Cerrado [Desafío 2.16] Chocolate con mucha leche

[La esfinge]

¡Hola amigos!

Como siempre, quiero empezar dando las gracias a todos los que intentasteis responder a Daguerre la quincena pasada. Su permiso en este mundo ya ha expirado, pero le he podido mandar vuestras respuestas. Al leerlas, se ha mostrado de lo más contrariado consigo mismo, no se explica como pudo olvidar algo tan básico. En cualquier caso, él también os envía las gracias y un cálido abrazo.

Esta semana me encuentro en él Tártaro, donde visito un antiguo conocido, que sigue cumpliendo condena en lo que hace siglos se consideraba un infierno terrenal. Se trata de Tántalo, uno de los mayores glotones de la historia. Con él inmenso honor de ser prácticamente él único mortal invitado a una comilona en el Olimpo, quiso devolverles el favor.

La parte escabrosa viene ahora: incapaz de saciar el apetito divino, pero sobre todo el suyo propio, sirvió un plato muy especial: su propio hijo desmenuzado. Qué horror, ¿verdad?

Bueno, eso fue hace mucho, y yo misma sé más que nadie lo que es tener un pasado tumultuoso, así que decidí hacerle una visita aquí en su eterna prisión. El hombre no ha cambiado, sigue siendo un destacado ejemplo de gula desmesurada. Pero ahora, en vez de ambrosía e hijos (que bastante tardó en conseguir que le perdonara, una vez los dioses lo hubieron recompuesto), ha puesto su mirada en el chocolate.

En particular, le encanta el de una fábrica muy especial. Tántalo me estuvo contando cosas muy interesantes de la factoría, resulta que está dirigida por un hombre llamado Charlie, que la heredó de un engimático personaje. Pero no fue la típica herencia por sangre, sino que se ganó el derecho a la sucesión gracias a encontrar un papelito dorado en una chocolatina. Al parecer, ahora que el otrora chavalín se ha hecho mayor, desea encontrar un digno sucesor, y para ello va a seguir una táctica similar.

Siempre según Tántalo, a partir del mes siguiente, cada doscientas mil tabletas de chocolate que salgan de la fábrica incluirán un boleto dorado, que brindará la oportunidad única de visitar las instalaciones chocolateras y, con suerte, aspirar a suceder en la dirección al propio Charlie. A Tántalo, a mi interlocutor, se le abrieron los ojos como platos:

"El año pasado compré medio millón de chocolatinas. Es que están buenísimas, sobre todo el que lleva algo de leche", al decir esto último casi parecía excusarse. "Si igualo el récord, tendré un 250% de posibilidades de conseguir al menos un boleto."

"Pero oye, se supone que la probabilidad debe ser, como mucho, del 100% para un suceso dado, ¿no? ¿Cómo puede estar mal mi cálculo?" Llegados a este punto, supe exactamente a quién recurrir para obtener la mejor respuesta. Sin duda, los gurús que visitáis el Foro de Física podréis prestar a Tántalo una ayuda inestimable... aunque dudo mucho que los dioses le den permiso para abandonar su celda.

[La esfinge]

Re: [Desafío 2.16] Chocolate con mucha leche

¡Gracias a todos los que habéis participado! El ganador ha sido Blasco, con un 8,375. A continuación os muestro los criterios de valoración utilizados por el jurado. Más abajo veréis todas las respuestas recibidas.

Criterios de valoración

El razonamiento de Tántalo se basa en la suma de probabilidades, lo cual sólo es correcto si los eventos que se suman son disjuntos, es decir, no pueden ocurrir a la vez. Si la distribución de las papeletas doradas es aleatoria (y suponiendo que hay un boleto amarillo cada 200 mil papeletas, sin limite de cuota), entonces la probabilidad de que cada chocolatina contenga el boleto es de 1/200000, independientemente de si la anterior o posterior contienen o no.

De hecho, en este problema incluso habría la posibilidad de encontrar boleto en todas las chocolatinas de la muestra, aunque sería muy muy pequeña, $(1/200000)^{500000}$.

En el enunciado deja claro que buscamos la probabilidad de conseguir al menos una papeleta. Por lo tanto, no nos importa si conseguimos una, dos o trescientas. La forma más sencilla de calcularlo es calcular la probabilidad opuesta, es decir, la probabilidad de no encontrar ninguna papeleta, y restar:

$$P = 1 - \left( \frac{199 999}{200 000}\right)^{500000} = 0.918.$$

Otra forma consiste en utilizar la distribución que nos dice la probabilidad de obtener exactamente n aciertos en una serie de N = 500000 experimentos, donde cada experimento tiene una probabilidad p = 1/200000 de éxito. Pero como nos interesa la probabilidad de obtener al menos un acierto, no exactamente 1, estamos obligados a sumar:

$$P = \sum_{n=1}^{N} {N\choose n} p^n(1-p)^{N-n} = \sum_{n=1}^{N} \frac{N!}{n!(N-n)!} p^n(1-p)^{N-n}$$

Por las propiedades de la distribución binomial, si la suma fuera a partir de i = 0 el resultado sería uno, por lo que podemos calcular la suma simplemente restando ese término

$$P = 1 - \frac{N!}{0! N!} p^0(1-p)^{N} = 1 - (1-p)^N,$$

que es exactamente lo mismo que teníamos antes (obviamente).

Criterios de valoración

1.- Explicar que la incorrección está en sumar probabilidades (hasta 7 puntos).
2.- Explicar que las probabilidades no se pueden sumar porque los sucesos no son disjuntos (hasta 8 puntos)
3.- Proporcionar el cálculo correcto, o por lo menos acotarlo para ver que está por debajo de 1 (hasta 10 puntos).

Las puntuaciones dadas son máximos, los concursantes podrán llegar a dichas puntuaciones proporcionalmente con la calidad de sus explicaciones.

Penalizaciones

Utilizar la distribución binomial (o equivalente) pero no sumar todos los términos. Por ejemplo, quedarse únicamente con el término n = 1,

$$P \neq \frac{N!}{1!(N-1)!} p^1(1-p)^{N-1} = N p (1-p) = 0.205.$$

Este no es el resultado que busca la Esfinge, por lo que proponemos aplicar una penalización de 2 puntos.



Consulta las reglas de la segunda edición del Desafío Ed. URSS - La web de Física.

[alefriz]

chocolate con mucha leche

Dado que conocemos la probabilidad de aparición de un chocolatina con papel dorado, y se trata de una distribución binomial, podemos calcular la probabilidad de que le toque alguna chocolatina premiada directamente:

$$B(n,p) \approx P(X=k) = (\begin{aligned}<br /> n \\<br /> k <br /> \end{aligned}) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$

Siendo:
n = 500.000 (numero de pruebas o chocolatinas compradas)
k = 1 (numero de aciertos o chocolatinas con papel dorado)
p = 0,000005 (probabilidad de salir chocolatina con papel dorado, 1 cada 200.000)
q = (1 - p) = 0,999995 (probabilidad de no salir chocolatina con papel dorado, cada 200.000)

$$P(X=1) = (\frac{500000!}{1! \cdot 499999!}) \cdot 0,000005 \cdot (0,999995)^{499999} = 0,2052$$

Es decir, tendría un 20,52 % de probabilidad de conseguir un chocolatina premiada.

Otra forma de calcularlo, es aproximar la distribución Binomial a una de Poisson, dado que la muestra ($n$)es muy grande y la probabilidad de éxito ($p$) muy pequeña:

$$P(X=k) = \frac{\lambda k \cdot \func{e}^{-\lambda}}{k !}$$

Siendo:
lambda = n·p = 2,5 (parámetro de Poisson)
k = 1 (numero de aciertos o chocolatinas con papel dorado)

$$P(X=1) = \frac{2,5 \cdot \func{e}^{-2,5}}{1 !} = 0,2052$$

Obteniendo la misma probabilidad.

[sfn]

Respuesta al desafio

Siempre según Tántalo, a partir del mes siguiente, cada doscientas mil tabletas de chocolate que salgan de la fábrica incluirán un boleto dorado, que brindará la oportunidad única de visitar las instalaciones chocolateras y, con suerte, aspirar a suceder en la dirección al propio Charlie. A Tántalo, a mi interlocutor, se le abrieron los ojos como platos:

"El año pasado compré medio millón de chocolatinas. Es que están buenísimas, sobre todo el que lleva algo de leche", al decir esto último casi parecía excusarse. "Si igualo el récord, tendré un 250% de posibilidades de conseguir al menos un boleto."

A ver si van por aqui los tiros.
Si de la fábrica salen N tabletas, la proporción de tabletas premiadas será el número de tabletas premiadas entre las N totalas, o lo que es lo mismo: $\frac{200.00}{N}$

Multiplicando la proporción por 100 llegamos al porcentaje, que igualado a 250 nos da la ecuación
$\frac{200.000}{N}*100=250$

Cuya solución es $N= 80.000$.

Vemos que para tener una probabilidad del 250% sería necesario poseer 2.5 veces el número de tabletas que salgan de fábrica, lo que es materialmente imposible.

Una distribución hipergeométrica permitiría calcular la probabilidad de que salgan tantos boletos premiados en un grupo de N tabletas, extrayendo de dicho grupo n tabletas, con una probabilidad de p ser premiadas, siendo la proporción de tabletas premiadas Np.

Si $X=Hip(N,n,p)$ , su función de probabilidad es:




donde, en el caso que se fabricasen N tabletas, la proporción de tabletas premiadas seria $p=\frac{200000}{N}$.

[Blasco]

Chocolate con mucha leche

Este problema de estadística me parece curioso ya que el resultado podría depender del proceso de extracción, es decir de si los sucesos son totalmente independientes o nó lo son.

En el planteamiento donde se expone una probabilidad del 250% es obviamente erroneo ya que no pueden sumarse las probabilidades, es como si dijesemos que la probabilidad de obtener al menos un 6 tirando un dado 6 veces es 6 veces 1/6 y por tanto sería del 100% lo que es incorrecto.

Supongamos en primer lugar que los sucesos son totalmente independientes, es decir que la probabilidad de obtener un boleto dorado en cada tableta consumida sea de 1/200000, independientemente de que acabe de salir uno premiado, o uno sin premiar en la tableta anterior. (Como si se tratase de una ruleta o un dado perfecto).

Bajo este supuesto estamos ante una distribución Binomial y para calcular la probabilidad de obtener al menos un boleto premiado, calcularemos (1-probabilidad de no obtener ninguno)

$p(x\geqslant 1)= 1-p(x=0)=1-\frac{n!}{r! (n-r)! }{p}^{r}{q}^{n-r}$

Siendo:

$p=\frac{1}{200000}$

$q=1-p=\frac{199999}{200000}$

r=0

n=500000

Nos resulta así una probabilidad de obtener al menos 1 boleto de

$p(x\geqslant 1)=1-{\frac{199999}{200000} }^{500000}=0,918$

Es decir un 91,8%

Bajo los mismos supuestos anteriores podríamos haber resuelto el problema aproximando a una distribución de Poisson ya que p es muy pequeño y n muy grande.

En este modelo, $\lambda = \frac{500000}{200000} = 2,5$

$p(0) = \frac{{\lambda }^{r} }{r!} {e}^{-\lambda} = \frac{{2,5}^{0} }{0!} {e}^{-2,5} = 0,082$

Resultando: $p(x\geqslant 0) = 1-0,082 = 0,918$

Que es el mismo resultado obtenido anteriormente.

Por otra parte podríamos imaginar que los sucesos no fuesen independientes, este sería el caso de que tenemos una garantía absoluta de que en cada lote de fabricación de 200000 unidades producidas contínuamente, tenemos la plena seguridad de encontar un boleto premiado.

En este caso mi recomendación a Tántalo sería que intentase comprar todas las tabletas de fabricación continua, si esto fuese posible, en cuyo caso tendría un 100% de posibilidades de obtener al menos un boleto premiado. (Con la compra de 500000 fabricadas contínuamente también tendría la seguridad de obtener 2 boletos con un 100% de probabilidad).

[DFP]

Respuesta a la Esfinge

Obviamente, hablando de sucesos únicos, la probabilidad de que el suceso ocurra tiene un límite superior del 100%.

Una probabilidad se puede definir como el número de veces que ocurre un suceso determinado frente a las veces que se repite un experimento.

No obstante, dado que el Tártaro compra un millón de chocolatinas, decide sumar la probabilidad de obtener su preciado boleto dorado cada 200.000 tabletas. Lo que él olvida es que se emite más de un boleto en la tirada de chocolatinas, y por lo tanto, aparecen más de un ganador. Tártaro suma diferentes experimentos (200.000 "tiradas" experimentales, 3 experimentos iguales).

Esto implica que, cada 200.000 chocolatinas, aparece un ganador, que está en legítimo derecho de visitar la fábrica de Charlie. Por lo tanto, nuestro amigo Tártaro no tiene un 250% de conseguir una chocolatina, sino que , estadísticamente, deberá recibir más de un boleto dorado.

recordemos que una de las propiedades de la probabilidad es
P( X ) = P( A ) + P( B ) - P( A∩B )

Recuerda Tártaro, la probabilidad de un suceso sólo (que me perdone la RAE) tiene significado en el contexto de un experimento, y esa probabilidad pierde sentido matemática cuando se repite el experimento y se considera el muestrario de cada uno independientemente sin considerar la intersección de estos.

Espero sacar tiempo para poder visitar más a menudo el foro,

¡Un saludo!

[Cat_in_a_box]

Chocolate con mucha leche.

¡Ay! ¡Pobre Tántalo! Lo que hizo fue del todo falaz, pero, la verdad sea dicha, muy de sentido común para alguien que tiene pocos conocimientos de cálculo probabilístico y tiene ciertas nociones de Matemáticas, o en este caso, más bien de ''la cuenta de la vieja''.

En primer lugar, veamos qué hizo mal Tántalo y así saldremos de dudas para la posterior resolución del problema. Pues bien, nuestro glotón amigo simplemente aplicó una sencilla regla de tres, sí sí, tal como suena, y claro, ¡así le da una probabilidad del 250%!

Veamos cuál fue el razonamiento de Tántalo:

hm, si dicen que cada doscientas mil habrá un boleto dorado, es lógico pensar pues, que si compro doscientas mil tabletas tendré un 100% de posibilidades de conseguir un premio. El año pasado compré medio millón de chocolatinas, ¡qué buenas estaban!, así que si igualo el récord...¿qué posibilidad tendré de ganar el preciado boleto dorado?

Entonces, echó mano de sus escasos conocimientos de Matemáticas para intentar hacer el cálculo de la probabilidad que tenía, siguiendo, eso sí, su razonamiento. De lo poco que se acordaba era de las famosas reglas de tres, y éstas fueron su particular ¡eureka!. Por tanto, estableció:

$\left.<br /> \begin{aligned}<br /> 200000\longrightarrow & 100\%\\<br /> 500000\longrightarrow & x\%<br /> \end{aligned}<br /> \right\} <br /> \quad<br /> \boxed{x = \dst\frac{500000\cdot 100}{200000}=\bold{250\%}}$

¡Anda! Pues parece que tiene razón el amigo, ¿verdad? Por lo menos parece lógico su argumento, pero no, no es así. Podemos ver que no conoce para nada los axiomas de la probabilidad, a saber:

-La probabilidad de un suceso cualquiera es positiva o nula: $P(A)\geqslant 0$
-La probabilidad de un suceso cierto (seguro) es igual a la unidad: $P(E)=1$
-La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es igual a la suma de las probabilidad des cada uno de ellos: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Ahora bien, esta teoría es importante, pero lo que realmente nos interesa son las consecuencias que se desprenden de los axiomas, en concreto uno, y es la que se deduce de los dos primeros: la probabilidad de un suceso dado es positiva no nula y la del suceso seguro es la unidad, por lo que los valores que puede tomar la probabilidad están entre cero y uno, o en tantos por ciento entre el 0% (suceso imposible) y el 100% (suceso seguro). Por tanto, ¡¿qué es eso del 250% de posibilidades de ganar?!

Es obvio que se ha equivocado en el razonamiento, pero, entonces, ¿cuál es la solución de este problema?

Pues bien, deberíamos echar mano a lo que se conoce como distribuciones de probabilidad,en concreto a un tipo, la distribución binomial o de Bernouilli. Una distribución de este tipo se caracteriza por lo siguiente:

-En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados, el suceso $A$ al que se llama éxito, y su contrario $\bar A$ al que se llama fracaso.
- El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos en las pruebas anteriores.
- La probabilidad del suceso $A$ es constante en todas las pruebas.

¿Qué tiene que ver esto con nuestro caso? Pues mucho, fijaos:
-En cada prueba sólo hay dos posibles sucesos. Tal y como ocurre en nuestro caso, pues al abrir una chocolatina puede estar el boleto dorado (éxito) o no (fracaso).

-El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos en las pruebas anteriores. Bueno, aquí podríamos dudar, porque si te vas comiendo más y más chocolatinas y no encuentras el premio, aumentará el número de chocolatinas que puedan contener el boleto. Sin embargo, el enunciado no aporta suficiente información sobre el número total de chocolatinas que la fábrica hizo por lo que no podemos saber el número total de boletos dorados que hay. Además, el cálculo de probabilidad se complicaría una barbaridad, por lo que podemos considerar que los sucesos son independientes para realizar el cálculo.

- La probabilidad del suceso ''éxito'' es una constante.

Sí, y esto es importante, y es en lo que se equivocó Tántalo. Según la definición axiomática de probabilidad:

''Si un espacio muestral consta de un número finito de sucesos simples y todos ellos tienen la misma probabilidad de suceder (equiprobables) entonces la probabilidad del suceso $A$ es el cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles''. O en otras palabras, regla de Laplace. Por tanto:

$P(A)=\dst\frac{nP(A)}{nP(U)}$

Aplicado a nuestro problema:

$P(''sacar \quad un \quad boleto\quad dorado'')=P(A)=\dst\frac{1}{200000}$

Y esa probabilidad, la de sacar un boleto dorado, es una constante, por lo que podemos considerar que se trata de una distribución binomial.

Representemos por $p$ a la probabilidad de $A$ es decir, a la probabilidad de sacar el boleto (éxito), y por $q=1-p$ a la probabilidad del suceso $\bar A$ (fracaso, suceso contrario de sacar el boleto dorado).

Se trata de una variable discreta ya que si se realizan n pruebas se podrán obtener 0,1,2,3,4...n éxitos. Los parámetros que caracterizan a una distribución binomial son el número de pruebas realizadas y la probabilidad del suceso éxito, y se representa por $B(n,p)$.

La función de probabilidad de una distribución binomial es:

$P(''obtener \quad r \quad exitos'')=P(X=r)=\dst{n\choose r} p^r q^{n-r}=\dst\frac{n!}{r!(n-r)!}p^rq^{n-r}$

En nuestro caso, queremos obtener ''un éxito'', vamos, sacar un boleto dorado (ya que sólo con uno puedes entrar a la fábrica de chocolate) y n es medio millón, las veces que ha intentado sacar un boleto comprando chocolatinas, por tanto:

$P(X=1)=\dst{500000\choose 1}\left(\dst\frac{1}{200000}\right)^1\left(1-\dst\frac{1}{200000}\right)^{500000-1}$

$P(X=1)=0.205212240042576500954132915944165630975853247$$437017850402426484110213864694089996403126470349133259741758279466178...$

Aproximadamente tiene una probabilidad de 0.2, ¡igualito que el 250%! Eso sí, considerando, como ya se dijo anteriormente, que los sucesos son independientes y abrir una chocolatina no influye en el resultado de abrir la siguiente, entre otras cosas por la falta de información del número total de chocolatinas que hizo la fábrica.

Saludos,

[arreldepi]

Respuesta al [Desafío 2.16]

El problema está en la forma en la que se ha calculado la probabilidad. Si sólo saliese una partida de 200.000 chocolatinas él "podría" tener dicha probabilidad, pero es imposible que si sólo salen 200.000 pueda comprar 500.000. Lo mismo sucedería si saliesen 2 partidas, el total de chocolatinas sería de 400.000 (2 premiadas) y, por tanto, él no podría comprar 500.000.

Con lo cual, tenemos que considerar que el total de chocolatinas es 200.000N y que, en consecuencia, el número de premios es N.

De manera que, si él compra 500.000 chocolatinas, como mínimo tendremos que N=3, y el número de casos posibles será:

$${{200.000N}\choose {500.000}}\qquad\qquad N\geq 3$$

Ahora bien, cómo calculamos los casos favorables? Lo que estamos buscando es la probabilidad de que él tenga 1,2,...,N chocolatinas premiadas habiendo comprado 500.000. Con lo cual, la probabilidad será la suma de conseguir 1 chocolatina + la de conseguir 2+...+la de conseguir N.

Es decir

$$P=\sum_{i=1}^{N}p_i$$

Entonces, como tenemos N chocolatinas premiadas, una de ellas la podemos sacar de

$${N\choose 1}$$

formas diferentes, mientras que las otras chocolatinas (que no están premiadas) las podemos sacar de

$${{200.000N - N}\choose{499.999}}$$

formas diferentes. Así que, la probabilidad de que, como mínimo, una de ellas esté premiadas será, para $N\geq 3$

$$p_1=\frac{\displaystyle {N\choose 1}{{200.000N-N}\choose{499.999}} }{\displaystyle{\displaystyle {200.000N}\choose {\displaystyle 500.000}}}$$

La probabilidad de encontrar 2 premiadas, será, por tanto:

$$p_2=\frac{\displaystyle {N\choose 2}{{200.000N-N}\choose{499.998}} }{\displaystyle{\displaystyle {200.000N}\choose {\displaystyle 500.000}}}$$

y la de sacar, k

$$p_k=\frac{\displaystyle {N\choose k}{{200.000N-N}\choose{500.000-k}} }{\displaystyle{\displaystyle {200.000N}\choose {\displaystyle 500.000}}}$$

De manera que, la probabilidad que tendrá, en función de las N tiradas de 200.000 chocolatinas que saquen (si él compra 500.000), será (para $N\geq 3$)

$$P=\sum_{i=1}^{N}p_i =\sum_{i=1}^{N}\frac{\displaystyle {N\choose i}{{200.000N-N}\choose{500.000-i}} }{\displaystyle{\displaystyle {200.000N}\choose {\displaystyle 500.000}}}\qquad\qquad N\geq 3\;\; \text{ y fijado}<br />$$

Con lo cual, la probabilidad siempre será inferior al 100%

[neometalero]

Desafío 2.16

Un divertido e interesante desafío que trata de resolver una paradoja. En él, se afirma que cada doscientas mil tabletas de chocolate que salgan de la fábrica incluirán un boleto dorado y , en su razonamiento (erróneo), afirma que El año pasado compré medio millón de chocolatinas. Es que están buenísimas, sobre todo el que lleva algo de leche", al decir esto último casi parecía excusarse. "Si igualo el récord, tendré un 250% de posibilidades de conseguir al menos un boleto..

Esto es falso. Lo que se afirma es que habrá un boleto ganador cada 200.000. pero no que cada 200000 unidades seguidas haya un boleto ganador si o si. Es decir, podrían salir 1 millón de unidades y no haber ningún boleto, y posteriormente salir 5 en los siguientes 200.000. con lo cual el éxito no está asegurado. Esto se sabía desde un inicio porque, como todos sabemos, la probabilidad de un suceso nunca puede ser mayor de 1, o del 100%.

Para hallar la probabilidad real de acierto comprando medio millon de unidades, debemos recurrir a la distribucion de Poisson. Ésta, es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

La función de distrbución de Poisson es:

$$f(k;\lambda)=\frac{{e}^{ -\lambda } {\lambda }^{ k} }{k! }$$

donde
-k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).
-λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado.

Así con todo, si hacemos el cálculo, se obtiene una probabilidad de éxito inferior al 1%, muy inferior a la imaginada por el iluso comprador.
Saludos!!