Divulgación Consula sobre electrones encerrados en una caja y principio de incertidumbre.

[inakigarber]

Buenas noches;
Supongamos que tengo un electrón encerrado en una caja (de una sola dimensión, para facilitar las cosas) cuya longitud tiene un valor $\Delta{x}$. Sabemos (aunque yo desde hace poco) que un electrón situado en una caja solo puede existir en determinadas longitudes de onda que tienen unos valores fijos, tales como.
$\lambda{0}=2\Delta{x},\lambda{1}=\Delta{x},\lambda{2}=2\frac{\Delta{x}}{3}, \lambda{3}=\frac{\Delta{x}}{2}, etc,$. En términos generales;

$$\lambda{n}=\frac{2\Delta{x}}{n}$$

Por otra parte, según la tesis de De Broglie, tenemos también;

$$\lambda{n}=\frac{h}{P{n}}$$

de ello obtengo; $\Delta{x}P{n}=\frac{nh}{2}$ como n=1,2,3,...etc, el menor valor correspondería a n=1 por lo que tendría $\Delta{x}P{n}=\frac{h}{2}$. Esto se parece al principio de incertidumbre de Heisenbeg, pero supongo que estará equivocado. ¿Cómo puedo corregirlo?
Un saludo y gracias.

[arivasm]

Re: Consula sobre electrones encerrados en una caja y principio de incertidumbre.

Yo lo enfocaría de esta manera: los estados estacionarios cumplen que $\dst E=\frac{h^2}{8mL^2}n^2$ (he preferido llamarle $L$ al tamaño de la caja). Esto significa que el módulo del momento lineal es $\dst p=n\frac{h}{2L}$. Como la probabilidad de que la partícula posea un momento en un sentido es la misma que la que corresponde al sentido contrario, la incertidumbre para el momento lineal es $\dst \Delta p = n\frac{h}{L}$. La incertidumbre para la posición es $\Delta x = L$, de manera que $\Delta p\cdot\Delta x = n h \geq h$.

En realidad, lo que acabo de hacer son las "cuentas de la vieja". Quiero decir con esto que lo que debería hacer es encontrar las funciones de los estados estacionarios $\dst \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(n\pi \frac{x}{L}\right)$ (situando la caja entre $x=0$ y $x=L$) y calcular las incertidumbres de verdad, es decir, teniendo en cuenta que $(\Delta A)^2=<A^2>-<A>^2$, donde llamo $A$ a la magnitud en cuestión (sea $x$ o $p$).

Respecto de lo que has escrito, si comparas con lo que acabo de poner, te falta tomar en consideración que no es lo mismo el valor medio del módulo del momento que la incertidumbre del mismo. De hecho, si lo multiplicas por 2 tienes tu propia "cuenta de la vieja".

[inakigarber]

Re: Consula sobre electrones encerrados en una caja y principio de incertidumbre.

Hay aspectos de tu respuesta que no he entendido, pero antes de entrar en ellos, yo he hecho mi propia "cuenta de la vieja" y al menos por encima me ha gustado bastante. Todo esto parte de un experimento mental que ya expuse hace tiempo en estos dos hilos (enlace1 y enlace2) y que ahora mismo he recuperado gracias a un programe de radio de divulgación científica en euskera. En ellos proponía un sistema compuesto por una caja cerrada, un electrón cuya energía queremos medir y un aparato de medida. Pretendía llegar al principio de incertidumbre (y de hecho llegue a una aproximación, pero ahora he visto que no era suficiente. He recibido una inestimable ayuda externa a este foro que si bien no me ha dado la solución me ha puesto en el camino correcto (gracias)
Un electrón dentro de una caja de la que no puede salir es un pozo de potencial infinito y en un pozo de potencial infinito el electrón no puede estar en cualquier posición ni con cualquier momento. El electrón solo podrá existir en longitudes de onda

$$\lambda{n}=\frac{2\Delta{l}}{n}, n=1,2,3,4.....$$

y a su vez solo podrá tener unos momentos lineales permitidos,

$$P{n}=\frac{nh}{2\Delta{l}}$$

Como la energía cinética de un electrón (no relativista) es $E{c}=\frac{P^2}{2m}$, sustituyendo P por sus valores permitidos, obtengo las energía permitidas;

$$E{p}=\frac{n^2h^2}{8\Delta{l}^2m}$$

El electrón que atraviesa la bobina cediendo un fotón (como todo buen electrón cuántico que se precie) solo puede tener las energías permitidas, o sea que cuando ceda el fotón pasara de un nivel de energía $n1$ a otro $n2$ siendo la energía cedida;

$$\Delta{E}=\frac{h^2(n_1^2-n_2^2)}{8\Delta{l}^2m}$$

Por otra parte, dicha energía cedida será la que porte el fotón que a su vez será;

$$E{f}=\Delta{E}=\frac{hc}{\lambda{f}}$$

donde $c y \lambda{f}$ son respectivamente la velocidad de la luz y la longitud de onda de dicho fotón. Puesto que $\lambda{f}$ es la menor distancia que podremos medir podemos determinar el tiempo mínimo que corresponde a esa distancia

$$\Delta{t}=\frac{\lambda{f}}{c}$$

por otra parte

$$\lambda{f}=\frac{8c\Delta{l}^2m}{h(n_1^2-n_2^2)}$$

Sustituyendo en 6) me sale;

$$\Delta{t}=\frac{8\Delta{l}^2m}{h(n_1^2-n_2^2)}$$

Multiplicando $\Delta{E}*\Delta{t}=h$ considerando que el valor de $\Delta{t}$ es el mínimo que podemos determinar, entonces me sale

$$\Delta{E}*\Delta{t}\geqslant h$$

De todos modos, me gustaría revisar este post antes de que me respondierais y para ello me quiero a tomar un tiempo.
Saludos.

[arivasm]

Re: Consula sobre electrones encerrados en una caja y principio de incertidumbre.

$\Delta{t}=\frac{2\Delta{t}}{n}, n=1,2,3,4.....$

Imagino que quieres decir $\lambda=\frac{2\Delta{x}}{n}, n=1,2,3,4.....$. Quizá estaría bien que revisases esos detalles, pues hay varios $\Delta t$ que creo que deberían ser $\Delta x$, ¿no es así?

Aprovecho para contar que la relación de incertidumbre para la partícula en la caja, sin hacer cuentas de la vieja, se puede ver aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Uncerta...ticle_in_a_box

Con respecto a la incertidumbre energía-tiempo hay que tener cuidado con ella, pues a diferencia de la conocida posición-momento, en la que ambas magnitudes están asociadas con operadores bien definidos, en este caso sucede que la energía sí tiene un operador asociado (el hamiltoniano) pero no sucede lo mismo con el tiempo. Como consecuencia, el $\Delta t$ debe manejarse con mucho cuidado.

Quizá gente con más formación que la mía pueda aclarar mejor esta importante cuestión que, en definitiva podría resumirse en "el principio de incertidumbre sólo se puede aplicar a observables cuyos operadores satisfagan que $[\hat A,\hat B]=i\hbar$" (un ejemplo son los operadores posición y momento) y entonces excluye el tiempo... salvo que se defina la incertidumbre de éste a través de otras magnitudes (y sus derivadas temporales).

[inakigarber]

Re: Consula sobre electrones encerrados en una caja y principio de incertidumbre.

.......En realidad, lo que acabo de hacer son las "cuentas de la vieja". Quiero decir con esto que lo que debería hacer es encontrar las funciones de los estados estacionarios $\dst \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(n\pi \frac{x}{L}\right)$ (situando la caja entre $x=0$ y $x=L$) y calcular las incertidumbres de verdad, es decir, teniendo en cuenta que $(\Delta A)^2=<A^2>-<A>^2$, donde llamo $A$ a la magnitud en cuestión (sea $x$ o $p$).

Respecto de lo que has escrito, si comparas con lo que acabo de poner, te falta tomar en consideración que no es lo mismo el valor medio del módulo del momento que la incertidumbre del mismo. De hecho, si lo multiplicas por 2 tienes tu propia "cuenta de la vieja".

Gracias por tu respuesta.
No entiendo muy bien lo de los estados estacionarios. Supongo que es una de mis muchas lagunas.
Por lo que respecta a mi sermón anterior había equivocado los términos. Los he corregido en el post anterior. Aun no estoy muy seguro de si el desarrollo que he seguido es correcto o de si es una solemne estupidez. Lo he mirado varias veces y me parece que si pero quizá este engañándome a mi mismo. Por otra parte a mi me sale $\geqslant h$ sin barra, y en los textos que reviso sale h barrada esto me tiene
Saludos.

[arivasm]

Re: Consula sobre electrones encerrados en una caja y principio de incertidumbre.

No entiendo muy bien lo de los estados estacionarios.

Se trata de estados que no evolucionan en el tiempo, o si se prefiere, que poseen una energía bien definida. Son las soluciones de la ecuación de Schrödinger. Lo que he escrito es las funciones de onda.

No estoy muy seguro de si el desarrollo que he seguido es correcto o de si es una solemne estupidez.

Es correcto. Lo único que se puede objetar es que se trata de cuentas aproximadas. "Cuentas de la vieja" que les llamé antes (no lo tomes en sentido despreciativo, no es mi intención). Me refiero a que no se maneja de manera precisa la incertidumbre, como raíz cuadrada de la varianza (diferencia entre el valor cuadrático medio y el cuadrado del valor medio). Es por tanto lógico que el resultado no "clave" el principio de incertidumbre, pero que sea consistente con el orden de magnitud.

Por otra parte a mi me sale $\geqslant h$ sin barra, y en los textos que reviso sale h barrada esto me tiene

La razón es la que te acabo de señalar: está en cómo se manejan las incertidumbres.

De hecho, en rigor y manejando las incertidumbres como dije antes, el principio de incertidumbre posición-momento (y por extensión para todo par de magnitudes que satisfagan la relación de conmutación que puse en el mensaje anterior*) es de la forma $\dst \sigma_x\sigma_{p_x}\geqslant \frac{h}{4\pi}=\frac{\hbar}{2}$.

*A este respecto, quédate simplemente con la idea de que no todo par de magnitudes cumplen una relación de incertidumbres (seguro que eso ya lo sabías/imaginabas) y, al revés, que posición y momento no son el único par que admite una relación de incertidumbres (otra es momento angular - ángulo). Lo que dije antes es que, en rigor, energía y tiempo (tomando esta última magnitud tal cual) tampoco cumplen la relación de conmutación.

Los libros de texto suelen omitir el 2 del denominador, o incluso el $4\pi$, por no liarse con cómo se definen las incertidumbres. En otras palabras: como suelen buscar "cuentas de la vieja", al estilo de las que hemos hecho tú y yo en este hilo, prescinden de tanta finura.

En resumen, no te preocupes porque te salga $h$ y no $\hbar$ (o mejor aún, $\hbar/2$). Ya sé que eso rebaja en un orden de magnitud las *estimaciones* que resultan al aplicar el principio de incertidumbre. Pero son sólo eso, estimaciones. La única manera de hacer cálculos de verdad es empleando el formalismo cuántico: resolver la ecuación de Schrödinger.

[inakigarber]

Re: Consula sobre electrones encerrados en una caja y principio de incertidumbre.

Se trata de estados que no evolucionan en el tiempo, o si se prefiere, que poseen una energía bien definida. Son las soluciones de la ecuación de Schrödinger. Lo que he escrito es las funciones de onda....

Supongo que como el gato de Schrödinger que esta en un estado indeterminado que colapsara en vivo o muerto cuando abramos la caja.

....Es correcto. Lo único que se puede objetar es que se trata de cuentas aproximadas. "Cuentas de la vieja" que les llamé antes (no lo tomes en sentido despreciativo, no es mi intención). Me refiero a que no se maneja de manera precisa la incertidumbre, como raíz cuadrada de la varianza (diferencia entre el valor cuadrático medio y el cuadrado del valor medio). Es por tanto lógico que el resultado no "clave" el principio de incertidumbre, pero que sea consistente con el orden de magnitud.......

Me quedo con el Es correcto. Bien, creo que he entendido algo que muchos no pueden entender, pero que aun me falta algo para entenderlo en todo su detalle. Me tomare un pequeño descanso pero espero espero volver.
Un saludo y gracias por la atención prestada.

[arivasm]

Re: Consula sobre electrones encerrados en una caja y principio de incertidumbre.

Supongo que como el gato de Schrödinger que esta en un estado indeterminado que colapsara en vivo o muerto cuando abramos la caja.

No exactamente. En el ejemplo del gato de Schrödinger los estados estacionarios serían dos: "vivo" y "muerto". El estado del gato inobservado sería una superposición de ambos estados.

Los orbitales atómicos del hidrógeno (1s, 2s, 2p, etc) son los estados estacionarios.

[inakigarber]

Re: Consula sobre electrones encerrados en una caja y principio de incertidumbre.

....Es correcto. Lo único que se puede objetar es que se trata de cuentas aproximadas. "Cuentas de la vieja" que les llamé antes (no lo tomes en sentido despreciativo, no es mi intención). Me refiero a que no se maneja de manera precisa la incertidumbre, como raíz cuadrada de la varianza (diferencia entre el valor cuadrático medio y el cuadrado del valor medio). Es por tanto lógico que el resultado no "clave" el principio de incertidumbre, pero que sea consistente con el orden de magnitud.
.... La única manera de hacer cálculos de verdad es empleando el formalismo cuántico: resolver la ecuación de Schrödinger.

Perdón por revivir un hilo tan viejo, he estado un tanto apartado del foro (no de la incertidumbre) no entiendo lo de la raíz cuadrada de la varianza, supongo que es algo relacionado con la estadística ¿me lo podrías detallar más?
No me tome a mal lo de "Cuentas de la vieja", en absoluto. Creo que lo que hice, con ser aproximado no esta nada mal. Lo que ocurre es que pudiendo llegar a entender el original ¿Por qué conformarme tan solo con un sucedáneo?
En cuanto a la ecuación de Schrödinger la información que he encontrado me ha resultado compleja (en el sentido de difícil de entender). ¿Hay alguna forma sencilla de entenderla?
Algo así como un manual para mentes con poco nivel.
Un saludo y gracias.

[Weip]

Re: Consula sobre electrones encerrados en una caja y principio de incertidumbre.

Perdón por revivir un hilo tan viejo, he estado un tanto apartado del foro (no de la incertidumbre) no entiendo lo de la raíz cuadrada de la varianza, supongo que es algo relacionado con la estadística ¿me lo podrías detallar más?
No me tome a mal lo de "Cuentas de la vieja", en absoluto. Creo que lo que hice, con ser aproximado no esta nada mal. Lo que ocurre es que pudiendo llegar a entender el original ¿Por qué conformarme tan solo con un sucedáneo?
En cuanto a la ecuación de Schrödinger la información que he encontrado me ha resultado compleja (en el sentido de difícil de entender). ¿Hay alguna forma sencilla de entenderla?
Algo así como un manual para mentes con poco nivel.
Un saludo y gracias.

La raíz cuadrada de la varianza es la desviación típica. Se define así:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Donde $\bar{x}$ es la media, $x_i$ cada dato que tengas y la $n$ el número de $x_i$ que tengas. La expresión es liosa así que te pongo un ejemplo. Cogemos $x_1=1$, $x_2=2$ y $x_3=3$. Tenemos tres datos ($n=3$) y la media entre ellos es $2$. Te queda:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

En cuanto a la ecuación de Schrödinger de forma fácil tienes esto y esto en cuentos cuánticos. Es bastante sencillo de seguir. Aún así solo podrás seguir la parte calculística. Para entenderla a fondo necesitas estudiar más álgebra, geometría y análisis.