Divulgación Deduccion del principio de incertidumbre ¿desde cero?

[inakigarber]

Buenos dias;
Siguiendo este tutorial que hace un tiempo encontré en internet. Creo que lo he entendido relativamente bien (aunque hay cosas que tendré que repasar), hasta que hacia el minuto 55 me he encontrado con la siguiente expresión;
$P_x=-i\hbar\frac{d}{dx}$
No entiendo esta expresión.
Por otra parte; $P_x=mv_x=m\frac{d_x}{d_t}$, pero no veo cómo esta expresión me permitiría llegar a la primera.
¿Que necesito saber?
Saludos y gracias.

[Mossy]

Re: Deduccion del principio de incertidumbre ¿desde cero?

Hola,

Quizás deberías echar un ojo a este enlace o seguir buscando en internet sobre el operador momento en mecánica cuántica. En resumen, en mecánica cuántica los observables (energía, momento, momento angular, ...) pueden ser representados por operadores.

Es interesante saber que si conoces la función de ondas de una partícula, $\psi$, te podrías calcular el valor medio de un observable A (representado en mecánica cuántica por su correspondiente operador $\hat{A}$) mediante la siguiente expresión

$\displaystyle <A> = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi ^* \hat{A} \psi$

donde $\psi ^*$ es la función de ondas compleja conjugada, y el operador actúa sobre la función sin conjugar. Para el caso del momento, tendríamos

$\displaystyle <p_x> = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi ^* (-i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \psi) dx$

[inakigarber]

Re: Deduccion del principio de incertidumbre ¿desde cero?

Me cuesta entenderlo, pero si $\frac{d}{dx}$ se expresa en $m^{-1}$ entonces, $-i\hbar\frac{d}{dx}$ se expresa en magnitudes de momento lineal, por lo que no me queda más que rendirme a la evidencia $P_x=-i\hbar\frac{d}{dx}$, esta fórmula expresa un momento lineal.

[Mossy]

Re: Deduccion del principio de incertidumbre ¿desde cero?

Es normal que te cueste entenderlo de buenas a primeras, pero has de saber que el aparato matemático de la mecánica cuántica es sólido y consistente. Estas cosas tienen su demostración.

En general tu puedes plantear un problema de autovalores $\hat{A} \psi = a \psi$ , donde los a son los autovalores del problema (serían los valores permitidos del observable A que tú podrías medir en la naturaleza). Imagínate que tu función es una exponencial $e^{kx}$ y que tienes el operador $D=\frac{d}{dx}$, el operador derivada de toda la vida; entonces al aplicar D a la función podrás ver que el autovalor correspondiente al operador es $k$.

Sin ir más lejos, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo que seguramente conocerás es un problema de autovalores: $\hat{H} \psi = E \psi$, donde H es el operador hamiltoniano y sus autovalores son las energías posibles del sistema. Si por ejemplo planteas el problema para el átomo de hidrógeno, obtendrás el espectro discreto de las energías posibles que puede tener el electrón en el átomo.

No sé cuánto sabes de álgebra lineal, pero problemas parecidos se tratan ahí: los operadores en este caso son sustituídos por matrices, los autovalores son los autovalores y los vectores que cumplen el problema son los autovectores. Lo que pasa es que cuando tratas con operadores y funciones es más complejo, pues típicamente hay que resolver ecuaciones en derivadas parciales que en principio no son fáciles de resolver.

Espero no haberte liado con todo esto; si quieres lo tratamos más despacio. Era por profundizar un poco para que veas más o menos de qué va la cosa.

[inakigarber]

Re: Deduccion del principio de incertidumbre ¿desde cero?

Gracias por tu respuesta.
Lo que me ocurre es que hay muchos aspectos de la matemática inherente a la mecánica cuántica que me resulta difícil de visualizar, y eso a veces me frustra bastante.
Saludos.

[Weip]

Re: Deduccion del principio de incertidumbre ¿desde cero?

Gracias por tu respuesta.
Lo que me ocurre es que hay muchos aspectos de la matemática inherente a la mecánica cuántica que me resulta difícil de visualizar, y eso a veces me frustra bastante.
Saludos.

Hola. Entonces es posible que encuentres útil esta serie de vídeos sobre álgebra lineal. Tratan de vectores, matrices, determinantes y estas cosas que estás viendo últimamente. Están en inglés, es la única pega, porque por lo demás los vídeos están repletos de animaciones y explicaciones de calidad, de hecho su objetivo es justamente visualizar todo el tema de las matrices.

[inakigarber]

Re: Deduccion del principio de incertidumbre ¿desde cero?

Gracias por los videos. Les echaré un vistazo con tiempo, espero sacar algo de ellos.
Saludos.

[carroza]

Re: Deduccion del principio de incertidumbre ¿desde cero?

me he encontrado con la siguiente expresión;
$P_x=-i\hbar\frac{d}{dx}$
No entiendo esta expresión.
Por otra parte; $P_x=mv_x=m\frac{d_x}{d_t}$, pero no veo cómo esta expresión me permitiría llegar a la primera.
¿Que necesito saber?

Hola.

El título de tu post es interesante. Planteas "deducir" el principio de incertidumbre, desde cero. Esto lleva implícito una idea de que las leyes de la naturaleza pueden deducirse, como si la física fuera una rama de las matemáticas.

Creo que el enfoque es diferente. Históricamente, Heisenberg encuentra que las observaciones de los fenómenos cuánticos llevan implícita una relación de incertidumbre https://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle . Luego, se ve que esa relación de incertidumbre aparece naturalmente si las "cosas" que describen coordenadas y momentos no conmutan. Por tanto, esas "cosas" no pueden ser simplemente los números reales que se usan en mecánica clásica.

El problema es encontrar, del arsenal de herramientas que tenemos en matemáticas, "cosas" que no conmuten. Y hay dos herramientas de ese tipo:

- Las matrices; esto es el punto de partida de la descripción matricial del propio Heisenberg.

- las funciones y sus derivadas; esto es el punto de partida de la formulación ondulatoria de Schrodinger. Este es el caso al que te refieres.

Por ejemplo, si a la posición le asignamos el "operador" $x$, definido como algo que actuando sobre una función $f(x)$ nos da otra función $x f(x)$, al momento le posemos asociar el "operador" $i \hbar {d \over dx}$, definido como algo que actuando sobre una función $f(x)$ nos da otra función $i \hbar f'(x)$.

Ahora puedes comprobar que no es lo mismo $i \hbar {d \over dx} x$ que $x i \hbar {d \over dx}$, cuando actúan sobre una función, y que la diferencia de ambos operadores es igual a $i \hbar$, actuando sobre la función anterior.

Con eso, tenemos que las matemáticas que conocían Heisenber y Schrodinger, y que también conocemos todos en este foro (las derivadas), nos permiten introducir "cosas" que no conmutan, y seguir construyendo la mecánica cuántica.

Saludos

[Penrose]

Re: Deduccion del principio de incertidumbre ¿desde cero?

Hola carroza
Yo estoy de acuerdo contigo. Las leyes de la naturaleza se obtienen normalmente por inducción no por deducción. Aún así debe de ser interesante comprobar si partiendo de algunas premisas se puede obtener el principio de incertidumbre como conclusión lógica. De todas formas, supongo que este tipo de deducciones solo se pueden hacer a posteriori de haberse conocido dicha ley.
Saludos

Hola.

El título de tu post es interesante. Planteas "deducir" el principio de incertidumbre, desde cero. Esto lleva implícito una idea de que las leyes de la naturaleza pueden deducirse, como si la física fuera una rama de las matemáticas.

Creo que el enfoque es diferente. Históricamente, Heisenberg encuentra que las observaciones de los fenómenos cuánticos llevan implícita una relación de incertidumbre https://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle . Luego, se ve que esa relación de incertidumbre aparece naturalmente si las "cosas" que describen coordenadas y momentos no conmutan. Por tanto, esas "cosas" no pueden ser simplemente los números reales que se usan en mecánica clásica.

El problema es encontrar, del arsenal de herramientas que tenemos en matemáticas, "cosas" que no conmuten. Y hay dos herramientas de ese tipo:

- Las matrices; esto es el punto de partida de la descripción matricial del propio Heisenberg.

- las funciones y sus derivadas; esto es el punto de partida de la formulación ondulatoria de Schrodinger. Este es el caso al que te refieres.

Por ejemplo, si a la posición le asignamos el "operador" $x$, definido como algo que actuando sobre una función $f(x)$ nos da otra función $x f(x)$, al momento le posemos asociar el "operador" $i \hbar {d \over dx}$, definido como algo que actuando sobre una función $f(x)$ nos da otra función $i \hbar f'(x)$.

Ahora puedes comprobar que no es lo mismo $i \hbar {d \over dx} x$ que $x i \hbar {d \over dx}$, cuando actúan sobre una función, y que la diferencia de ambos operadores es igual a $i \hbar$, actuando sobre la función anterior.

Con eso, tenemos que las matemáticas que conocían Heisenber y Schrodinger, y que también conocemos todos en este foro (las derivadas), nos permiten introducir "cosas" que no conmutan, y seguir construyendo la mecánica cuántica.

Saludos

[alexpglez]

Re: Deduccion del principio de incertidumbre ¿desde cero?

Hola carroza
Yo estoy de acuerdo contigo. Las leyes de la naturaleza se obtienen normalmente por inducción no por deducción. Aún así debe de ser interesante comprobar si partiendo de algunas premisas se puede obtener el principio de incertidumbre como conclusión lógica. De todas formas, supongo que este tipo de deducciones solo se pueden hacer a posteriori de haberse conocido dicha ley.
Saludos

Matemáticamente, dada la relación de conmutación de dos operadores A y B de un espacio vectorial:

$$[A,B]=AB-BA$$

Se puede obtener la relación entre las variables $\sigma$ (en caso de que los operadores sean hermíticos, es decir sus valores propios sean reales):

$$\sigma_A \sigma_B\geq\frac{|<u|[A,B]|u>|}{2}$$

Siendo $|u>$ un vector cualquiera, y:

$$\sigma_A= \sqrt{<u|A^2|u>-<u|A|u>^2}$$

Esto es puramente matemático.

Lo físico es la interpretación-postulado, de $|u>$ como un vector que lleva la información del estado del sistema. Siendo la media de una cantidad física A en el estado u como $<A>_{|u>}=<u|A|u>$, así como $\sigma$ la desviación típica. Así como el postulado $[X,P]=i\hbar$ siendo X y P los operadores posición y momento.
Luego, sustituyendo en la fórmula anterior, para cualquier vector estado $|u>$:

$$\sigma_x \sigma_p\geq \frac{\hbar}{2}$$

Es decir, en toda situación física, siempre la multiplicación de las desviaciones típicas de los operadores posición y momento es mayor o igual que la constante de Planck reducida partido por 2.

[carroza]

Re: Deduccion del principio de incertidumbre ¿desde cero?

Lo físico es la interpretación-postulado, de $|u>$ como un vector que lleva la información del estado del sistema. Siendo la media de una cantidad física A en el estado u como $<A>_{|u>}=<u|A|u>$, así como $\sigma$ la desviación típica. Así como el postulado $[X,P]=i\hbar$ siendo X y P los operadores posición y momento.
Luego, sustituyendo en la fórmula anterior, para cualquier vector estado $|u>$:

$$\sigma_x \sigma_p\geq \frac{\hbar}{2}$$

Es decir, en toda situación física, siempre la multiplicación de las desviaciones típicas de los operadores posición y momento es mayor o igual que la constante de Planck reducida partido por 2.

Hola. Dejame que matice esto: Qué es "matemáticas" y qué es "fisica". Por supuesto, que esto es una diferencia algo artificial, ya que el lenguaje de la física son las matemáticas. Pero es importante tener en cuenta que el contenido de la "física", en sentido estricto, se refiere siempre a cosas que se puedan observar experimentalmente en la naturaleza, y este contenido puede plasmarse en el lenguaje habitual, con palabras, sin necesidad de recurrir necesariamente al lenguaje matemático.

Por tanto, cuando hablamos de "la interpretación física" de algo, nos referimos a una descripción en lenguaje normal, referida a los posibles resultados de una medida relacionada con alguna ley o hecho físico.

Por tanto, yo diría que en este caso el principio de Incertidumbre es claramente "interpretación física", ya que podríamos formularlo en el lenguaje habitual "el producto de las incertidumbres de las coordenadas y los momentos es mayor que la constante de plank partido por dos".

Sin embargo "|u> es un vector estado que lleva la información de un sistema ...", así como el resto de los postulados de la mecánica cuántica https://es.wikipedia.org/wiki/Postul..._cu%C3%A1ntica , son más una formulación matemática, fundamental para construir la teoría, pero que
no dan a priori "interpretación física", ya que no nos dicen, en lenguaje habitual, cosas que podamos medir.

Saludos

[inakigarber]

Re: Deduccion del principio de incertidumbre ¿desde cero?

...El título de tu post es interesante. Planteas "deducir" el principio de incertidumbre, desde cero. Esto lleva implícito una idea de que las leyes de la naturaleza pueden deducirse, como si la física fuera una rama de las matemáticas....

Buenas tardes. Aún no he leído con detalle vuestras respuestas. El título del post viene de un video que pretende explicar el principio de incertidumbre desde cero y cuyo enlace puse al principio de mi post. Creo que el video es interesante, pero considero que su título es inapropiado (de ahí mis interrogantes) ya que no puede deducirse el principio de incertidumbre (y probablemente ningún otro) desde cero. La comprensión requiere unos conocimientos previos (algunos de los cuales ya tenía), pero también exige más conocimientos. Como expuse en mi pregunta inicial.
Creo que esto conviene aclararlo.
Saludos y gracias.

[Xose]

Re: Deduccion del principio de incertidumbre ¿desde cero?

Perdonar....no suelo escribir, por mis someros conocimientos ...pero mi pasión por la cuantica me puede,.Quería preguntaros si conoceis..y que os parecen sus presentaciones sobre mecanica cuántica en Youtoube...su nombre es Javier Garcia......gracias y perdonar pero no sabía donde preguntar...un saludo.

[inakigarber]

Re: Deduccion del principio de incertidumbre ¿desde cero?

Perdonar....no suelo escribir, por mis someros conocimientos ...pero mi pasión por la cuantica me puede,.Quería preguntaros si conoceis..y que os parecen sus presentaciones sobre mecanica cuántica en Youtoube...su nombre es Javier Garcia......gracias y perdonar pero no sabía donde preguntar...un saludo.

Mis conocimientos son también someros. Por eso escribo... preguntas. Y tratar a través de las preguntas y de las respuestas de mis compañeros tratar de convertir mis dudas en certezas. Por tanto, debes escribir y así tratar de convertir tu ignorancia en conocimiento. Yo creo que en Youtube hay muy buenos videos de mecánica cuántica. Vale que veas esos videos, pero necesitarás un lugar donde poder preguntar y este es un buen sitio.
Saludos y bienvenido al foro.

[Penrose]

Re: Deduccion del principio de incertidumbre ¿desde cero?

Mira no he visto ese canal de Youtube nunca y ahora mismo no tengo mucho tiempo para poder echarle un vistazo, pero sí te puedo recomendar algunos canales que tratan muchos aspectos de física, no solo cuántica que son muy interesantes.

• En español te recomendaría el canal Quantum Fracture, Física Límite y el del Instituto Nacional de Física Teórica
• Y ya si controlas el inglés aquí hay muchísima más variedad (véase Minutephysics, Veritasium, PBS Spacetime, Kurzgesagt...)

Pero aunque los vídeos divulgativos están muy bien, intenta comprender a grandes rasgos el modelo matemático que los describe (aunque sea de forma muy superficial ayuda a entender una barbaridad)
Saludos

Perdonar....no suelo escribir, por mis someros conocimientos ...pero mi pasión por la cuantica me puede,.Quería preguntaros si conoceis..y que os parecen sus presentaciones sobre mecanica cuántica en Youtoube...su nombre es Javier Garcia......gracias y perdonar pero no sabía donde preguntar...un saludo.