Condensadores

[arivasm]

Re: Condensadores

El apartado a) lo tenías enfocado aceptablemente desde el principio:

a) En el primer caso, la carga es constante. Luego:

$U=Q^2/2C=Q^2d/2 \varepsilon A$

De donde obtengo la fuerza:

$F=-Q^2/2 \varepsilon A$

Esa fuerza es el valor medio de la de Coulomb que se ejerce entre las placas (aunque el método de cálculo es discutible, sería más adecuado aplicar $-\partial U/\partial x$, siendo $x$ la distancia entre placas). Está claro que bastará con que la fuerza aplicada sea del mismo módulo y sentido opuesto.

$W=\int F\dd x=-Q^2d/2 \varepsilon A$

$\Delta Up=Q^2d/2\varepsilon A$

Como se conserva la energía, y el sistema aumenta su energía potencial, entonces el trabajo ha de efectuarse por un agente externo.

Como antes ése es el trabajo que realiza la fuerza de Coulomb. La fuerza aplicada debe realizar el trabajo opuesto (pues el trabajo total tiene que ser nulo al partir las placas desde el reposo y terminar en reposo).

No mencionas lo que sucede con la energía. Habrá aumentado en la misma cantidad que el trabajo realizado por la fuerza aplicada.

-------oooo-------

En tu primer post escribías, con relación al apartado b):

b) En este caso, (no estoy muy seguro) la carga de los condensadores no permanecen constante. Pero sí permanece constante la dif. potencial, luego:

$U=CV^2/2=V^2\varepsilon A/2d$

$\Delta Up=-V^2A\varepsilon /4d$

$W= -\Delta U$

Repito lo de antes, ése es el trabajo realizado por la fuerza de Coulomb. El trabajo aplicado no será el opuesto, pues falta incluir el que realiza el generador.

$F=V^2\varepsilon A/2d^2$

Ésta no será la fuerza aplicada

De donde interpreto que el sistema disminuye su energía potencial, por lo que el propio circuito aleja las placas del condensador (¿?).

La conclusión no es correcta, pues para que la ddp se mantenga constante debe intervenir un agente externo: el generador.


Más tarde escribiste:

Ok, pero debería el trabajo tener signo positivo. ¿Qué he hecho mal?

No tomar en consideración el generador.

En una entrada posterior escribiste:

b) $U=CV^2/2=\frac{V^2 \varepsilon A}{2x } \Rightarrow F=-dU/dx=V^2 \varepsilon A/2x^2$

Digo lo mismo de antes, es la fuerza de Coulomb, y esta vez sí correctamente calculada.

$W=-\Delta U=-(U2-U1)=U1-U2=\frac{V^2 \varepsilon A}{2d }-\frac{V^2 \varepsilon A}{4d }=\frac{V^2 \varepsilon A}{4d }$

Sería el trabajo realizado por la fuerza de Coulomb, no la aplicada que separa las placas.

------0000-------

Sea $x$ la distancia entre placas. La energía potencial electrostática es

$$U(x)=\dst\frac{1}{2}C(x)V(x)^2=\frac{\epsilon_0 S}{2 x}V(x)^2$$

La carga del condensador es

$$\dst Q(x)=C(x)V(x)=\frac{\epsilon_0 S}{x}V(x)$$

Por tanto, (1) también puede escribirse

$$U(x)=\frac{Q(x)^2}{2C(x)}=\frac{Q(x)^2}{2\epsilon_0 S}x$$

En el caso a) la carga es constante, $Q(x)=Q_0$. El trabajo que debe hacer la fuerza aplicada para separar las placas desde la distancia $d$ hasta $2d$ será el opuesto de la de Coulomb (si las placas parten del reposo y acaban en reposo):

$\dst W_{ap}=-W_{el}=-[U(2d)-U(d)]=\frac{\epsilon_0 S}{2 d}V_0^2=\frac{1}{2}C_0 V_0^2=\frac{d}{2\epsilon_0 S}Q_0^2=\frac{Q_0^2}{2C_0}=\frac{1}{2}Q_0 V_0$

La fuerza necesaria deberá ser como mínimo la opuesta de la de Coulomb, cuyo módulo es, usando (3)

$\dst F_{x,el}(x)=-\frac{\partial U}{\partial x}=-\frac{Q_0^2}{2\epsilon_0 S}$

donde el signo - simplemente informa del sentido de la fuerza contrario a aquél en el que $x$ aumenta.

Por tanto, la fuerza necesaria deberá ser como mínimo

$\dst F_{ap}=\frac{Q_0^2}{2\epsilon_0 S}=\frac{Q_0^2}{2 C_0 d}$

En el apartado b) tendremos de diferente que entrará en juego el trabajo que realiza el generador, que será

$$\delta W_{gen} = V \dd Q$$

y que es negativo porque la carga disminuye. Como finalmente, en el ejercicio planteado, la carga del condensador se habrá reducido a la mitad, tendremos que

$\dst W_{gen}=-\frac{Q_0}{2}V$

Por lo que se refiere a la fuerza de Coulomb entre placas, usando (1) tenemos

$\dst W_{el}=-\Delta U=\frac{\epsilon_0 S}{4 d}V^2-\frac{\epsilon_0 S}{2 d}V^2=\frac{\epsilon_0 S}{4 d} V^2= \frac{Q_0}{4}V$

Por tanto, el trabajo que deberá realizar la fuerza aplicada será

$\dst W_{ap}=-W_{el}-W_{gen}=\frac{1}{4}Q_0 V$

De donde destaco que es positivo, es decir, que hay que hacer trabajo para separar las placas.

El ejercicio pregunta por la energía. La del condensador ciertamente habrá disminuido, gracias al trabajo conjunto realizado por el generador y la fuerza aplicada.

Por último, con respecto a la fuerza, ya no podemos decir que bastará con aplicar la opuesta a la de Coulomb, como antes. Para encontrarla podemos hacer uso de un cálculo de trabajos infinitesinales. Para la de Coulomb podemos usar (1):

$\dst \dd W_{el}=-\dd U= -\frac{\epsilon_0 S}{2 x^2}V^2\dd x$

Para el generador podemos combinar (2) y (4):

$\dst \delta W_{gen}=V\dd Q = -\frac{\epsilon_0 S}{2 x^2}V^ 2\dd x$

Por tanto, si el proceso se realiza de manera cuasiestática

$\dst 0=F_{ap}\dd x-\frac{\epsilon_0 S}{2 x^2}V^2\dd x-\frac{\epsilon_0 S}{2 x^2}V^ 2\dd x=-\frac{\epsilon_0 S}{x^2}V^ 2\dd x$

De donde concluimos que la fuerza deberá variar según

$\dst F_{ap}=\frac{\epsilon_0 S}{x^2}V^ 2$

[hennin]

Re: Condensadores

Y en el b) cómo sabes que la carga pasa a ser la mitad ¿?

[arivasm]

Re: Condensadores

Porque la capacidad se hace la mitad (al duplicarse la distancia) mientras que la ddp es la misma.

[hennin]

Re: Condensadores

$[U(2d)-U(d)]=\frac{-Q^2d}{2\epsilon_0 A}V_0^2$

Está mal (creo), $U(2d)-U(d)=Q^2d/2\epsilon_0 A$ (esto en el apartado a) ).

Y no sé si afectará esto al convenio de signo que usas en b).

Por otra parte, en el primer caso las densidades de energías son iguales (E=E') luego $U_e'=\epsilon_0 E'^2/2=2U_e$. La energía se invierte en duplicar la energía almacenada entre las placas. En el segundo caso que ocurriría ¿?

[arivasm]

Re: Condensadores

$[U(2d)-U(d)]=\frac{-Q^2d}{2\epsilon_0 A}V_0^2$

Está mal (creo), $U(2d)-U(d)=Q^2d/2\epsilon_0 A$ (esto en el apartado a) ).

No encuentro dónde está escrita la primera expresión. Desde luego no es correcta, ni siquiera dimensionalmente.

Sobre la segunda, en el apartado a), sí veo que cometí un error en el desarrollo que hice de a) y que voy a corregir. Como en a) $Q$ es constante, además $\dst U(x)=\frac{Q^2}{2C(x)}$, y $\dst C(x) = \frac{\epsilon_0 A}{x}$ ecfectivamente $\dst U(2d)-U(d)=\frac{Q^2 2 d}{2\epsilon_0 A}-\frac{Q^2 d}{2\epsilon_0 A} = \frac{Q^2 d}{2\epsilon_0 A}$

Y no sé si afectará esto al convenio de signo que usas en b).

No soy consciente de haber usado ningún convenio de signos. Si te refieres a los trabajos, he calculado los trabajos realizados por las fuerzas que intervienen: coulombiana, aplicada a las placas y, en el apartado b), la que ejerce el generador sobre las cargas al ser trasladadas desde una placa a la otra.

En cualquier caso, no he trasladado ningún resultado de a) a b).

Por otra parte, en el primer caso las densidades de energías son iguales (E=E') luego $U_e'=\epsilon_0 E'^2/2=2U_e$. La energía se invierte en duplicar la energía almacenada entre las placas. En el segundo caso que ocurriría ¿?

Como ves, en b) intervienen dos trabajos positivos (el de la fuerza aplicada y el de la fuerza de Coulomb entre placas) y uno negativo (realizado por el generador). Por tanto, desde el punto de vista de la energía es este último quien se está llevando la energía, que procede de la disminución en la energía potencial del condensador y también de la fuente energética que se emplee para ejercer la fuerza de separación de las placas.

Sobre el destino último de la energía que recibe el generador dependerá de cómo sea éste. Si se diese el caso de que en él sólo interviniesen fuerzas conservativas (y francamente no me hago una idea de cómo podría ser eso en la práctica) la energía sería almacenada en forma de la energía potencial correspondiente a dichas fuerzas. Si hay fuerzas no conservativas, parte de esa energía (seguramente toda, pues como dije antes no creo que se pueda implementar un generador basado en fuerzas conservativas) se disipará en forma de calor.

Saludos!

[hennin]

Re: Condensadores

Creo que hay otro fallo, cuando escribes $\dst \delta W_{gen}=V\dd Q = -\frac{\epsilon_0 S}{2 x^2}V^ 2\dd x$

El 2 del denominador sobra, puesto que el diferencial de Q es : $dQ=-\frac{\epsilon_0 S V}{ x^2}$

Entonces la fuerza aplicada $F_aplicada$ es 3/2 de lo que pusistes.

Gracias de nuevo.

[arivasm]

Re: Condensadores

Pues sí, tienes toda la razón!. Lo corregiré, para que quede correcto.

Edito: ya ha transcurrido demasiado tiempo y ya no puedo editarlo.

Saludos!

[hennin]

Re: Condensadores

Por último, me ha surgido la siguiente duda.

En el primer caso, la Fza es constante mientras que en el segundo varía en función de la distancia entre las placas x.

Según he visto en un libro de electromagnetismo, la fuerza virtual que la llama $F_\varepsilon$ es igual tanto a carga constante como a potencial constante pero de signo contrario. Esto dice que es consecuencia del principio de los trabajos virtuales.

¿En este caso no se aplica o es que no tiene nada que ver?

[arivasm]

Re: Condensadores

En mi post #16 hay varios errores con relación al apartado b). Por tanto, voy a repetirlo señalando en azul los lugares donde hago cambios:

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En el apartado b) tendremos de diferente que entrará en juego el trabajo que realiza el generador, que será

$$\delta W_{gen} = V \dd Q$$

y que es negativo porque la carga disminuye. Como finalmente, en el ejercicio planteado, la carga del condensador se habrá reducido a la mitad, tendremos que

$\dst W_{gen} = -\frac{Q_0}{2}V$

Por lo que se refiere a la fuerza de Coulomb entre placas, usando (1) tenemos

[cambio] $\dst W_{el}=-\Delta U = \frac{\epsilon_0 S}{2d}V^2-\frac{\epsilon_0 S}{4d}V^2=\frac{\epsilon_0 S}{4d}V^2$

Por tanto, el trabajo que deberá realizar la fuerza aplicada será

$\dst W_{ap}=-W_{el}-W_{gen}=\frac{1}{4}Q_0V$

Del que destaco que es positivo, es decir, que hay que hacer trabajo para separar las placas.

El ejercicio pregunta por la energía. La del condensador ciertamente habrá disminuido, gracias al trabajo conjunto realizado por el generador y la fuerza aplicada.

Por último, con respecto a la fuerza, ya no podemos decir que bastará con aplicar la opuesta a la de Coulomb, como antes. Para encontrarla podemos hacer uso de un cálculo de trabajos infinitesinales. Para la de Coulomb podemos usar que

$\dst U(x)= \frac{1}{2}C(x) V^2 = \frac{\epsilon_0 S}{2 x} V^2$

y entonces

$\dst \delta W_{el} = -\dd U = \frac{\epsilon_0 S}{2 x^2} V^2 \dd x$

Para el generador podemos usar

$\dst Q(x) = C(x) V = \frac{\epsilon_0 S}{x}V$

y entonces

$\dst \dd Q = -\frac{\epsilon_0 S}{x^2}V\dd x$

de manera que

$\dst \delta W_{gen}=V \dd Q = -\frac{\epsilon_0 S}{x^2}V^2 \dd x$

Por tanto, si el proceso se realiza de manera cuasiestática, como

$0 = F_{ap} \dd x + \delta W_{gen} + \delta W_{el}$

tenemos que

[cambio] $\dst 0 = F_{ap} \dd x - \frac{\epsilon_0 S}{x^2} V^2 \dd x + \frac{\epsilon_0 S}{2 x^2} \dd x = F_{ap} \dd x - \frac{\epsilon_0 S}{2 x^2} V^2 \dd x$

De donde concluimos que la fuerza deberá variar según

[cambio]

$$\dst F_{ap} = \frac{\epsilon_0 S}{2 x^2} V^2$$

En el primer caso, la Fza es constante mientras que en el segundo varía en función de la distancia entre las placas x.

Según he visto en un libro de electromagnetismo, la fuerza virtual que la llama $F_\varepsilon$ es igual tanto a carga constante como a potencial constante pero de signo contrario. Esto dice que es consecuencia del principio de los trabajos virtuales.

¿En este caso no se aplica o es que no tiene nada que ver?

Comencemos recordando que en el caso de que las placas se separen desconectadas del generador, la fuerza que había que aplicar era

$\dst F_{ap}=\frac{Q_0^2}{2\epsilon_0 S}=\frac{Q_0^2}{2 C_0 d}$

En el caso del apartado b) la fuerza aplicada deberá ir cambiando con la distancia. Pero prestemos atención a su valor inicial, es decir, la fuerza que debemos aplicar en primera instancia (que además será la más intensa), con $x=d$, para comenzar a separar las placas con el generador conectado.

Usando (5):

$\dst F_{ap, inic} = \frac{\epsilon_0 S}{2 d^2} V^2$

es decir,

$\dst F_{ap, inic} = \frac{C_0}{2 d} V^2=\frac{Q_0^2}{2 C_0 d}$

que, como ves, coincide con la anterior, eso sí, una vez que hemos corregido los errores!

(Esperemos que ahora *sí* haya quedado correcto!)

Saludos, hennin!

[luciano]

Re: Condensadores

Hola, estoy haciendo un problema muy similar a este, he calculado las fuerzas entre las placas de un condensador conectado y desconectado de la fem, pero me preguntan por que en el caso en el que esta desconectado la fuerza es independiente de la distancia, mientras en el caso en el que el condensador esta conectado la fem si depende de esta!...he leido en otro post que en el 1º caso, la fuerza no depende de la distancia por que el campo eléctrico que generan las placas es uniforme. Pero en el caso del condensador conectado a la fem...¿por que la fuerza depende de la distancia?

[arivasm]

Re: Condensadores

Al ser fija la tensión entre placas y en cambio variable la capacidad, la carga en las placas dependerá de la distancia, lo que significa que también lo hace el campo entre placas. De todos modos, quedarse con que ésta sería la causa sólo justificaría parcialmente el resultado pues, como se comenta en el post #24, el trabajo realizado por el generador también tiene traducción en una fuerza dependiente de la distancia, imprescindible, aunque sólo sea en un análisis cualitativo, para dar cuenta del sentido de la fuerza aplicada.

En definitiva, se trataría de traducir a palabras el razonamiento que lleva a (5) en el post #24.