Secundaria Preguntas conceptuales acerca la dualidad onda-partícula

[Weip]

Hola a todos. Hoy vengo a preguntar por la dualidad onda-partícula. Yo tenía entendido, al menos lo asegura mi libro de bachillerato, que las partícula de materia como los electrones pueden exhibir comportamientos propios de las ondas y por tanto tiene sentido hablar de su longitud de onda, frecuencia, etc y esto se ha comprobado en los experimentos. Hace un tiempo también leí el artículo de blog de pod "Dualidades" y pues encaja con lo que me habían explicado: la teoría corpuscular y ondulatoria son equivalentes para describir la naturaleza de forma que la dualidad es una especie de diccionario de traducción entre las dos. Aún así empecé a dudar de esta versión cuando vi un vídeo divulgativo del canal QuantumFracture en el que se presenta la dualidad onda-partícula como un "artefacto" anticuado para explicar las órbitas de los electrones en el modelo atómico de Bohr. Luego he leído un hilo del foro y me he encontrado los siguientes comentarios. Son del hilo "¿Qué debe enseñarse de cuántica en secundaria?":

Por contra, no veo muy util repetir los mantras de la dualidad onda corpusculo, y veo absolutamente fuera de tiesto hablar de quarks, bosones W o Z, o de higgs. El principio de incertidumbre se suele entender mal, como si la cuántica no fuera capaz de dar respuestas.

¡Totalmente de acuerdo! Pero qué manía con la maldita dualidad onda-corpúsculo y que lleva al menos 34 años en temario!

Más o menos me deja con la misma sensación que en el vídeo de QuantumFracture, que la dualidad es algo "pasado de moda". Para comprobar un poco porqué la dualidad onda-partícula es considerada un tema antiguo he ido a revisar un libro de mecánica cuántica, "Modern Quantum Mechanics" de J. J. Sakurai, y no he encontrado ningún apartado que hable de la dualidad onda-partícula. Quizás es porque he buscado mal, pero revisando otros libros y apuntes o bien no hablan de ella o como mucho la ponen en el capítulo de la historia de la mecánica cuántica.

En definitiva mis preguntas son: ¿La dualidad onda-partícula sigue teniendo vigencia o es una curiosidad histórica? ¿Cómo debo interpretarla? ¿Cómo encaja esta dualidad en mecánica cuántica tal como conocemos la teoría actualmente?

Gracias por adelantado.

[alexpglez]

Re: Preguntas conceptuales acerca la dualidad onda-partícula

Hay una respuesta larga y una corta. La corta es la que te cuenta Quantum Fracture, que no hay que interpretar las ondas como ondas, sino como distribuciones de probabilidad. La larga es la que sigue (donde mezclo bastante mi opinión personal al respecto), y no está muy al nivel de secundaria, así que disculpas.

Desde una perspectiva matemática, la mecánica cuántica se fundamenta en la teoría de la probabilidad. No hablo de la probabilidad en el sentido de los axiomas de Kolmogorov, sino en una "probabilidad cuántica" que se hace llamar probabilidad libre o probabilidad no conmutativa, que se basa, no en el estudio de los sucesos, sino el de las variables aleatorias.

El estudio de las variables aleatorias en la probabilidad de Kolmogorov "mata" la probabilidad en cuántica. Sea $(\Omega, \sigma, P)$ un espacio de probabilidad, una variable aleatoria real es cualquier función $X: \Omega \longrightarrow \mathbb R$. Si a esta definición la interpretamos de manera "estándar" podemos definir la media de una variable aleatoria como el valor promedio que toma. Y así podemos hablar de desviación media, desviación típica, etc.
Consideremos que la física se pueda describir con esta teoría de variables aleatorias, en realidad con la teoría de procesos estocásticos (variables aleatorias que dependen del tiempo). Comprobemos si se podría dar el principio de incertidumbre. Consideremos un ejemplo extremo: $\Omega={A}$, obviamente $\sigma=\{\emptyset, \{A\}\}$ y $P(\emptyset)=0 \;\;\; P(\{A\})=1$. Sean $X$ y $P$ dos variables aleatorias, como solo hay un suceso, las desviaciones típicas $\sigma_X=\sigma_P=0$ y si en concreto cogemos dos que representen la posición y el momento en un cierto instante, no es verdad que $\sigma_X\sigma_P\geq \frac{\hbar}{2}$.

Aunque, la teoría clásica de variables aleatorias "mate" la física cuántica. Podemos hacer la siguiente observación, y es que tenemos un álgebra conmutativa, (obviamente también asociativa y unital) sobre $\mathbb R$ con las operaciones:

$$(XY)(U)=X(U)Y(U) \;\;\; (X+Y)(U)=X(U)+Y(U) \;\;\; (\lambda X)(U)=\lambda X(U)$$

Y se ve que el espacio de funciones complejas sería una $\mathbb C^*$ álgebra conmutativa. Los complejos, aunque no tengan ningún significado físico, son bastante útiles en manipulaciones "algebraicas" (me da risa que los físicos digan la palabra "álgebra" al hacer integrales o jugar con los complejos, de álgebra no tiene nada...). Así pues vamos a considerar estos espacios. Tengamos en cuenta a la siguiente observación, y es que para todo suceso $U \in \sigma$ podemos definir una función promedio:

$$E(X)=<X>_{U}$$

Que es lineal, $E(1)=1$ donde $1(U)=1 \forall U \in \Omega$ y $E(X^*)=E(X)^*$ y $E(X^*X)\geq 0$ (pero no necesariamente estrictamente positiva). Quitemos la conmutatividad del álgebra, a ver que sale.

Sea $A$ una $C^*$ álgebra asociativa y unital. Llamamos estado a las funciones lineales $\rho: A \longrightarrow \mathbb C$ tal que $\rho(1)=1$, $\rho(x^*)=\rho(x)^*$ y $\rho(x^*x)\geq 0$, llamemos $S(A)$ al espacio de todos los estados. Veamos que esto describe "bien" (al menos eso creo) la mecánica cuántica. Hemos interpretado que los elementos del álgebra $X \in A$ son variables aleatorias a $\mathbb C$, ahora podemos intepretar a $\rho(X)$ como el promedio de esa variable aleatoria.
Observamos que cada estado determina una forma bilineal positiva $(x,y)=\rho(x^*y)$, pero no estrictamente positiva, pero se sigue cumpliendo la desigualdad de Cauchy-Scharz $|\rho(x^*y)|^2 \leq \rho(x^* x)\rho(y^*y)$. Y dado que el principio de incertidumbre se deducía de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, no es complicado ver que también se deduce $\sigma_{\rho,x} \sigma_{\rho,y} \geq \frac{1}{2}|\rho([x,y])|$ para todo $\rho \in S(A)$ donde $\sigma_{\rho,x}$ es la desviación típica de $x$ según el estado $\rho$. Y en nuestro caso particular, $[x,p]=i\hbar$ recuperamos el principio de incertidumbre posición - momento.

Vale, ¿pero qué tiene que ver las álgebras $C^*$ con los espacios de Hilbert que se usan en mecánica cuántica? El espacio de operadores de un espacio de Hilbert es de hecho una $C^*$ álgebra pero además ocurre que toda álgebra $\mathbb C^*$ de Banach normada es isomorfo a un subespacio de los operadores acotados de un espacio de Hilbert (Teorema de Gelfand-Neimarck, cuya prueba se basa en los estados definidos anteriormente), no sé si hay generalización para los operadores no acotados, pues los operadores momento, posición o energía son no acotados. Visto la posible equivalencia entre jugar con $C^*$ álgebras y operadores en un espacio de Hilbert, dediquémonos a mirar con lupa estos espacios.
Observemos que cada vector del espacio de Hilbert $\phi \in H \;\;\; (\phi,\phi)=1$, define un estado $\rho(A)=(\phi,A \phi)$. Creo que debería haber un teorema parecido al teorema de representación de Riesz (no sé si existe ni bajo que hipótesis, esto sabrás más que yo), que establezca la equivalencia entre estados en un espacio de Hilbert y estados definidos por vectores de la forma anterior. Otra vez, me reestrinjo al conjunto de estados definidos por vectores del espacio de Hilbert.

Me vas a perdonar que una última vez vaya a apelar a un razonamiento matemático que no sé si existe. Y es el de isomorfismo (o al menos homomorfismo inyectivo) entre espacios de Hilbert. Y es que, tendría que dar lo mismo en trabajar con los operadores de un espacio de Hilbert cualquiera generados por $<1,x,p; \; [x,p]=i\hbar>$ que trabajar con $H=L^2[-\infty,+\infty]$, $x \rightarrow x$, $p \rightarrow -i\hbar\frac{d}{dx}$. Ahora resulta que queremos conocer el espectro del operador energía o hamiltoniana $H=\frac{p^2}{2m}+V(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x)$ con $V(x)$ una cierta función, si llamamos a $E$ a un valor del espectro y jugamos al "vector propio valor propio", nos queda:

$$E \Psi(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Psi''(x)+V(x)\Psi(x)$$

Y no es de sorprender que sea la ecuación de Schrödinger, pues toda esta teoría buscaba dar un entendimiento matemático de la ecuación. Además notemos que si $p(t)$ es un polinomio:

$$(\Psi,p(x) \Psi)=\int_{-\infty}^{\infty} p(x) ||\Psi(x)||^2 dx$$

Luego podemos interpretar a la propia $||\Psi(x)||^2$ como una distribución de probabilidad. Una última observación es que si un operador $G$, tiene un autovalor $\lambda$ cuyo vector propio es $u \in H$, entonces el estado $\rho(A)=(u,Au)$ nos da justo que $\rho(G)=(u,Gu)=(u,\lambda u)=\lambda (u,u)=\lambda$, luego espectro, valor propio, vector propio y estado son conceptos íntimamente relacionados.


Con esto podemos responder a la pregunta, ¿qué es la función de onda? Un artificio matemático que nos permite calcular espectros y obtener estados. Que su significado físico esté relacionado con la densidad de probabilidad es debido a como cogemos el espacio de Hilbert, podríamos haber cogido otro y tendría otra interpretación física o probablemente ninguna.
Así pues, intentar dar un significado físico a $\Phi$ nos llevaría a un enfoque muy sesgado de la realidad. Es por eso que si se explica de mala manera, como se suele explicar, da lugar a confusión, a que la materia son a la vez partículas y ondas, pues la solución de la ecuación de Schrödinger da lugar a las ondas, pero resulta que estamos tratando con partículas... ¿acaso la partícula es una onda, o a la onda es una distribución de probabilidad de encontrar a la partícula? Esta discusión no nos lleva a ningún sitio. Yo creo que es a lo que se refiere el video de QuantumFracture.

Respecto a lo que dice Pod sobre la dualidad onda-partícula, no tengo ni idea de a qué se refiere. Como ejemplo de dualidad, sería la mecánica matricial de Heisenberg y la mecánica ondulatoria de Schrödinger, que vienen a ser lo mismo, espacios de Hilbert.


Por último, (por si Carroza me dice que lo que digo es erróneo porque no es el enfoque actual), considera un sistema de n partículas, se puede describir como un producto de n espacios de Hilbert iguales, y es bastante tedioso. Ahora considera infinitas partículas (sin perjuicio de que trates con un número finito), creo que lo llaman espacio de Fock, pues es un producto directo de infinitos espacios de Hilbert, ¿podrías tener en cuenta las posiciones y momento de cada partícula individual? La respuesta no la conozco, pero los físicos se abstraen y dicen "no vamos a tratar partículas individuales, sino de un campo que las incluya a todas". Un campo cuántico sería una función $\phi: \mathbb R^4 \longrightarrow Op(H)$ donde el último conjunto son los operadores de un espacio de Hilbert. Ahora el vectorcillo expresaría la configuración del campo, que parece que se interpreta como el número de partículas del campo y su respectiva energía (aquí puede que esté metiendo la pata...)
No sé si ambos conceptos, campo cuántico e infinitas partículas cuánticas, son equivalentes. La física moderna juega con el primer concepto, y así se verían las partículas: como estados particulares del campo (podríamos añadir el adjetivo bien localizadas...).

Y bueno, ya conoces las integrales de Feynman, que no entiendo muy bien donde entrarían en la anterior teoría de variables aleatorias.

PD: ¿no es apasionante toda la matemática que hay detrás de la probabilidad en cuántica? ¿no quiero ni pensar cuán compleja sería la matemática que combinase probabilidad cuántica y geometría?

Me he extendido demasiado, pero creo que vas a agradecer que haya hecho tantas referencias a las matemáticas.

Saludos

- - - Actualizado - - -

PD2: Es interesante hacer la siguiente reflexión filosófica, ¿qué estamos haciendo mal para que la axiomática de la probabilidad de Kolmogorov no funcione para la mecánica cuántica? La respuesta es que estamos pidiendo que esté determinado un valor exacto para cada variable aleatoria en cada suceso elemental y esto no lo podemos hacer en cuántica. En la probabilidad clásica, puede ser muy grande el producto de las desviaciones típicas de dos variables aleatorias en ciertos espacios, pero en otros teóricamente podemos hacerlo 0. Además, aunque dos variables aleatorias se puedan describir mediante sucesos elementales, nada nos garantiza que sean los mismos y que podamos definir un producto. Luego la teoría de sucesos elementales se cae si intentamos describir más de una variable aleatoria, luego deja de tener interés.
Otra observación la da otro teorema de Gelfand (está en el artículo que te enlacé), y es que si pedimos que la álgebra sea conmutativa, podemos construir el espacio de probabilidad clásico.

[carroza]

Re: Preguntas conceptuales acerca la dualidad onda-partícula

En definitiva mis preguntas son: ¿La dualidad onda-partícula sigue teniendo vigencia o es una curiosidad histórica? ¿Cómo debo interpretarla? ¿Cómo encaja esta dualidad en mecánica cuántica tal como conocemos la teoría actualmente?

Hola. El hecho de que los electrones, y otras partículas elementales, tienen comportamiento ondulatorio, es un hecho experimental contrastado. Que la explicación sea un concepto algo difuso como el de la "dualidad", es, en mi opinión, una concesión a la interpretación histórica de Copenhague que, actualmente, no resulta muy util.

La explicación actual es que tanto electrones como el resto de las partículas, incluidos fotones, pueden describirse como campos cuánticos, que, en tanto que son campos, tienen comportamiento ondulatorio, y en tanto que son cuánticos, transmiten su energía en paquetes que llamamos electrones, positrones o fotones.

Las matemáticas necesarias para entender campos cuánticos no son muy sofisticadas: ecuaciones diferenciales, números complejos, y algo de álgebra para entender relaciones de conmutación.

Un saludo

[Weip]

Re: Preguntas conceptuales acerca la dualidad onda-partícula

Gracias a los dos por vuestra respuesta. Empiezo contestando a carroza:

Hola. El hecho de que los electrones, y otras partículas elementales, tienen comportamiento ondulatorio, es un hecho experimental contrastado. Que la explicación sea un concepto algo difuso como el de la "dualidad", es, en mi opinión, una concesión a la interpretación histórica de Copenhague que, actualmente, no resulta muy util.

De acuerdo. Entonces entiendo que la fórmula que se suele presentar bajo el nombre de dualidad onda-partícula, $\lambda=h/p$, es correcta, pero las explicaciones tipo “los electrones son ondas y partículas a la vez” y “los electrones no son ni una cosa ni la otra” y el término “dualidad” son más curisosidades históricas que otra cosa.

La explicación actual es que tanto electrones como el resto de las partículas, incluidos fotones, pueden describirse como campos cuánticos, que, en tanto que son campos, tienen comportamiento ondulatorio, y en tanto que son cuánticos, transmiten su energía en paquetes que llamamos electrones, positrones o fotones.

Entiendo que las partículas elementales son vibraciones localizadas de los campos cuánticos pero no sabía que esto explica directamente la dualidad onda-partícula. Entonces fenómenos como la difracción de electrones o el experimento de la doble rendija, que en mecánica cuántica no relativista se explican mediante la función de onda, la teoría cuántica de campos ¿los explicaría mediante ondas localizadas cuyo “medio” es el campo asociado a la partícula? En ese caso ¿dónde queda la interpretación probabilística?

Las matemáticas necesarias para entender campos cuánticos no son muy sofisticadas: ecuaciones diferenciales, números complejos, y algo de álgebra para entender relaciones de conmutación.

En verano estuve viendo algunos temas de teoría cuántica de campos y la verdad es que me parece una lista optimista. Lo de números complejos lo cambiaría por “análisis complejo en todo su esplendor” y “algo de álgebra” por “teoría de grupos pura y dura” jaja. De hecho la parte de álgebra no me la he mirado demasiado porque me cuesta.

Ahora paso a comentar la respuesta de alexpglez.

Hay una respuesta larga y una corta. La corta es la que te cuenta Quantum Fracture, que no hay que interpretar las ondas como ondas, sino como distribuciones de probabilidad.

Eso es otra cosa que no acabo de entender del vídeo de QuantumFracture: parece como si la explicación de la dualidad onda-partícula fuera la interpretación probabilística y la función de onda. A mí me choca porque cuando veo la parte técnica del asunto me parece que se está confundiendo la función de onda con el comportamiento ondulatorio de las partículas. Es como si se confundiera un dado con el $1/6$ de la probabilidad de que salga un $2$ (por decir algún número).

y no está muy al nivel de secundaria, así que disculpas.

No te preocupes, intentaré cambiarlo a ver si se puede. La verdad es que a la hora de escribir el primer mensaje del hilo no tenía claro si poner secundaria, divulgación, primer ciclo o segundo ciclo porque no sabía si las respuestas tendrían poco o mucho contenido técnico. Al final como empecé hablando del vídeo de QuantumFracture y de mi libro de bachillerato pues puse secundaria.

El resto de la respuesta me la reservo para dentro de unos días porque ahora no tengo tanto tiempo como para profundizar en los temas que propones. Eso sí he leído sobre las álgebras $C^*$ y ya te aviso que de eso yo ni idea, había oído el nombre por ahí pero nada más, así que tardaré en entender completamente tu aportación. Aún así la agradezco mucho.

[carroza]

Re: Preguntas conceptuales acerca la dualidad onda-partícula

De acuerdo. Entonces entiendo que la fórmula que se suele presentar bajo el nombre de dualidad onda-partícula, $\lambda=h/p$, es correcta, pero las explicaciones tipo “los electrones son ondas y partículas a la vez” y “los electrones no son ni una cosa ni la otra” y el término “dualidad” son más curisosidades históricas que otra cosa.

Esa es mi humilde opinión. Por poner las ideas en contexto, una vez que Newton es capaz de explicar el movimiento terrestre y el movimiento celeste, no se habla de "dualidad mecánica terrestre - mecánica celeste". Se habla de mecánica clásica. Una vez que Maxwell es capaz de explicar la relación entre la electricidad y el magnetismo, no se habla de "dualidad electricidad - magnetismo". Se habla de lelectromagnetismo. Por lo mismo, una vez que se entiende la naturaleza de los fenómenos corpusculares y ondulatorios de la materia, no tiene mucho sentido hablar de "dualidad onda corpusculo". Hablamos de mecánica cuántica, o de teoría cuántica de campos.

Hablar de dualidad sugiere que hay dos conceptos fundamentales, relacionados de alguna forma. En los tres ejemplos anteriores, no hay dos conceptos fundamentales relacionados, sino un único principio, que puede tener dos, o mas, manifestaciones.

Saludos

- - - Actualizado - - -

Entiendo que las partículas elementales son vibraciones localizadas de los campos cuánticos pero no sabía que esto explica directamente la dualidad onda-partícula. Entonces fenómenos como la difracción de electrones o el experimento de la doble rendija, que en mecánica cuántica no relativista se explican mediante la función de onda, la teoría cuántica de campos ¿los explicaría mediante ondas localizadas cuyo “medio” es el campo asociado a la partícula? En ese caso ¿dónde queda la interpretación probabilística?

No. Un campo (clásico o cuántico) no es un medio. Un campo (clasico o cuántico) es una propiedad del espacio (puede ser incluso del espacio vacío) que varía en el espacio, y en el tiempo. Un campo (clásico o cuántico) tiene propiedades, como energía, momento y momento angular, que habitualmente relacionamos con partículas. El ejemplo clásico (o cuántico) de campo es el campo electromagnético. Ahi tenemos los valores del campo eléctrico y el campo magnético, a partir de los cuales podemos obtener las densidades de energía y momento, y sabemos, desde el experimento de Michelson y Morley que no existe un medio (el éter) para la propagación de ese campo.

Un campo cuántico intercambia energía y momento en paquetes, que llamamos cuantos.

Un ejemplo muy idealizado, para fijar ideas. Imaginemos un campo electromagnético muy débil, cuya energía sea igual a la de un único fotón, $E_\gamma$. Por simplicidad de notación, voy a quedarme sólo con el campo eléctrico $\vec E(\vec r, t)$. La energía de este campo es

$E = \epsilon_0 \int d \vec r |\vec E(\vec r, t)|^2 = E_\gamma$

Este campo obedecerá las ecuaciones de Maxwell, sufrirá fenómenos de interferencia, etc. No obstante, cuando este campo intercambie energía, como es un campo cuántico, lo hará siempre intercambiando $E_\gamma$. ¿En qué zona del espacio será más probable que se produzca ese intercambio de energía? pues precisamente donde la densidad de energía clásica, $|\vec E(\vec r, t)|^2$, sea más grande.

Ahora puedo describir este mismo fenómeno de otra forma. Voy a suponer que puedo darle entidad física previa al paquete de energía que eventualmente intercambiaré. ¿Cuál sería la densidad de probabilidad de encontrar ese paquete? pues, atendiendo a lo anterior,

$P(\vec r,t) =|\vec E(\vec r, t)|^2 {\epsilon_0 \over E_\gamma}$

Y a partir de ahi, puedo definir una función de onda

$\vec \phi (\vec r,t) =\vec E(\vec r, t) \sqrt{\epsilon_0 \over E_\gamma}$

Fijadse que la funcion de onda cumple las mismas ecuaciones que el campo. Es lo mismo que el campo, salvo alguna constante. Y tiene la interpretación probabilistica, que le viene del carácter cuántico del campo.

$P(\vec r,t) =|\vec \phi(\vec r, t)|^2$

Un saludo

[Weip]

Re: Preguntas conceptuales acerca la dualidad onda-partícula

Hola de nuevo.

Esa es mi humilde opinión. Por poner las ideas en contexto, una vez que Newton es capaz de explicar el movimiento terrestre y el movimiento celeste, no se habla de "dualidad mecánica terrestre - mecánica celeste". Se habla de mecánica clásica. Una vez que Maxwell es capaz de explicar la relación entre la electricidad y el magnetismo, no se habla de "dualidad electricidad - magnetismo". Se habla de lelectromagnetismo. Por lo mismo, una vez que se entiende la naturaleza de los fenómenos corpusculares y ondulatorios de la materia, no tiene mucho sentido hablar de "dualidad onda corpusculo". Hablamos de mecánica cuántica, o de teoría cuántica de campos.

Hablar de dualidad sugiere que hay dos conceptos fundamentales, relacionados de alguna forma. En los tres ejemplos anteriores, no hay dos conceptos fundamentales relacionados, sino un único principio, que puede tener dos, o mas, manifestaciones.

Los ejemplos son clarificadores, desde este punto de vista lo entiendo perfectamente.

No. Un campo (clásico o cuántico) no es un medio.

Releyéndome me sorprendo de mí mismo para mal. No sé porqué usé el término "medio" por lo que dices. Tiene un mal regusto de éter.

Un ejemplo muy idealizado, para fijar ideas. Imaginemos un campo electromagnético muy débil, cuya energía sea igual a la de un único fotón, $E_\gamma$. Por simplicidad de notación, voy a quedarme sólo con el campo eléctrico $\vec E(\vec r, t)$. La energía de este campo es

$E = \epsilon_0 \int d \vec r |\vec E(\vec r, t)|^2 = E_\gamma$

Este campo obedecerá las ecuaciones de Maxwell, sufrirá fenómenos de interferencia, etc. No obstante, cuando este campo intercambie energía, como es un campo cuántico, lo hará siempre intercambiando $E_\gamma$. ¿En qué zona del espacio será más probable que se produzca ese intercambio de energía? pues precisamente donde la densidad de energía clásica, $|\vec E(\vec r, t)|^2$, sea más grande.

Ahora puedo describir este mismo fenómeno de otra forma. Voy a suponer que puedo darle entidad física previa al paquete de energía que eventualmente intercambiaré. ¿Cuál sería la densidad de probabilidad de encontrar ese paquete? pues, atendiendo a lo anterior,

$P(\vec r,t) =|\vec E(\vec r, t)|^2 {\epsilon_0 \over E_\gamma}$

Y a partir de ahi, puedo definir una función de onda

$\vec \phi (\vec r,t) =\vec E(\vec r, t) \sqrt{\epsilon_0 \over E_\gamma}$

Fijadse que la funcion de onda cumple las mismas ecuaciones que el campo. Es lo mismo que el campo, salvo alguna constante. Y tiene la interpretación probabilistica, que le viene del carácter cuántico del campo.

$P(\vec r,t) =|\vec \phi(\vec r, t)|^2$

Mmm... Entiendo que $P (\vec r,t)$ es una densidad de probabilidad y que a partir de ella se puede definir la función de onda que has escrito recuperando así el tema de las probabilidades pero me surge una duda: ¿Porqué $P (\vec r,t)$ ha de ser propocional a $|\vec E(\vec r, t)|^2$? Sé que el factor $\epsilon_0 / E_\gamma$ está ahí para que la integral de $P$ de $1$ pero no acabo de ver el porqué de poner $|\vec E(\vec r, t)|^2$. O dicho de otra forma: no veo porqué la función de onda debe ser proporcional al campo. Entiendo que la función de onda cumple las mismas ecuaciones que el campo pero lo dicho, lo otro no lo veo.
También otra duda: supongo que es porque el ejemplo como dices está muy idealizado pero estamos tratando el campo eléctrico como un campo clásico, ¿no habría que trabajar con $A_\mu$ visto como un operador para que el ejemplo sea realista? Es que hablar de fotones individuales en un campo eléctrico clásico me suena raro porque es como si estuviéramos aplicando las propiedades de un campo cuántico a uno clásico. No sé si me explico.

[carroza]

Re: Preguntas conceptuales acerca la dualidad onda-partícula

Mmm... Entiendo que $P (\vec r,t)$ es una densidad de probabilidad y que a partir de ella se puede definir la función de onda que has escrito recuperando así el tema de las probabilidades pero me surge una duda: ¿Porqué $P (\vec r,t)$ ha de ser propocional a $|\vec E(\vec r, t)|^2$? Sé que el factor $\epsilon_0 / E_\gamma$ está ahí para que la integral de $P$ de $1$ pero no acabo de ver el porqué de poner $|\vec E(\vec r, t)|^2$. O dicho de otra forma: no veo porqué la función de onda debe ser proporcional al campo. Entiendo que la función de onda cumple las mismas ecuaciones que el campo pero lo dicho, lo otro no lo veo.

Hola. La razon es muy simple. La densidad de energía de un campo clásico es proporcional a la amplitud del campo al cuadrado. En el caso idealizado que describí, la densidad de energía es $\rho_E(\vec r,t) =\epsilon_0|\vec E(\vec r, t)|^2$. Por eso su integral para todo el espacio me da la energia total del campo. Si ahora sustituimos este campo clásico, que puede distribuir su energía en cantidades arbitrariamente pequeñas según $\rho_E(\vec r,t)$, por un campo cuántico que cede toda su energía $E_\gamma$, con una distribucion de probabilidad $P(\vec r,t)$, la unica posibilidad, para que tengamos los mismos valores esperados del campo en ambos casos es que $P(\vec r,t) =\rho_E(\vec r,t)/E_\gamma$

También otra duda: supongo que es porque el ejemplo como dices está muy idealizado pero estamos tratando el campo eléctrico como un campo clásico, ¿no habría que trabajar con $A_\mu$ visto como un operador para que el ejemplo sea realista? Es que hablar de fotones individuales en un campo eléctrico clásico me suena raro porque es como si estuviéramos aplicando las propiedades de un campo cuántico a uno clásico. No sé si me explico.

Habitualmente, para cuantizar, se trabaja con el potencial vector $A_\mu$ . De hecho, la densidad de energia del campo electromagnético depende de la variación espacial de $A_\mu$ , que es el campo magnético $\vec B$, y de la variación temporal de $A_\mu$ , que es el campo eléctrico $\vec E$. $A_\mu,\vec B y \vec E$ son todas, inicialmente, campos clásicos. Cuando se cuantiza, $A_\mu,\vec B y \vec E$ se convierten en operadores cuánticos, que crean o aniquilan fotones. Esto es formalmente muy similar a $x, p$, que son inicialmente cantidades clásicas, y que al cuantizarse en un oscilador armónico se convierten en operadores que crean o aniquilan cuantos de oscilador.

Saludos

[Weip]

Re: Preguntas conceptuales acerca la dualidad onda-partícula

De acuerdo, lo tengo entendido. ¡Gracias de nuevo carroza!

[alexpglez]

Re: Preguntas conceptuales acerca la dualidad onda-partícula

Eso es otra cosa que no acabo de entender del vídeo de QuantumFracture: parece como si la explicación de la dualidad onda-partícula fuera la interpretación probabilística y la función de onda. A mí me choca porque cuando veo la parte técnica del asunto me parece que se está confundiendo la función de onda con el comportamiento ondulatorio de las partículas. Es como si se confundiera un dado con el $1/6$ de la probabilidad de que salga un $2$ (por decir algún número).


No te preocupes, intentaré cambiarlo a ver si se puede. La verdad es que a la hora de escribir el primer mensaje del hilo no tenía claro si poner secundaria, divulgación, primer ciclo o segundo ciclo porque no sabía si las respuestas tendrían poco o mucho contenido técnico. Al final como empecé hablando del vídeo de QuantumFracture y de mi libro de bachillerato pues puse secundaria.

El resto de la respuesta me la reservo para dentro de unos días porque ahora no tengo tanto tiempo como para profundizar en los temas que propones. Eso sí he leído sobre las álgebras $C^*$ y ya te aviso que de eso yo ni idea, había oído el nombre por ahí pero nada más, así que tardaré en entender completamente tu aportación. Aún así la agradezco mucho.

Te comprendo bien. Lo que intento argumentar (mediante teoremas matemáticos que no sé si existen ) es que la teoría cuántica se describe con unas leyes de la probabilidad diferentes, que se basa en trabajar con $\mathbb C^*$ álgebras no conmutativas, y que además es equivalente a trabajar con operadores en un espacio de Hilbert. De tal modo que el concepto de función de onda, aparece cuando se trabaja con un espacio de Hilbert y con una base del mismo concretos. Uno puede trabajar con otra base del mismo espacio de Hilbert, y los vectores de la base ya no siguen una ecuación de onda, como ya discutimos una vez en un hilo del foro (voy a ver si lo encuentro).

Como bien comentas, parece que se confunde el concepto de dado con el de la función de probabilidad que le asigna a cada número del dado la probabilidad de que al lanzarlo al azar aparezca tal número. Puede que aquí esté la cuestión de por qué se usa el vocablo dualidad: el concepto de partícula se describe con un objeto matemático que se mueve en el espacio-tiempo como una onda. Más que una dualidad matemática parece una dualidad epistemológica.

Tómate tu tiempo para leerlo. No soy muy bueno en resumir. Básicamente la teoría de variables aleatorias básicas se basa en que podemos asignar a cada variable aleatoria en cada suceso elemental, un valor que esta toma. Contrariamente a lo que dice la mecánica cuántica, que no podemos medir simultáneamente la posición y el momento, esto es, que no hay suceso elemental tal que la posición y el momento tengan un valor en concreto. Si nos damos cuenta que la teoría de variables aleatorias clásicas nos da un álgebra conmutativa, la idea es ver que si quitamos la conmutatividad, la teoría parece compatible, en principio, con la mecánica cuántica. Pensé que te agradaría una respuesta más matemática.

Volviendo al ejemplo de la doble rendija, y fijándome sólo en la teoría de variables aleatorias cuánticas. Creo que el hecho que el experimento parezca "tan raro" es por el hecho de que no podemos saber simultáneamente por qué rendija pasa la partícula y en qué punto de la pantalla toca la partícula. A la vez que en mecánica cuántica hay una incertidumbre posición-momento por la ecuación de Born $[x,p]=i\hbar$, en este experimento hay incertidumbre por una relación $[x,R]=i a P$, x y R son matrices 2x2, x mide la posición media de la partícula pasando por la primera y la segunda rendija, R mide por qué rendija ha pasado la partícula, $a \in \mathbb R \;\; a\not=0$ y $P$ es una matriz con 0's en la diagonal y 1's fuera de la diagonal. Lo discuto en este hilo.

Saludos

[skan]

Re: Preguntas conceptuales acerca la dualidad onda-partícula

Y cuando habláis de un fotón... ¿Cómo delimitáis "un" fotón?

[carroza]

Re: Preguntas conceptuales acerca la dualidad onda-partícula

Y cuando habláis de un fotón... ¿Cómo delimitáis "un" fotón?

Hola. Esta es una pregunta interesante. Dejame que la responda con otra pregunta. Cuando hablamos de una particula, en un potencial de oscilador armónico, en el segundo estado excitado, en el que tiene dos cuantos de excitación...¿Cómo se delimita cada cuanto de excitación?

La respuesta, en este caso, es que los dos cuantos de excitación no tienen por qué estar delimitados. Ambos describen el estado de excitación de la partícula en el oscilador. Lo que ocurre es que esta partícula, cuando interacciona con algo en el exterior, siempre absorbe o cede energía en unidades del cuanto. Por ello, hablamos del cuanto, como un "ente", como un "paquete de energía", que se intercambia en las interacciones.

En el mismo sentido, los fotones son los cuantos de excitación del campo electromagnético. Un campo electromagnético, según su intensidad, puede venir descrito por cero, uno, dos, ..., 75, ... fotones (de hecho, siendo mecánica cuántica, el campo será en general una combinación lineal de estados con 0, 1, 2, ...75,... fotones). Estos fotones no tienen por qué estar delimitados. Cuando el campo electromagnético interacciona con algo exterior, siempre absorbe o cede energía en unidades de un fotón. Por ello, hablamos del fotón, como un "ente", como un "paquete de energía", que se intercambia en las interacciones.

Saludos

[Amaper]

Re: Preguntas conceptuales acerca la dualidad onda-partícula

Hola. Si no he entendido mal, el fenómeno de la difracción se presenta exclusivamente cuando la luz se comporta " como una onda". No se presenta ese fenómeno de difracción cuando la luz se comporta "como partículas."

¿Esto es así?

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Suponiendo que la respuesta sea afirmativa, me gustaría saber en qué circunstancias un rayo de luz produce fenómenos de difracción y en qué circunstancias no los produce.

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¿Produce o no difracción un rayo de sol?

[carroza]

Re: Preguntas conceptuales acerca la dualidad onda-partícula

Hola.

El fenomeno de difracción ocurre en cualquier onda, cuando interacciona con un objeto cuyas dimensiones sean similares a su longitud de onda.

La luz del sol produce difraccion cuando interacciona con algo cuyas dimensiones caracteristicas sea del orden de unos cientos de nanometros (décimas de micras).

Saludos

[Amaper]

Re: Preguntas conceptuales acerca la dualidad onda-partícula

Hola Carroza. Cuando la luz se emite por atomos sobreexcitados lo hace en forma de fotones.
Si se la hace pasar por rendijas de tamańo similar a su longitud de onda ¿se produce o no difracción?

[carroza]

Re: Preguntas conceptuales acerca la dualidad onda-partícula

Hola, Amaper.

La luz consiste en un campo electromagnético, que varía en el espacio y en el tiempo de la forma que asociamos con una onda. Esa onda (mejor, ese campo) se puede producir por átomos sobreexcitados, cargas aceleradas, aniquilación de partículas, etc. Sea como sea la forma que la produzcas, se propaga como una onda, y como tal sufre difracción.

Ahora, la luz, como cualquier campo cuántico, intercambia energía en paquetes, que, en este caso, llamamos fotones. Por tanto, cuando detectamos luz (en una pantalla, con una cámara, o en nuestra retina), siempre vamos a captar los paquetes de energía que llamamos fotones.

Saludos.