[FONT=Verdana]La sucesión (−1)n no es convergente, ya que si tuviese límite "a"[/FONT][FONT=Verdana]:[/FONT]
[FONT=Verdana] -no podría ser "a[/FONT][FONT=Verdana] = 1" puesto que entonces eligiendo ϵ [/FONT][FONT=Verdana]= 2 > 0, cualquiera que fuese no bastaría tomar n = 2no + 1 > no para conseguir que |a(n)[/FONT][FONT=Verdana] − a[/FONT][FONT=Verdana]| = |− 1 − 1| = 2, que NO es < ϵ[/FONT][FONT=Verdana] (ϵ [/FONT][FONT=Verdana]= 2).[/FONT]
[FONT=Verdana] -no podría ser a [/FONT][FONT=Verdana] 1 puesto que entonces eligiendo ϵ[/FONT][FONT=Verdana] = |1− a[/FONT][FONT=Verdana]| > 0, cualquiera que fuese no bastaría tomar n = 2no > no para conseguir que |a(n)[/FONT][FONT=Verdana]− a[/FONT][FONT=Verdana]| = |1 − a[/FONT][FONT=Verdana]|, que NO es < ϵ[/FONT][FONT=Verdana] (ϵ [/FONT][FONT=Verdana]= |1 − a[/FONT][FONT=Verdana]|).[/FONT]
[FONT=Verdana]-----------[/FONT]
[FONT=Verdana]Espero que os sirva![/FONT]
[FONT=Verdana]Saludos,[/FONT]
[FONT=Verdana]J.[/FONT][/FONT]

[Afisionado]

¿Desesperado con esta asignatura? Échale un vistazo a esto, quizá te facilite las cosas. Si te gusta mira el resto de material que tienen en la página, yo le estoy echando un vistazo.

[Zhisi]

Ahí va el solucionario de cálculo (solo existe en inglés)

http://hotfile.com/dl/37378603/7b185...anual.zip.html

[Zhisi]

¿Alguien ha hecho el examen de análisis? ¿Qué le ha parecido?

[Cherno Alpha]

Yo, me presente, me parecio.... muy filosofico, por decir algo.

[Zhisi]

Jajaja! Mi tutor flipo cuando le enseñé el examen. Nos comentó que semejantes enunciados se deben a una mala traducción del libro, nos dijo que él tiene la versión inglesa y que en ese idioma se entiende perfectamente el enunciado.
Han colgado un examen modelo en la plataforma alf, y aunque no tiene mala pinta (nada que ver con el de evaluación continua) creo que me apunto a septiembre, no puedo seguir el ritmo del curso y prefiero centrarme en algunas y asegurarme el aprobado aunque solo sea de esas, que seguir con todas y suspenderlas todas. Además no me gusta aprender deprisa y corriendo , prefiero estudiar con calma estas asignaturas que son básicas para el resto de la carrera y así adquirir una buena base para luego no llevarme sorpresas por no haber aprendido bien la materia de cursos anteriores.

[Abel]

Buenas!

Llevo un tiempo leyendo el foro, y la verdad nunca habia posteado nada porque no tenia nada importante que aportar etc... pero tambien estoy en la UNED haciendo como la mayoria de vosotros el grado en fisica.

Hice ayer el examen de analisis, que tal os fue? alguien mas lo hizo? que os parecio? como lo llevais?

Ya que me pongo os doy mi opinion por si alguien no ha hecho el examen de analisis.
sacar el 10 estaba complicado, almenos el 2o problema yo no tenia muy claro por donde empezarlo (al final puse algo pero ni a mi mismo me ha convencido), en cuanto al primer problema, creo que era mas bien "facil", yo no supe encontrar los puntos de interseccion por alguna razon que aun n ome explico (me salian numeros raros, y con los nervios del momento me lie), pero tampoco era de un nivel muy chungo.

los ejercicios cortos (calcados del examen "tipo" que habia en el foro de la uned", eran mas bien asequibles tambien, la serie no la hice porque el último mes decidi repasar el resto de temario o liarme bien con el capitulo 9 (series) asi que no tenia ni idea.

pero los otros tres ejercicios cortos eran asequibles.
por mi parte, ya que no he visto post de presentaciones -de la uned, el general si lo vi y creo que lo postee en su momento-

Pues nada me presento
Soy Abel, del centro asociado de Terrasa, este año me las he cogido todas y de momento quimica y biologia ni me presentaré, las dejo directamente para septiembre.
Quimica hice hasta la primera PED, pero luego lo dejé, biologia creo que lo deje nada mas ver el libro y donde me metia aunque creo que es la asignatura que mas me ha sorprendido porque me parece "bonita".

Aprovecho y tal, creo que no, pero hay alguien del centro de terrassa en el foro? yo alguna vez he comentado algo en las tutorias de este foro y nadie ha dicho nada así que imagino que nadie es de ahi, o almenos no va a las tutorias.

Bueno, pues un saludo y suerte con los examenes!

Un Saludo,
Abel

[Cherno Alpha]

Hola Abel !!!
Bienvendio a esta, nuestra comunidad.

Pues yo solo me he presentado a Biologia, asignatura que me ha encantado, y que me esta haciendo replantear si seguir en fisica o emigrar a ciencias ambientales.
El examen de Bio, era asequible, calcado a los examenes de muestra. Haciendo bien los trabajos y estudiando un poquillo, era facil.
En la segunda semana me voy a presentar a fundamentos de fisica, analisis i algebra.
Ya veremos como va.
Alguien se ha presentado a fundamentos? A ver como es el examen.
En analisis estoy como tu, no he llegado a lo de series de potencias, asi que...
En fin, un saludo y suerte.