Divulgación ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

[alexpglez]

Si una función de onda está normalizada:

$$1=\iiint_V \vert \Psi \vert ^2 \dd x \dd y \dd z$$

Se dice que la probabilidad de encontrar cierta partícula en un punto determinado es:

$$P=\vert \Psi \vert ^2$$

Mi pregunta es:
¿Por qué está relacionada la función de onda con la probabilidad?

Gracias

[visitante20160513]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Pues yo diría que nadie va a poder contestarte esa pregunta.

Salu2, Jabato.

[Julián]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Como sabrás la función de onda es puramente compleja y no tiene correlación con un valor físico. Y esto no es intencional sino que la expresión compleja (la ecuación de la cual sale la función) surge de la correlación de la definición de energía mecánica:

$\dst {E} = \frac{{p}^{2}}{2m} + U (\vec{r})$

con los valores observados en particulas subatómicas, en donde se observó una cuantificación

$E= hf$ y $\lambda = h / p$

Luego relacionando ambas expresiones se llega a la ecuacion de onda (ecuación de Schoedinger) y teniendo en cuenta los efectos relativista la ecuación de Dirac.

Buscando una relación con la ondas electromagnéticas, las cuales están descriptas por

$\vec{E} (\vec{r},t) = Re \{ {E}_{0} {e}^{j (k. \vec{r} - \omega t )} u (\vec{r}) \}$ ó $\vec{B} (\vec{r},t) = Re \{{B}_{0} {e}^{j (k. \vec{r} - \omega t )} u (\vec{r}) \}$

La densidad de potencia está dada por el vector de poynting y cuyo módulo es:

$\left\vert{} P \right\vert{}= \frac{{ \left\vert{} {E}_{0} \right\vert{}}^{2} }{2 \mu c}$ ó $\left\vert{} P \right\vert{}= \frac{{ \left\vert{} {B}_{0} \right\vert{}}^{2} c}{2 \mu }$

Como ves, la densidad de potencia activa está relacionada con el cuadrado del módulo de la onda electromagnética. Y como la energía del fotón es $hf$; esa densidad de potencia es la cantidad de fotones por unidad de superficie en un instante de tiempo. Del mismo modo para una onda mecánica como el sonido o en una cuerda también la densidad de potencia está dada por el cuadrado de la amplitud. Así que para una onda (como un electrón), no era raro pensar que su cuadrado tenga un significado como el anterior con la particularidad de que al ser una magnitud compleja está dado por el producto del valor por su conjugado y así fue corroborado esperimentalmente.
Pero como para una onda electromagnética, está relacionada con la cantidad de fotones en la onda de materia no puede ser la cantidad de materia porque en realidad es 1, por ende se postuló que es la probabilidad y así fue.

[visitante20160513]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Vamos por partes:

Como sabrás la función de onda es puramente compleja y no tiene correlación con un valor físico. Y esto no es intencional sino que la expresión compleja (la ecuación de la cual sale la función) surge de la correlación de la definición de energía mecánica:

$\dst {E} = \frac{{p}^{2}}{2m} + U (\vec{r})$

con los valores observados en particulas subatómicas, en donde se observó una cuantificación

$E= hf$ y $\lambda = h / p$

Luego relacionando ambas expresiones se llega a la ecuacion de onda (ecuación de Schoedinger) y teniendo en cuenta los efectos relativista la ecuación de Dirac.

Esto si que necesito que me lo expliquen, a ver como se obtiene la ecuación de Schrödinger relacionando esas ecuaciones. O bien como se obtienen las de Klein Gordon y la de Dirac partiendo de la ecuación mecánico-relativista:

$W^2=p^2c^2+m^2c^4$

Al fin de cuentas el proceso en uno y otro caso es similar, se trataría de realizar el salto clásica-cuantica de una forma razonada. Yo diría que es un salto discontinuo en la evolución de la física moderna, no existe solución de continuidad. Se observaron ciertas relaciones experimentales y se propusieron cierta hipótesis (Planck, De Broglie, e incluso Heisemberg) pero no existe la posibilidad de pasar de la mecánica clásica a la cuántica de una forma razonada. Y precisamente es ahí donde está el meollo de la cuestión:

1).- ¿Cómo se llega a la conclusión de que debe existir una función de onda?
2).- ¿Como se deduce que la función de onda tiene relación con la probabilidad?

Dos buenas preguntas. Ya la primera es difícil contestarla pero la segunda aún lo es más. Creo Julian que has eludido entrar en el meollo de la cuestión, cuestión que por otra parte me parece un debate muy interesante.

Salu2, Jabato.

[alexpglez]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Vamos por partes:



Esto si que necesito que me lo expliquen, a ver como se obtiene la ecuación de Schrödinger relacionando esas ecuaciones. O bien como se obtienen las de Klein Gordon y la de Dirac partiendo de la ecuación mecánico-relativista:

$W^2=p^2c^2+m^2c^4$

Al fin de cuentas el proceso en uno y otro caso es similar, se trataría de realizar el salto clásica-cuantica de una forma razonada. Yo diría que es un salto discontinuo en la evolución de la física moderna, no existe solución de continuidad. Se observaron ciertas relaciones experimentales y se propusieron cierta hipótesis (Planck, De Broglie, e incluso Heisemberg) pero no existe la posibilidad de pasar de la mecánica clásica a la cuántica de una forma razonada. Y precisamente es ahí donde está el meollo de la cuestión, ¿cómo se llega a la conclusión razonada de que debe existir una función de onda? y ¿como se deduce que la función de onda tiene relación con la probabilidad? Dos buenas preguntas. Ya la primera es difícil contestarla pero la segunda aún lo es más.

Salu2, Jabato.

La vi por el foro de demostraciones, yo la entiendo matemáticamente, pero no del todo bien. http://forum.lawebdefisica.com/group...iscussionid=37
Después ya obtenida la ecuación de Schrödinger se hace que el potencial valga 0 y se eleva al cuadrado, y obtienes la ecuación de klein-gordon.
Creo recordar que en cuentos cuánticos demostraban la de Dirac a partir de la klein gordon.

Como sabrás la función de onda es puramente compleja

Esto entenderlo no lo entiendo del todo, resolviendo la ecuación se puede dejar sin más como sumas de exponenciales, pero al obtener los coeficientes finalmente la función puede dar un número real. Lo siento pero no tengo demasiadas matemáticas nada más que resolverlas para casos didácticos, así que no conozco demasiadas soluciones.

Buscando una relación con la ondas electromagnéticas, las cuales están descriptas por

ó

La densidad de potencia está dada por el vector de poynting y cuyo módulo es:

ó

Como ves, la densidad de potencia activa está relacionada con el cuadrado del módulo de la onda electromagnética. Y como la energía del fotón es ; esa densidad de potencia es la cantidad de fotones por unidad de superficie en un instante de tiempo.

Por lo mismo me pierdo, no conozco demasiado el electromagnetismo y por tanto no conozco la densidad de potencia. Entiendo que las ondas electromagnéticas salgan por la ecuación de ondas así, pero no entiendo el por qué del Re{}¿?
Si no te importase me podrías decir qué es la densidad de potencia y por qué sale así¿?
Gracias

[visitante20160513]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

La vi por el foro de demostraciones, yo la entiendo matemáticamente, pero no del todo bien. http://forum.lawebdefisica.com/group...iscussionid=37

Bueno, aplicar la ecuación general de las ondas electromagnéticas al foton usando las hipótesis de la mecánica cuántica tendría un pase y solo hasta cierto punto, pero suponer después que el resultado de dicha acción pueda aplicarse a otras partículas con masa ya parece un despropósito más que un avance. La verdad es que los resultados han sido sorprendentes pero quien imaginó por primera vez semejante posibilidad debió de ser un visionario o un iluminado.

Salu2, Jabato.

[arivasm]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Lo que siempre he oído es que sería consecuencia de la interpretación de experiencias del estilo de, por ejemplo, la de la doble rendija: puesto que la onda EM expresa, a través del cuadrado de su amplitud, la intensidad de la luz, al interpretar la experiencia como que esta última cantidad es proporcional al número de fotones que llegan a cada punto de la pantalla por unidad de tiempo, entonces la probabilidad de que un fotón cualquiera alcance un lugar determinado será proporcional al cuadrado de la función de onda.

De todos modos, insisto en que no dejo de repetir lo que otros me han contado. No he leído ningún documento original que lo mencione. Si alguien conoce alguno le agradecería mucho que nos lo dijera.

[Weip]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Esto entenderlo no lo entiendo del todo, resolviendo la ecuación se puede dejar sin más como sumas de exponenciales, pero al obtener los coeficientes finalmente la función puede dar un número real. Lo siento pero no tengo demasiadas matemáticas nada más que resolverlas para casos didácticos, así que no conozco demasiadas soluciones.

pod te explicó en tu hilo anterior que la función de onda es un vector del espacio de Hilbert y te contó un poco por encima qué es este espacio. Lo explicó muy bien pero se olvidó de un detalle que es el origen de tu duda, y es que el espacio de Hilbert que se usa en mecánica cuántica es complejo. En pocas palabras, las funciones de onda son complejas, y por eso Julián lo afirma.

Para entender mejor estas cosas deberías estudiar con más profundidad álgebra lineal, geometría lineal y análisis. Son temas muy amplios pero es que ahora mismo las matemáticas te están dificultando el avance.

Respecto a tu duda, supongo que buscas motivos históricos, así que, de nuevo, dejo aquí mi intervención. Yo de ti buscaría las investigaciones originales para salir de dudas.

PD: Ahora me he dado cuenta de otra duda que has formulado. El Re{} significa "parte real de un número complejo". Lo verás mejor con un ejemplo. Si tengo $z=a+bi$, entonces $Re(z)=a$. También existe la parte imaginaria, $Im(z)$. El porqué se pone, pues por eso mismo, para ilustrar cual es la parte real.

[visitante20160513]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

No cabe duda que se han realizado muchos experimentos y ha habido muchos debates, yo creo que el proceso lógico por el que en algún momento alguien pensó que las partículas se comportaban como ondas y que se les podía asociar una determinada función no debió ser tan sencillo como se muestra ahora en los libros, que ya vemos todo muy trilladito y muy bien expuesto, la cosa debió de tener más de un cañonazo hasta que todo encajó como debía encajar, el problema es que no resulta fácil encontrar documentación que muestre los detalles, que es lo que interesa ahora. La teoría está clara y bien expuesta en los libros, toda hecha a base de postulados, hipótesis y experimentos que no tienen por donde cogerse, pero ahí están los resultados, ahora bien lo que interesa son los debates, las propuestas que se quedaron en el camino, y las ideas descabelladas que alguna vez se plantearon hasta conseguir que todo encajara como las piezas de un reloj. Pero eso no es fácil de encontrar. Por ejemplo, según creo, la primera interpretación que hizo el propio Schrödinger de la función de onda fue la de una distribución de carga eléctrica. Lo he leído por ahí, en algún sitio de Wilkipedia que no recuerdo ahora. Y como esa supongo que debe haber unas cuantas más.

Salu2, Jabato.

[guibix]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Yo me quedaría con la explicación de arivasm.

La luz se creía onda porqué su comportamiento a gran escala corresponde exactamente a eso: una onda. Si decidimos tratar la luz como partículas, se deberán formar los mismos patrones de onda (patrones de interferencia) cuando el número de partículas sea lo suficientemente grande. Si vamos tirando fotones "aleatorios" y al final tenemos un patrón de interferencia ondulatoria, signifiaca precisamente que la función de onda que forma el patrón está relacionada directamente con la distribución de probabilidad de cada fotón individual.

Saludos.

[visitante20160513]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Vamos a ver, según lo veo yo, la luz tratada como onda está perfectamente explicada en el electromagnetismo, y las funciones que cumplen su ecuación son los campos magnético y eléctrico. Eso es una cosa y otra muy distinta pensar que un fotón, tratado como una partícula con energía y momento, puede satisfacer dicha ecuación ¿y eso de donde sale? Además, aunque pueda hacerse esa deducción al final llegamos a la ecuación de Schrödinger que solo puede aplicarse a las partículas con masa (?) pero ... ¿es que el fotón tiene masa? Yo creo que deducir la ecuación de Schrödinger partiendo de aplicar la ecuación de propagación de las ondas al foton no parece que tenga ni pies ni cabeza si se miran las cosas con un poco de lógica. Y si aplicamos la ecuación de propagación de las ondas a una partícula con masa entonces ya ni te cuento, debería resultar directamente una aberración. Creo que el hilo conductor de la idea debería ir por otra parte.

Salu2, Jabato.

[pod]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Vamos a ver, según lo veo yo, la luz tratada como onda está perfectamente explicada en el electromagnetismo, y las funciones que cumplen su ecuación son los campos magnético y eléctrico. Eso es una cosa y otra muy distinta pensar que un fotón, tratado como una partícula con energía y momento, puede satisfacer dicha ecuación ¿y eso de donde sale? Además, aunque pueda hacerse esa deducción al final llegamos a la ecuación de Schrödinger que solo puede aplicarse a las partículas con masa (?) pero ... ¿es que el fotón tiene masa? Yo creo que deducir la ecuación de Schrödinger partiendo de aplicar la ecuación de propagación de las ondas al foton no parece que tenga ni pies ni cabeza si se miran las cosas con un poco de lógica. Y si aplicamos la ecuación de propagación de las ondas a una partícula con masa entonces ya ni te cuento, debería resultar directamente una aberración. Creo que el hilo conductor de la idea debería ir por otra parte.

Salu2, Jabato.

De hecho, cuando se habla de doble rendija en cuántica se suele hablar de electrones, no de luz...

Como bien dices, si fuera por la luz, la doble rendija no habría llevado a la cuántica. El fotón se menciona más bien en el efecto fotoeléctrico (aunque eso difícilmente se puede utilizar para justificar la interpretación de la función de onda como amplitud de probabilidad).

[Julián]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Creo que se está mesclando las cosas. Que las ondas EM tengan un comportamiento corpuscular se pone de manifiesto cuando esta interaciona con la materia. Por ejemplo cuando un técnico electrónico realiza un enlace radioeléctrico, habrá fenómenos de interferencia, (entre varias ondas debido a que es bastante dificil que sea coherente la onda), difracción (que hasta puede utilizarlo en su beneficio) reflección y refracción. Por ejemplo cuando la onda pasa por 2 rendijas (si es coherente y si la separación y la ancuhra de las rendijas son mayores a su longitud de onda) interfiere.
Por ejemplo si al rotor de un generador lo hago rotar a $\omega$ habrá una onda (tanto de tensión y de corriente) con una velocidad angular $\omega$ y si como carga conecto una antena dipolar, en un punto lejano del espacio tanto el campo eléctrico como el magnético tendrán una aceleración angular $\omega$

Si vamos tirando fotones "aleatorios" y al final tenemos un patrón de interferencia ondulatoria, signifiaca precisamente que la función de onda que forma el patrón está relacionada directamente con la distribución de probabilidad de cada fotón individual.

Fijate que un foco de bajo consumo o un fluorecente tira fotones aleatorios pero si pones una rendija no se verá el patrón de interferencia, esto es debido a que no es coherente la radiación. Por ende en cuanto a los fenómenos ondulatorios no cabe la interpretación corpuscular.

Ahora el fotón se pone de manifiesto cuando la radiación interaciona con la materia, la cual está en un estado ligado y cuántico. Pongo como argumento una experiencia demostrada.El experimento de desición retrasada.

http://grupocaos2007.brinkster.net/0...leccretard.htm.

Es decir, si la radiación no interactúa con otra radiación o con ella misma no notaremos el efecto ondulatorio y si no interactúa tampoco con la materia tampoco notaremos el comportamiento como partícula. Antes no se sabe lo que es.

Pasa lo mismo con un electrón. Por ejemplo un electron libre que se encuentra en su trayectoria una pared (una partícula beta). Interactúa como partícula. Hay una función de onda para este, pero este no se comportó como una onda, quizás por esto la onda es compleja. Ahora si ponemos una rendija en su trayectoria se comportaría como una onda porque interferiría; pero si hay un detector del otro lado lo veremos como una partícula, es decir, nunca persivimos la onda (quizás por esto es compleja). Lo que sí veremos el patrón de interferencia si hay una corriente de electrones, uno tras otro y entonces notaremos que hay zonas en donde muy pocos colicionaron. Y justamente esas zonas coinciden con el cuadrado de esa expresión matemática. La longitud de onda corresponde a la relación que hay con la interferencia de la luz coherente en cuanto al patrón de interferencia y sige la forma $\lambda = m d sen (\theta)$

[visitante20160513]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Trataré de hacer una propuesta (muy tímida) que pudiera ser el hilo conductor del razonamiento, si es que hay alguno. Tenemos por una parte la ecuación general de propagación de las ondas:

$\nabla^2 \Psi=\displaystyle\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}$

y ahora tratemos de buscar en ellas soluciones estacionarias, haciendo:

$\Psi(x,y,z,t)=\varPhi(x,y,z)\cdot T(t)$

substituyendo en la ecuación de las ondas tenemos que:

$T\nabla^2 \varPhi=\displaystyle\frac{\varPhi T''}{v^2}=\displaystyle\frac{\varPhi T''}{\lambda^2\nu^2}$

que puede descomponerse en las dos siguientes:

$\nabla^2 \varPhi=\displaystyle\frac{4\pi^2}{\lambda^2}\varPhi\qquad\qquad T=\displaystyle\frac{1}{4\pi^2\nu^2}T''$

y si aplicamos ahora la hipótesis de De Broglie resulta que:

$\nabla^2 \varPhi=\displaystyle\frac{4\pi^2p^2}{h^2}\varPhi=\displaystyle\frac{8\pi^2m}{h^2}(W-U)\varPhi\qquad\qquad T=\displaystyle\frac{h^2}{4\pi^2W^2}T''$

que aplicada a una partícula que se moviera en un campo potencial clásico nos conduciría a la ecuación de Schrödinger. Esta me cuadra algo más y en ella no intervienen ni los fotones ni la luz, es tan solo la resultante de asociar la hipótesis de De Broglie a la ecuación general de propagación de las ondas buscando soluciones estacionarias.

Salu2, Jabato.

[Julián]

Re: ¿Por qué la función de onda está realcionada con la probabilidad?

Cuando descompones las funciones. ¿de donde sale $\lambda$? Me parece que la relación ahí no se cumple.