Divulgación ¿Cabe un electrón en un espacio infinitamente reducido? ¿tienen tamaño los agujeros negros?

[inakigarber]

A modo de pasatiempo en un viaje un tanto aburrido, me vino a la cabeza la pregunta arriba indicada.
Si partimos desde un punto de vista clásico, la respuesta es no, porque el electrón debe tener un tamaño determinado, pero creo que la mecánica cuántica (al menos lo que se deduce de las relaciones de De Broglie) nos depara una pequeña sorpresa.
estableciendo
$P_{n}=\dfrac{h}{\lambda_{n}}$, si soy un electrón encerrado en un pozo de potencial infinito de longitud L, solo puedo tener momentos (y, por tanto, velocidades) definidos en función de L que serán $P_{n}=\dfrac{hn}{2L}\ \\ \\ \\ \ n=(1,2,3,4,5,,etc)$. Atendiendo al estado básico $n=1$, tendré;
$P_{n}=\dfrac{h}{2L}$. Luego, solo podría estar quieto en una caja de longitud infinita. En una caja finita cuanto más pequeña es la caja más rápido deberé moverme (mayor energía se necesitará para confinarme en un recinto pequeño). En una caja muy pequeña tendría que ser un electrón relativista,y la expresión a considerar sería esta si no me equivoco.
$P_{n}=\dfrac{mv}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}=\dfrac{h}{2L}$, considerando el menor nivel de energía posible (n=1) y L la longitud de la caja en el sistema de referencia del observador. Si no me equivoco, para L=0 se impone v=c, lo cual implica que no se podría meter un electrón en una caja de dimensión nula, ya que esto implicaría una energía cinética infinita. Esto me induce a pensar que un agujero negro tiene que tener tamaño.

Supongo que me habré equivocado como siempre, pero quisiera saber vuestras respuestas y razonamientos.

Saludos y gracias.

[Visitante]

Re: ¿Cabe un electrón en un espacio infinitamente reducido? ¿tienen tamaño los agujeros negros?

Hola.
Por lo que yo sé, cualquier particula no puede tener una longitud de onda
Compton menor que la longitud de Planck porque a pesar que está permitido
por la Mecanica Cuantica, está prohibido por la Relatividad General.
Asi que yo creo que no podemos confinar un electron en un volumen
infinitamente pequeño...

Adjunto grafico:



(Esto está en 'Investigacion y Ciencia', 'Agujeros negros cuanticos', Carr y Giddings,
Julio, 2005).
Un saludo.

[Jaime Rudas]

Re: ¿Cabe un electrón en un espacio infinitamente reducido? ¿tienen tamaño los agujeros negros?

Por lo que yo sé, cualquier particula no puede tener una longitud de onda
Compton menor que la longitud de Planck porque a pesar que está permitido
por la Mecanica Cuantica, está prohibido por la Relatividad General.

Varias veces he oído que no puede haber algo más pequeño que la longitud de Planck, pero no he podido encontrar una explicación que lo justifique. Los unidades de Planck son aquellas para las cuales los constantes fundamentales resultan siendo iguales a 1, por lo que no veo por qué se deban constituir en límites infranqueables.

[Weip]

Re: ¿Cabe un electrón en un espacio infinitamente reducido? ¿tienen tamaño los agujeros negros?

Varias veces he oído que no puede haber algo más pequeño que la longitud de Planck, pero no he podido encontrar una explicación que lo justifique. Los unidades de Planck son aquellas para las cuales los constantes fundamentales resultan siendo iguales a 1, por lo que no veo por qué se deban constituir en límites infranqueables.

Esto que voy a decir no responde bien bien a tu pregunta pero varias veces he oído un "argumento" alternativo. La historia es tratar las partículas de forma semiclásica y decir que al confinar una partícula en una región cada vez más pequeña requiere mucha energía hasta el punto de que, llegada la longitud de Planck, la partícula se convierte en un agujero negro. Más allá de esta escala no es posible aplicar RG para sacar conclusiones, o dicho de otra forma, el espaciotiempo clásico pierde el sentido debido a fluctuaciones cuánticas de la métrica. Esta explicación da una deducción de la longitud de Planck pues, cuando esta es igual a la mitad del radio de Schwarzschild (con una masa gravitacional $M$) se tiene:

$l_p=\dst\frac{GM}{c^2}=G\dst\frac{E}{c^4}=\dst\frac{Gp}{c^3}=\dst\frac{G\hbar}{l_pc^3} \to l_p=\dst\sqrt{\dst\frac{\hbar G}{c^3}}$

Como he dicho al principio esta explicación no es demasiado convincente porque no dice el motivo por el cual no se puede ir más allá de la escala de Planck sino más bien que ir más allá es un sinsentido con lo que se sabe de RG. Aún así da un motivo más para sospechar que la física a la escala de Planck debe ser muy diferente respecto a lo que conocemos de física clásica. Por si te interesa, esta explicación la leí por primera vez en "Covariant Loop Quantum Gravity" de Carlo Rovelli y Francesca Vidotto, en la introducción. También se puede encontrar en este link de la wikipedia aunque con menos explicación. Esta última es la que se acerca más a lo que comenta FVPI.

[pod]

Re: ¿Cabe un electrón en un espacio infinitamente reducido? ¿tienen tamaño los agujeros negros?

Varias veces he oído que no puede haber algo más pequeño que la longitud de Planck, pero no he podido encontrar una explicación que lo justifique. Los unidades de Planck son aquellas para las cuales los constantes fundamentales resultan siendo iguales a 1, por lo que no veo por qué se deban constituir en límites infranqueables.

Yo creo que lo que has oído (como yo) muchas veces sobre ese límite es, sencillamente, un pequeño abuso de lenguaje que se ha malinterpretado divulgativamente.

En realidad, lo que ocurre es que a la escala de Plank esperamos nueva física; que los efectos de la gravedad cuántica sean relevantes y por lo tanto las leyes que conocemos hoy en día no sean válidas y por lo tanto, de momento, no podemos saber que pasa usando la Física que conocemos (tenemos teorías especulativas, pero ninguna consolidada). Esa escala no tiene por qué ser infranqueable, simplemente las ecuaciones que tenemos no nos pueden llevar hasta allá. Una forma de verlo es que el radio de Schwarzschild de una masa de Planck es del orden de una longitud de Planck,

En este sentido, la conclusión de inaki sobre que un agujero negro no puede tener toda su masa concentrada en un punto coincide con lo que se piensa en el entorno científico: La singularidad que nos "sale" ahora es una limitación de las ecuaciones que tenemos, y cuando tengamos una teoría cuántica de la gravedad seremos capaces de resolver la singularidad en un objeto (relativamente) suave. De hecho, como digo, hay teorías especulativas que funcionan bien en ese sentido, contando microestados que dan la entropia esperada y tal. Pero, claro, hasta que podamos intentar falsar (o respaldar) esas teorías experimentalmente no podemos dejar de recalcar que son teorías especulativas.

[inakigarber]

Re: ¿Cabe un electrón en un espacio infinitamente reducido? ¿tienen tamaño los agujeros negros?

Resumiendo, a ver si lo he entendido, si la mecánica cuántica y la relatividad especial son teorías completas, un agujero negro no podría tener dimensión nula, en caso contrarío, la mecánica cuántica y la relatividad especial no darían resultados válidos en dicha situación.

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Esto que voy a decir no responde bien bien a tu pregunta pero varias veces he oído un "argumento" alternativo. La historia es tratar las partículas de forma semiclásica y decir que al confinar una partícula en una región cada vez más pequeña requiere mucha energía hasta el punto de que, llegada la longitud de Planck, la partícula se convierte en un agujero negro. Más allá de esta escala no es posible aplicar RG para sacar conclusiones, o dicho de otra forma, el espaciotiempo clásico pierde el sentido debido a fluctuaciones cuánticas de la métrica. Esta explicación da una deducción de la longitud de Planck pues, cuando esta es igual a la mitad del radio de Schwarzschild (con una masa gravitacional $M$) se tiene:

$l_p=\dst\frac{GM}{c^2}=G\dst\frac{E}{c^4}=\dst\frac{Gp}{c^3}=\dst\frac{G\hbar}{l_pc^3} \to l_p=\dst\sqrt{\dst\frac{\hbar G}{c^3}}$

Como he dicho al principio esta explicación no es demasiado convincente porque no dice el motivo por el cual no se puede ir más allá de la escala de Planck sino más bien que ir más allá es un sinsentido con lo que se sabe de RG. Aún así da un motivo más para sospechar que la física a la escala de Planck debe ser muy diferente respecto a lo que conocemos de física clásica. Por si te interesa, esta explicación la leí por primera vez en "Covariant Loop Quantum Gravity" de Carlo Rovelli y Francesca Vidotto, en la introducción. También se puede encontrar en este link de la wikipedia aunque con menos explicación. Esta última es la que se acerca más a lo que comenta FVPI.

Perdón, me he perdido en este comentario (creo que estoy un tanto espeso), no entiendo bien el papel que cumple el radio de Swartzschild en este hilo, salvo por el hecho de que este radio marca el límite de que un cuerpo pueda o no escapar de un campo gravitatorio. ¿Me lo podríais aclarar mejor?

[Richard R Richard]

Re: ¿Cabe un electrón en un espacio infinitamente reducido? ¿tienen tamaño los agujeros negros?

¿Me lo podríais aclarar mejor?

Es que a la vez el radio de Schwarzchild te da el limite de exterior de un agujero negro, con el puedes calcular la masa contenida, ahora bien sabemos cual es la masa de un electrón y entonces puedes calcular su radio de schwarzchild asociado... Y si impones que el electrón lo quieres ubicar en un espacio infinitamente pequeño, has de sobrepasar en algún momento su radio de Schwarzchild y en vez de tener un electrón tienes un agujero negro con la masa total igual a la del electrón.

[inakigarber]

Re: ¿Cabe un electrón en un espacio infinitamente reducido? ¿tienen tamaño los agujeros negros?

Es que a la vez el radio de Schwarzchild te da el limite de exterior de un agujero negro, con el puedes calcular la masa contenida, ahora bien sabemos cual es la masa de un electrón y entonces puedes calcular su radio de schwarzchild asociado... Y si impones que el electrón lo quieres ubicar en un espacio infinitamente pequeño, has de sobrepasar en algún momento su radio de Schwarzchild y en vez de tener un electrón tienes un agujero negro con la masa total igual a la del electrón.

Buenas tardes;
Creo que esto lo entiendo. Veamos.
El radio de Schwarzchild nos da un límite por debajo del cual para una masa dada el campo gravitatorio es tan intenso que la velocidad de escape igualaría a la de la luz y nada podría escapar de el. Creo que en el caso del electrón (masa en reposo de $m_e=9.109*10^{-31} Kg$) sale un radio de unos $10^{-57}$ metros (escribo de memoria).
Lo que quise aclarar al abrir el hilo es la idea que me surgió de que a más pequeño el espacio en el que quiero ubicar un electrón mayor energía necesito para ubicar dicho electrón en dicho espacio (porque la energía de dicho electrón en su estado fundamental $P_{n}=\dfrac{hn}{2L}\ \\ \\ \\ \ n=(1)$ será mayor por disminuir el valor de L), por lo que nunca podremos ubicar un electrón en un espacio de longitud L=0.

Concluyo por tanto, que los agujeros negros tienen que tener un volumen igual o menor que el dado por el radio de Schwarzchild, pero que nunca llegará a cero. Salvo que la mecánica cuántica y la relatividad especial (o ambas) sean incompletas.

Desde luego, yo no soy quien para afirmar que lo sean.