Divulgación Diferencial de un ángulo, ¿Es una cantidad vectorial?

[natanael]

En el resnick de 1980 definen el trabajo que realiza el campo electrico al girar un dipolo de la siguiente manera:

$\dst W=\int_{\theta_0}^\theta\tau\dd \theta$

Son fáciles de entender las cantidades, $\dst \tau$, $\dst \dd \theta$ si se consideran escalarmente y si por ejemplo consideramos la misma imagen del libro:



Pero en las versiones nuevas del mismo libro definen el mismo trabajo pero con cantidades vectoriales, así:

$\dst W=\int_{\theta_0}^\theta\vec{\tau}\cdot\dd \vec{\theta}$

Ahora la duda que tengo es, la direccion y sentido del $\dst \dd \vec{\theta}$ se define de forma análoga como se hace con el $\dst \dd \vec{S}$ en la ley de gaus, $\dst \epsilon_0\oint \vec{E}\cdot\dd \vec{S}=q$, por ejemplo en todos lados que he leido consideran la dirección y sentido del vector $\dst \dd \vec{S}$ como si fuera un axioma, siempre perpendicular a la superficie y hacia afuera. Entonces el $\dst \dd \vec{\theta}$ se define igualmente, simpre perpendicular al plano en el que gira el punto rojo o la partícula?



¿Y hacia arriba o hacia abajo?, cláro! basandose en los dibujos.

O acaso $\dst \dd \vec{\theta}$al igual que $\dst \vec{\tau }$ o $\dst \vec{L }$ dependen sólo del sistema de referencia, es decir basandose en la siguiente imagen, $\dst \dd \vec{\theta}$ puede no ser perpendicular plano en el que gira la partícula?

[pod]

Re: Diferencial de un ángulo, ¿Es una cantidad vectorial?

El diferencial del ángulo es una cantidad vectorial si el angulo en si es vectorial.

Como siempre en estos casos, el ángulo vector se puede poner como un vector cuyo módulo es el valor del ángulo y la dirección es la normal al plano al rededor del cual se produje el giro. El signo se elige de acuerdo con la regla de la mano derecha.

No es que sea un axioma, se hace así porque es la forma que permite definir fácilmente una transmformación infinitesimal

$$\dd\vec x = \dd\vec\theta \times \vec x.$$

Como el producto vectorial así puesto depende de la regla de la mano derecha, el vector ángulo se define con la regla de la mano derecha.

[nature]

Re: Diferencial de un ángulo, ¿Es una cantidad vectorial?

Muy bien entonces segun entiendo el vector diferencial de un angulo es perpendicular al plano formado por el vector posición de la particula o punto al cual se le aplica una fuerza digamos $\vec{r}$ y $\vec{F}$ respectivamente. Entonces la dirección de $\mathrm{d}\vec{\theta}$ esta dada por $\mathrm{d}\vec{\theta}=\vec{r}\times \vec{F}$. Es asi?? no se, disculpen si he confundido las cosas...

[natanael]

Re: Diferencial de un ángulo, ¿Es una cantidad vectorial?

hola nature, puede que la dirección venga dada por $\dst \vec{r}\times \vec{F}$, sin embargo puede que nó, por ejemplo considera el siguiente dibujo:



imagina que la partícula está sobre un riel, y la fuerza que actua sobre ella es sólo la proyección de $\dst \vec{F}$ sobre el plano que forma la linea roja y $\dst \vec{x}$, ahora, el barrido "diferencial" que hace $\dst \dd \theta$, una especia de plano "diferencial", en el cual $\dst \vec{\theta}$ es perpendicular al mismo, hace que el vector $\dst \dd \vec{\theta}$ y $\dst \vec{r}\times \vec{F}$ no tengan la misma dirección, sin embargo el vector que es proyección de $\dst \vec{F}$ sobre el plano, sí puede que tenga la misma dirección, sin embargo esa igual que pusiste, $\dst \mathrm{d}\vec{\theta}=\vec{r}\times \vec{F}$, no es correcta, una cosa que aprendí de un usuario llamado Blasco en este hilo, fué que las igualdades vectoriales tienen que ser dimensionalmente correctas, y $\dst \vec{\theta}=\vec{r}\times \vec{F}$ no lo es, acuerdate que $\dst \vec{r}\times \vec{F}$ es la torca $\dst \tau$ que se ejerce sobre un eje de rotación.

pod me ponchaste con lo de "transmformación infinitesimal", no sé que es, y no he conseguido nada serio en internet sobre eso, tal ves sea un tema muy avanzado, pero quiero preguntarte una cosa más para estar seguro, ¿las cantidades vectoriales de $\dst \dd\vec x = \dd\vec\theta \times \vec x$ están bien representadas en dibujo de arriba?, necesito saberlo por lo menos para tener una idea.

[nature]

Re: Diferencial de un ángulo, ¿Es una cantidad vectorial?

Hola Hidromagnetismo Gracias, Gran dibujo ese!! bueno algo que necesito aclarar:

plano "diferencial", en el cual $\dst \vec{\theta}$ es perpendicular al mismo, hace que el vector $\dst \dd \vec{\theta}$ y $\dst \vec{r}\times \vec{F}$ no tengan la misma dirección, sin embargo el vector que es proyección de $\dst \vec{F}$ sobre el plano, sí puede que tenga la misma dirección

Aqui te refieres a que el producto vectorial entre $\vec{r}$ y $\vec{F_p}$ (la fuerza proyectada) si tiene la misma direccion que $\mathrm{d}\vec{\theta}$ a diferencia del caso de $\vec{r}$ y $\vec{F}$ que puede diferir en dirección no??

sin embargo esa igual que pusiste, $\dst \mathrm{d}\vec{\theta}=\vec{r}\times \vec{F}$, no es correcta, una cosa que aprendí de un usuario llamado Blasco en este hilo, fué que las igualdades vectoriales tienen que ser dimensionalmente correctas, y $\dst \vec{\theta}=\vec{r}\times \vec{F}$ no lo es, acuerdate que $\dst \vec{r}\times \vec{F}$ es la torca $\dst \tau$ que se ejerce sobre un eje de rotación.

Tienes razón claro que no se puede definir a $\mathrm{d}\vec{\theta}$ con el mismo producto vectorial con que definimos al torque pero mi intencion era solo la dirección entonces pense en usar los unitarios de cada vector pero lo iba a enrredar mas y lo deje asi...

[pod]

Re: Diferencial de un ángulo, ¿Es una cantidad vectorial?

pod me ponchaste con lo de "transmformación infinitesimal", no sé que es, y no he conseguido nada serio en internet sobre eso, tal ves sea un tema muy avanzado, pero quiero preguntarte una cosa más para estar seguro, ¿las cantidades vectoriales de $\dst \dd\vec x = \dd\vec\theta \times \vec x$ están bien representadas en dibujo de arriba?, necesito saberlo por lo menos para tener una idea.

Transformación infinitesimal simplemente significa hacer una transformación donde el parámetro es infinitesimal. En este caso, una rotación de ángulo infinitesimal. Buscar la forma infinitesimal de las transformaciones es la forma habitual de operar en teoría de grupos (aunque esta representación con productos vectoriales es un poco "patatera", ya que sólo se puede usar en tres dimensiones).

Imagínate que quieres hacer una rotación al rededor del eje OZ, $\dd\vec\theta = \dd\theta\ \hat k$. La aplicamos al vector $\vec v = (x, y, z)$. Entonces, el vector transformado sería

$$\vec v' = v + \dd \vec\theta \times \vec v = (x - y \dd\theta,\ y + x \dd\theta,\ z) .$$

Si hiciéramos esto de la forma normal, con la matriz de rotaciones y tal, nos saldría algo del estilo

$$\vec v' = \big( x \cos\dd\theta - y \sin\dd\theta , \ y \cos\dd\theta + x \sin\dd\theta, \ z \big) .$$

Pero como estamos en un caso infinitesimal, podemos usar las aproximaciones de siempre,

$$\cos\dd\theta \approx 1 \ , \qquad \sin\dd\theta \approx \dd\theta .$$

Si ponemos esto dentro de (2), recuperamos (1).

Tienes razón claro que no se puede definir a $\dd\vec\theta$ con el mismo producto vectorial con que definimos al torque pero mi intencion era solo la dirección entonces pense en usar los unitarios de cada vector pero lo iba a enrredar mas y lo deje asi...

La relación correcta es $\dd\vec r = \dd\vec\theta \times \vec r$, según lo dicho anteriormente. De esta forma, el trabajo usual sería

$$\dd W = \vec F \cdot ( \dd\vec\theta \times \vec r ) .$$

Si recordáis las propiedades del producto mixto de tres vectores (que se traduce básicamente en un determinante), si se intercambian dos de los vectores cambia de signo. Así que puedo escribir

$$\dd W = -\dd\vec\theta \cdot ( \vec F \times \vec r ) = \vec\tau \cdot \dd\vec\theta.$$

El signo que sale depende del criterio que se siga al definir los diferentes vectores, normalmente se elijen para que no salga. En cualquier caso, lo he hecho un poco a prisa y de memoria. La idea es esa, pero deberíais comprobar que no hay ningún gazapo.

[natanael]

Re: Diferencial de un ángulo, ¿Es una cantidad vectorial?

Bueno, gracias a las respuestas de pod ya he entendido mejor estos detalles sobre ángulos vectoriales y diferenciales. Imagino que pod debe ser una persona muy ocupada y por eso sus respuestas fueron tan directas, y que para ser sincero no las entendia muy bien apenas las leía, asi que para aquellos que les cueste un poco entenderlo voy solo a ampliar más detalladamente la respuesta #6 que nos dió y así aprovechar para preguntarle unas pequeñas dudas que me quedan.

Bueno, esa matriz de rotacion que nos habla es esta:

$\dst \lambda=\begin{pmatrix}<br /> \cos\theta & \sin\theta & 0 \\<br /> -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\<br /> 0 & 0 & 1<br /> \end{pmatrix}$ pero como el águlo no es finito, sino infinitesial se tiene $\dst \lambda=\begin{pmatrix}<br /> \cos\dd \theta & \sin\dd \theta & 0 \\<br /> -\sin\dd \theta & \cos\dd \theta & 0 \\<br /> 0 & 0 & 1<br /> \end{pmatrix}$

que al ser multiplicada por el vector columna $\dst \vec v=(x,y,z)^T$ nos da la transformacion que el mensiona:

Si hiciéramos esto de la forma normal, con la matriz de rotaciones y tal, nos saldría algo del estilo

$$\vec v' = \big( x \cos\dd\theta - y \sin\dd\theta , \ y \cos\dd\theta + x \sin\dd\theta, \ z \big) .$$

lo que hace es:

$\dst \vec{v'}=\lambda^T\vec v=\begin{pmatrix}<br /> \cos\dd \theta & -\sin\dd \theta & 0 \\<br /> \sin\dd \theta & \cos\dd \theta & 0 \\<br /> 0 & 0 & 1<br /> \end{pmatrix}\begin{pmatrix}<br /> x \\<br /> y \\<br /> z <br /> \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}<br /> x\cos\dd \theta-y\sin\dd \theta \\<br /> x\sin\dd \theta+y\cos\dd \theta \\<br /> z <br /> \end{pmatrix}$

Lo que si no sé, es porqué tiene que ser transpuesta la matriz de transformacion (rotación), y la otra cosa pod es que llevo yá como un mes y todavia cuando analizo la expresión:

$\vec v' = v + \dd \vec\theta \times \vec v = (x - y \dd\theta,\ y + x \dd\theta,\ z) .$

donde me imagino que $\dst v$ es vectorial, lo que no pillo es, si es esa expresion ($\dst \vec v + \dd \vec\theta \times \vec v$) es el resultado de una deduccion a partir de alguna ayuda gráfica como por ejemplo:



o de algún analisis parecido al que hiciste con $\dst (x - y \dd\theta,\ y + x \dd\theta,\ z)$ haciendo $\cos\dd\theta \approx 1 \ , \qquad \sin\dd\theta \approx \dd\theta .$ en $\big( x \cos\dd\theta - y \sin\dd\theta , \ y \cos\dd\theta + x \sin\dd\theta, \ z \big)$ ?

[pod]

Re: Diferencial de un ángulo, ¿Es una cantidad vectorial?

que al ser multiplicada por el vector columna $\dst \vec v=(x,y,z)^T$

Por convención, los vectores siempre son columnas. No tienes que poner la transpuesta; si se pone la gente entenderá que tienes un vector fila.

No te confunda que la notación de los n-plas es horizontal siempre; pero el vector en un contexto matricial siempre es columna.

Lo que si no sé, es porqué tiene que ser transpuesta la matriz de transformacion (rotación), y la otra cosa pod es que llevo yá como un mes y todavia cuando analizo la expresión:

En este caso, la matriz transpuesta también es la inversa. Es decir, cambiar el ángulo de signo.

El criterio de signos siempre es "a gusto del consumidor". Sólo hay que tener cuidado de ser consistente. Creo que cuando escribí el post puse suficiente cuidado para ser consistente conmigo mismo. Pero ahora, como bien dices, no tengo tiempo para repasarlo todo. En cualquier caso, lo que importa es el concepto.

donde me imagino que $\dst v$ es vectorial, lo que no pillo es, si es esa expresion ($\dst \vec v + \dd \vec\theta \times \vec v$) es el resultado de una deduccion a partir de alguna ayuda gráfica como por ejemplo:

Sí, algo así. El poner el ángulo como un vector es una artimaña para poder aprovechar el producto vectorial de esa forma.