Física y matematica necesaria para lanzar un cohete.-14. Asistencia gravitatoria

[Richard R Richard]

14. Asistencia gravitatoria

La asistencia gravitatoria es una maniobra orbital, para reducir o aumentar la velocidad relativa de un cuerpo respecto de otro aprovechado la gravedad de un cuerpo celeste.
El funcionamiento es el siguiente se hace una aproximación de cohete a la vecindad del cuerpo celeste, escogiendo la trayectoria o bien por delante o por detrás del mismo, con el objeto que durante ese tiempo este le transfiera momento línea de su órbita, resultado por el cual se gana o pierde velocidad que servirá para alcanzar otras órbitas sin haber consumido combustible.
El mecanismo por el cual funciona es muy similar a una colisión elástica e bolas de billar. Como uno de los cuerpo es muy masivo, puede variar sobre el pequeño muy marcadamente su momento lineal, conservando la energía cinética de ese sistema.
Pero si el cohete lleva al inicio velocidad de escape superior, puede lograr tres cosas,

• La primera salir despedido a mayor velocidad relativa de otros cuerpos celestes, Casos como las sondas Voyager, Viking para alcanza planetas exteriores.
• La segunda es reducir la velocidad, pero mantenerse por encima de la de escape, por ejemplo para alcanzar órbitas más cercanas al sol, o para planetas interiores, ej. Parker solar Probe, marinero 10, Messenger etc.
• La tercera, es realizar la captura de orbital, se trataría de una entrada en órbita al menos elíptica, sobre el cuerpo celeste, al reducir la velocidad por debajo de la de escape.

Como las fórmulas para la asistencia gravitacional se pueden derivar de las fórmulas de una colisión elástica, en las que tanto el momento como la energía cinética se conservan, por lo que para el cuerpo celeste con masa $M$ y nuestro satélite o cohete de masa $m$, y velocidades $u_1$ y $u_2$ antes de la colisión y $v_1$ y $v_2$ después de la colisión.

El momento lineal antes y después de la colisión se expresa mediante:

$Mu_{1}+mu_{2}=Mv_{1}+m v_{2}$


La energía cinética se expresa mediante

$\dfrac12 Mu_1 ^ 2 + \dfrac12 mu_2 ^ 2 = \dfrac12 Mv_1 ^ 2 + \dfrac12 mv_2 ^ 2$

Estas ecuaciones pueden resolverse para encontrar $v_1, v_2$ cuando se conocen $u_1, u_2$:

$\begin {array} {ccc}v_1 & = & \displaystyle \frac {M-m} {M + m} u_1 + \frac {2m} {M + m} u_2 \\v_2 & = & \displaystyle \frac {2M} {M + m} u_1 + \frac {m-M} {M + m} u_2\end {array}$

En el caso de una nave espacial que sobrevuela un planeta, la masa de la nave espacial ($m$) es insignificante en comparación con la de un planeta ($M$) ($m \ll M$), por lo que esto se reduce a:

$\begin {array} {ccc}v_2 & \approx & -u_2 + 2 u_1 \\ v_1 & \approx & u_1\end {array}$

Qué importancia tiene esto, en que se puede calcular muy bien el Angulo de entrada y el de salida, para que aunque cayendo el rendimiento de la asistencia, se mejore la precisión de la dirección, apuntando al siguiente objetivo de la trayectoria.
De estas fórmulas se puede analizar que cuando se entra por delante de del cuerpo masivo y se sale por detrás en relación al movimiento orbital, el resultado es que la velocidad relativa respecto de ese marco es menor es decir un frenado. Y si se pasa por detrás se obtiene un incremento de velocidad.

El Delta v y la asistencia gravitatoria.

Podríamos pensar que luego de ser asistidos gravitacionalmente, cuando estemos próximos al objetivo, en la cercanía del apoastro de la última órbita obtenida, en acelera aplicando impulso tanto para alcanzar la órbita requerida. Debido al cambio de energía cinética por potencial, Pero esto es un error caro. Existe una forma de lograr la misma velocidad final pero con un coste menor.

Imaginemos la siguiente situación tenemos una cierta velocidad v de viaje y necesitamos incrementar la velocidad para llegar a un órbita externa para lo cual encendemos motores esto provoca la variación de energía cinética del cohete. Creando un cierto $\Delta v$

$\Delta E = E_{f} - E_{i} = \dfrac{1}{2} (v + \Delta v)^{2} - \dfrac{1}{2} (v)^{2} = v \Delta v + \dfrac{(\Delta v)^2}{2}$

Ahora bien, si observamos en detalle esta fórmula no dice que cuanto más rápido viaje nuestra nave más variación de energía cinética obtenemos aplicando el mismo $\Delta v$, puesto que uno de los factores es proporcional a la velocidad inicial, y el otro es en común para todos los casos de aceleración
Y si observamos una órbita hiperbólica o elíptica alrededor de un cuerpo celeste hemos visto que en el perihelio tenemos la máxima velocidad. Luego si encendemos los motores cuando estamos arribando al perihelio la variación de energía cinética será mucho mayor con el mismo $\Delta v$ en decir con el mismo consumo de combustible produciríamos mayor velocidad final. Este fenómeno se lo conoce como efecto Oberth.

Entonces la combinación de la asistencia gravitatoria con el efecto Oberth es lo que se aplica en astronáutica para elevar o reducir la energía cinética de una nave para impulsarla a una órbita externa o interna utilizando mucho menos combustible.

Analicemos la siguiente paradoja. Las órbitas internas del sistema solar tienen mucha mayor velocidad tangencial que la de la Tierra y las externas menor velocidad, sin embargo para alcanzar una órbita interna más rápida nuestras naves deben frenar, y para alcanzar una más lenta deben acelerar.



La física y las matemáticas necesarias para lanzar un cohete al espacio exterior.
1. El modelo sencillo: un sistema de masa variable.
2. Un modelo con gravedad
3. Un modelo con fricción.
4. Un modelo con gravedad variable
5. Un modelo con fricción variable, aerodinamía.
6. Argumentos para optimizar.
7. Ventanas de lanzamiento, fuerzas ficticias, navegación
8. Órbitas, definiciones, estimación, formulación.
9. Leyes de conservación, que se conserva y que no.
10. Consumo energético para el cambio de órbitas
11. Órbitas de transferencia
12. Sistema Tierra Luna , problema de los dos cuerpos.
13. Puntos de Lagrange de un sistema de tres cuerpos
14. Asistencia gravitatoria
15. Reentrada atmosférica.
16. Una pincelada relativista