Otras carreras ecuacion de ondas a partir de maxwell

[LauraLopez]

Lo primero que quiero hacer es dar la solucion de onda plana para el VACIO a partir de las ecuaciones de maxwell.

En el tipler vi que hace esto suponiendo que la onda plana se propaga en la direccion x y llega entonces a que la ecuacion de onda es :

$\dst \frac{\partial {}^{2 } E_y }{\partial x^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial {}^{2 } E_y}{\partial t^2}$

Luego generaliza y dice que la ecuacion se podria poner como :

$\dst \frac{\partial {}^{2 } E }{\partial x^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial {}^{2 } E}{\partial t^2}$


entonces aqui la primera duda :

1) Cual de las 2 ecuaciones es la que representa la ecuacion de onda electromagnetica en el vacio deducida de las ecuaciones de maxwell ? y porque?

Todo esto que deduce el tipler lo hace usando las ecuaciones de maxwell en su forma integral.

Por otro lado yo habia visto un apunte :

http://www.ing.unlp.edu.ar/camposyo/...P10_parte2.pdf

en el cual en la pagina 2 , agregando el subindice 0 a los coeficientes de mu y epsilon , deduce la ecuacion de ondas para el vacio a partir de las ecuaciones de maxwell pero usando su forma diferencial , y llega a :

$\dst {\nabla}^{2 } E = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial {}^{2 } E}{\partial t^2}$


asi que aca mi duda numero 2:

2) Porque esta ecuacion no es igual a la del tipler? ambas son validas? son equivalentes? porque?


Luego el siguiente paso en entender la solucion de onda para un medio dielectrico a partir de las ecuaciones de maxwell.

Duda 3:

3) Aca sin explicar el como se llega (porque me dice Arivasm que es muy complejo) igualmente cual es la solucion?

espero una solucion como las anteriores.... o sea sin senos y cosenos , o sea una ecuacion diferencial de segundo orden no?

Me parecio entenderle a Breogan que la solucion sera la misma q para el vacio solo que sin los subindices 0 puede ser asi? si es asi entonces no debe ser mas dificil que en el vacio no?

[pod]

Re: ecuacion de ondas a partir de maxwell

1) Cual de las 2 ecuaciones es la que representa la ecuacion de onda electromagnetica en el vacio deducida de las ecuaciones de maxwell ? y porque?

Aquí estás en el caso particular en que el campo apunta en la dirección y (es decir, $\vec E = E_y \hat\jmath$, y por tanto el módulo $E = E_y$). Bajo esta simplificación, ambas ecuaciones son equivalentes.

2) Porque esta ecuacion no es igual a la del tipler? ambas son validas? son equivalentes? porque?

Esta es la ecuación de ondas general. Si impones que el campo sólo tenga componente y, obtienes la de antes.

3) Aca sin explicar el como se llega (porque me dice Arivasm que es muy complejo) igualmente cual es la solucion?

La solución general de la ecuación de ondas escalar (por ejemplo, la segunda que pones tú) es

$$E = f(x- ct) + g(x+ct) ,$$

donde f y g son funciones arbitrarias, derivables dos veces. $c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$

[LauraLopez]

Re: ecuacion de ondas a partir de maxwell

mmm entonces :

1) y 2) si el campo tendria solo componente en z o solo componente en x como seria? podria haber tenido componentes tanto en x,y y z entonces? no entiendo porque por ejempo en la ecuacion le derivada es respecto a x no mas...en la otra ecuacion ese operador es el laplaciono no? asi que eso implica derivadas respecto a y y z tambien....no veo porque son equivalmentes entonces las ecuaciones. Tambien tengo que imponer que se propaga en x ? esa ecuacion que decis que es la general ( la del laplaciano) asume que el campo es en x,y y z, y que direccion de propagacion asume?

3)Aca lo que pregunto no es la solucion a la ecuacion diferencial, sino el saber cual es la ecuacion diferencial de segundo orden que se deduce a partir de las ecuaciones de maxwell en el medio dielectrico

Ademas me gustaria saber cuales son las 2 soluciones a las ecuaciones diferenciales para el vacio y para medios dielectricos ( esta ultima ecuacion diferencial es la que aun desconozco cual es)
O sea aca espero q la respuesta sean 2 ecuaciones de ondas armonicas no?

[pod]

Re: ecuacion de ondas a partir de maxwell

mmm entonces :

1) y 2) si el campo tendria solo componente en z o solo componente en x como seria? podria haber tenido componentes tanto en x,y y z entonces? no entiendo porque por ejempo en la ecuacion le derivada es respecto a x no mas...en la otra ecuacion ese operador es el laplaciono no? asi que eso implica derivadas respecto a y y z tambien....no veo porque son equivalmentes entonces las ecuaciones. Tambien tengo que imponer que se propaga en x ? esa ecuacion que decis que es la general ( la del laplaciano) asume que el campo es en x,y y z, y que direccion de propagacion asume?

Derivas sólo respecto de x porque has impuesto que la dirección de propagación es OX. Es decir, la onda se va propagando en la dirección x, y por lo tanto depende de la coordenada x. No puede haber dependencia en y ni en z, por lo tanto esas derivadas no aparecen en el caso particular de una onda en la dirección OX. Por eso te decía que la ecuación general (la del laplaciano) se reduce a las primeras en el caso de propagación en la dirección OX.

Si la dirección de propagación es x, dado que la luz es una onda transversal, entonces obligatoriamente la onda no puede tener componente $E_x$ (o, mejor dicho, puede la componente x debe ser constante; y por lo tanto no oscila, es como si no formara parte de la onda). $E_y$ y $E_z$ cumplen la ecuación de ondas que pusiste en primer lugar en el mensaje inicial. Pero la cumplen independientemente, es decir, la solución para $E_y$ puede ser muy diferente que para $E_z$. Esto está relacionado con el hecho de que la luz tiene dos polarizaciones diferentes (que corresponden a las dos direcciones transversales a la dirección de propagación, y e z).

3)Aca lo que pregunto no es la solucion a la ecuacion diferencial, sino el saber cual es la ecuacion diferencial de segundo orden que se deduce a partir de las ecuaciones de maxwell en el medio dielectrico

Pues básicamente la misma quitando el subíndice 0 de las constantes.

[LauraLopez]

Re: ecuacion de ondas a partir de maxwell

Con respecto a la ecuacion para medios dielectricos entonces me decis que es igual pero sin el subindice cero, y la forma de demostrar como se llega es exactamente la misma?



Tengo varias dudas mas....asi que creo que no estoy entiendiendo bien....

Por ejemplo en el tipler tengo el caso de que:

si el campo hubiera tenido solo componente en y , y la onda se propaga en el eje x entonces tengo que :

$\dst \frac{\partial {}^{2 } E_y }{\partial x^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial {}^{2 } E_y}{\partial t^2}$
[FONT=Verdana]
si hubiera sido que el campo tiene solo componente en z y se propaga en x hubiera sido asi ?

[/FONT]$\dst \frac{\partial {}^{2 } E_z }{\partial x^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial {}^{2 } E_z}{\partial t^2}$
[FONT=Verdana]
y si hubiera tenido solo componente en x y se propaga en x hubiera sido asi?

[/FONT]$\dst \frac{\partial {}^{2 } E_x }{\partial x^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial {}^{2 } E_x}{\partial t^2}$
[FONT=Verdana]
[/FONT][FONT=Verdana]

y si hubiese tenido solo componente en x y se propaga en y hubiera sido asi?

[/FONT]$\dst \frac{\partial {}^{2 } E_x }{\partial y^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial {}^{2 } E_x}{\partial t^2}$
[FONT=Verdana]
[/FONT][FONT=Verdana]y si hubiese tenido solo componente en y y se propaga en y hubiera sido asi?

[/FONT]$\dst \frac{\partial {}^{2 } E_y }{\partial y^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial {}^{2 } E_y}{\partial t^2}$[FONT=Verdana]

[/FONT][FONT=Verdana]y si hubiese tenido solo componente en z y se propaga en y hubiera sido asi?

[/FONT]$\dst \frac{\partial {}^{2 } E_z }{\partial y^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial {}^{2 } E_z}{\partial t^2}$[FONT=Verdana]
[/FONT][FONT=Verdana]
[/FONT][FONT=Verdana]y si hubiese tenido solo componente en x y se propaga en z hubiera sido asi?

[/FONT]$\dst \frac{\partial {}^{2 } E_x }{\partial z^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial {}^{2 } E_x}{\partial t^2}$[FONT=Verdana]

[/FONT][FONT=Verdana]y si hubiese tenido solo componente en y y se propaga en z hubiera sido asi?

[/FONT]$\dst \frac{\partial {}^{2 } E_y }{\partial z^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial {}^{2 } E_y}{\partial t^2}$[FONT=Verdana]

[/FONT][FONT=Verdana]y si hubiese tenido solo componente en z y se propaga en z hubiera sido asi?
[/FONT][FONT=Verdana]
[/FONT]$\dst \frac{\partial {}^{2 } E_z }{\partial z^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial {}^{2 } E_z}{\partial t^2}$[FONT=Verdana]

[/FONT][FONT=Verdana]y si hubiera tenido componente en x,y,z y se propaga en x hubiera sido asi ?

[/FONT]$\dst {\nabla}^{2 } E = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial {}^{2 } E}{\partial t^2}<br />$

[FONT=Verdana]y si hubiera tenido componente en x,y,z y se propaga en y como seria ?
[/FONT][FONT=Verdana]y si hubiera tenido componente en x,y,z y se propaga en z como seria ? [/FONT]

[pod]

Re: ecuacion de ondas a partir de maxwell

Con respecto a la ecuacion para medios dielectricos entonces me decis que es igual pero sin el subindice cero, y la forma de demostrar como se llega es exactamente la misma?

Sí. Una de las formas de poner las ecuaciones de Maxwell en un medio es idéntica a las ecuaciones del vacío pero substituyendo las constantes del vacío por las del medio.

[FONT=Verdana]
[/FONT]$\dst \frac{\partial {}^{2 } E_x }{\partial x^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial {}^{2 } E_x}{\partial t^2}$[FONT=Verdana]
[/FONT][FONT=Verdana]
[/FONT]$\dst \frac{\partial {}^{2 } E_y }{\partial y^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial {}^{2 } E_y}{\partial t^2}$[FONT=Verdana]
[/FONT][FONT=Verdana]
[/FONT]$\dst \frac{\partial {}^{2 } E_z }{\partial z^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial {}^{2 } E_z}{\partial t^2}$

[FONT=Verdana]

Estas tres no son posibles. El resto está bien.

Las ondas electromagnéticas son transversales. Esto quiere decir que oscilan siempre en direcciones perpendiculares a la propagación. Si la dirección de propagación es OX, entonces la onda debe vibrar en la dirección OY; en la dirección OZ, o bien en cualquier dirección combinación lineal de estas dos. Pero no puede haber componente $E_x$[/FONT][FONT=Verdana].

La condición de transversalidad se deduce de las ecuaciones de Maxwell, pero no aparece directamente en la ecuación de ondas. Por eso tenemos que aplicar esta condición a mano en la ecuación de ondas; la forma de aplicarla a mano es tachar estas tres ecuaciones que acabamos de decir que no son posibles.

[/FONT]

[FONT=Verdana]y si hubiera tenido componente en x,y,z y se propaga en x hubiera sido asi ?

[/FONT]$\dst {\nabla}^{2 } E = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial {}^{2 } E}{\partial t^2}<br />$

[FONT=Verdana]y si hubiera tenido componente en x,y,z y se propaga en y como seria ?
[/FONT][FONT=Verdana]y si hubiera tenido componente en x,y,z y se propaga en z como seria ? [/FONT]

Para ser estrictos, el campo aquí debe ser un vector:

$${\nabla}^{2 } \vec E = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial {}^{2 } \vec E}{\partial t^2}<br />$$

Esta es LA ecuación de ondas, es verdad siempre. Las nueve ecuaciones que tu has puesto se deducen todas ellas como casos particulares de esta (aunque, como hemos dicho, la condición de transversalidad hace que debamos rechazar tres de ellas).

Fíjate que, desarrollando el laplaciano podemos escribir

$$\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 }{\partial z^2} \right) \vec E = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial {}^{2 } \vec E}{\partial t^2}<br />$$

Por ejemplo, si imponemos que la propagación se produce en el eje OX (es decir, sólo la derivada respecto x es diferente de cero) y que el campo tiene sólo componente en la dirección OY, $\vec E = (0, E_y, 0)$, entonces todo esto se reduce a la ecuación que más conocemos.

[LauraLopez]

Re: ecuacion de ondas a partir de maxwell

ahi se van aclarando mas las cosas.

Entonces para estas 3 preguntas que hice:

[FONT=Verdana]y si hubiera tenido componente en x,y,z y se propaga en x ?
[/FONT][FONT=Verdana]y si hubiera tenido componente en x,y,z y se propaga en y ?
[/FONT][FONT=Verdana]y si hubiera tenido componente en x,y,z y se propaga en z ?
[/FONT][FONT=Verdana]
La respuestas es esta no ?

[/FONT]

En realidad esta expresion seria valida siemrpe como bien dijiste....

Podria darse el caso que se propaga tanto en x como en y?

o sea que el campo por ejemplo tenga componente en x,y,z y que se propague en x,y o en xz o en yz o porque no en xyz, estos casos son posibles?

Con respecto a los 3 casos que no son posibles....entonces si tengo un campo con componente en x y que se propaga en x que significa que esa ecuacion de onda no es posible? que no existe una onda electromagnetica en este caso? SI tengo un campo en el eje x y se propaga en esa misma direccion...no veo bien claro porque esto no es posible, asumiendo que no posible signifique que no puede existir la onda

y si hubiera tenido un campo con componnte en x,y y que se propaga en x . Entonces aca si tengo una onda electromagnetica igualmente porque por mas que la ecuacion de la componente x del campo no exista si existe la ecuacion con la componente de y no?

Tener un campo con componente en X y que se propague en x es fisicamente imposible? o solamente lo que sucede es que no se genera una onda? que es lo que sucede entonces si tengo esto que se dice que es "imposible" ?

[pod]

Re: ecuacion de ondas a partir de maxwell

ahi se van aclarando mas las cosas.

Entonces para estas 3 preguntas que hice:

[FONT=Verdana]y si hubiera tenido componente en x,y,z y se propaga en x ?
[/FONT][FONT=Verdana]y si hubiera tenido componente en x,y,z y se propaga en y ?
[/FONT][FONT=Verdana]y si hubiera tenido componente en x,y,z y se propaga en z ?
[/FONT][FONT=Verdana]
La respuestas es esta no ?

[/FONT]

En realidad esta expresion seria valida siemrpe como bien dijiste....

Podria darse el caso que se propaga tanto en x como en y?

o sea que el campo por ejemplo tenga componente en x,y,z y que se propague en x,y o en xz o en yz o porque no en xyz, estos casos son posibles?

La onda se puede propagar en cualquier dirección, en línea recta. Esa dirección no tiene por qué coincidir con un eje coordinado. Por ejemplo, la onda se puede propagar en la dirección $\hat u = \frac1{\sqrt3} (1, 1, 1)$. En este caso, el campo oscilante tiene que ser perpendicular a este vector. Es decir, se debe cumplir $(1, 1, 1) \cdot \vec E = 0$.

Es importante entender que esta condición de transversalidad no sale de la ecuación de ondas. La ecuación de ondas es sólo una ecuación vectorial (o sea, tres ecuaciones), cuando las ecuaciones de Maxwell tienen 8 condiciones (dos ecuaciones vectoriales más dos escalares). O sea, la ecuación de ondas no tiene toda la información de las ecuaciones de Maxwell. Si uno toma la ecuación de ondas matemáticamente y se olvida de la física que hay detrás, podrían salirte componentes oscilantes en la dirección de propagación (es decir, una onda longitudinal). De hecho, en otros campos de la Física hay ondas longitudinales (el sonido, por ejemplo). Pero en el electromagnetismo, una componente longitudinal (aunque satisfaría la ecuación de ondas) no podría cumplir las ecuaciones de Maxwell, y por lo tanto está "prohibida".

Con respecto a los 3 casos que no son posibles....entonces si tengo un campo con componente en x y que se propaga en x que significa que esa ecuacion de onda no es posible? que no existe una onda electromagnetica en este caso? SI tengo un campo en el eje x y se propaga en esa misma direccion...no veo bien claro porque esto no es posible, asumiendo que no posible signifique que no puede existir la onda

Como he dicho, esas ecuaciones son posibles matemáticamente (y en otros sistemas físicos); pero son inconsistentes con las ecuaciones de Maxwell.

y si hubiera tenido un campo con componnte en x,y y que se propaga en x . Entonces aca si tengo una onda electromagnetica igualmente porque por mas que la ecuacion de la componente x del campo no exista si existe la ecuacion con la componente de y no?

La componente $E_x$ sólo podría ser constante. Es decir, no oscilante.

Tener un campo con componente en X y que se propague en x es fisicamente imposible? o solamente lo que sucede es que no se genera una onda? que es lo que sucede entonces si tengo esto que se dice que es "imposible" ?

Seria incompatible con las ecuaciones de Maxwell.

[LauraLopez]

Re: ecuacion de ondas a partir de maxwell

Sigo con dudas nose como explicarlas bien....

Entiendo que la ecuacion diferencial de ondas que se deduce de las ecuaciones de maxwell es :

con el subinidice cero seria la correspondiente al vacio.

El tipler no llega a esa ecuacion porque toma un caso particular de la misma, o sea supone que la direccion de propagacion es el eje x y que el campo solo tiene componente en y entonces llega a :



Ambas soluciones entiendo que son equivalentes ya que esta ultima es un caso particular de la primera.

AHora bien mi pregunta es si el tipler hubiera supuesto que la direccion de propagacion es en el eje x y que el campo solo tiene componente en x a que se habria llegado?
a un error? del estilo cuando se quiere hacer una division por cero? o que es eso que llamas "incompatible con las ecuaciones de maxwell" ? donde puedo "ver" ese error o incompatibilidad en las cuentas....?

Seria el caso de esta ecuacion :

$\dst \frac{\partial {}^{2 } E_x }{\partial x^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial {}^{2 } E_x}{\partial t^2}<br />$

que no es valida, entonces como seria, seria asi ? $\dst \frac{\partial E_x }{\partial x} = 0$ o $\dst \frac{\partial E_x }{\partial x} = c$ donde c es una constante... en ambos casos sea cual sea la respuesta porque? y la derivada segunda seria cero no? o sea $\dst \frac{\partial {}^{2 } E_x }{\partial x^2} = 0$


Por ultimo no tengo del todo claro el porque de que si la direccion de propagacion es en x implica que solo las derivadas respecto a x seran distintas de cero, y la demas seran cero.... se que esto es asi (porque lo he leido) pero nose porque debe ser asi

PD: si se propaga en x entonces $E_x = constante$ por ende su derivada primera y segunda respecto a x seran cero no? creo que si te pregunto porque E_x es constante me vas a decir que es porque es una onda transversal e igualmente me sigo preguntando el porque....aca tengo que asumir que es asi por definicion? o sea si es una onda tranversarl entonces sus compoenentes paralelas a la direccion de propagacion tienen que ser constantes, es esto asi? de ser asi entonces creo que la pregunta lleva al saber porque entones las ondas electromagneticas son ondas transversales

[pod]

Re: ecuacion de ondas a partir de maxwell

Ya entiendo tu duda. Cuando llegue a casa te contesto (no vendría mal que respondieras de nuevo para que me salga el hilo como no leído y no me olvide ).

[LauraLopez]

Re: ecuacion de ondas a partir de maxwell

que alegria que se entienda lo que pregunto ajaja ,esperare anciosa tu respuesta . Como veras tambien cree un nuevo hilo donde planteo una duda en concreto para asi no tratar tantos temas juntos en este mismo hilo aunque todas son similares.

PD: agrege una PD en mi mensaje anterior donde obviamente agrego mas dudas jaja

[pod]

Re: ecuacion de ondas a partir de maxwell

Sigo con dudas nose como explicarlas bien....

Entiendo que la ecuacion diferencial de ondas que se deduce de las ecuaciones de maxwell es :

con el subinidice cero seria la correspondiente al vacio.

El tipler no llega a esa ecuacion porque toma un caso particular de la misma, o sea supone que la direccion de propagacion es el eje x y que el campo solo tiene componente en y entonces llega a :



Ambas soluciones entiendo que son equivalentes ya que esta ultima es un caso particular de la primera.

AHora bien mi pregunta es si el tipler hubiera supuesto que la direccion de propagacion es en el eje x y que el campo solo tiene componente en x a que se habria llegado?
a un error? del estilo cuando se quiere hacer una division por cero? o que es eso que llamas "incompatible con las ecuaciones de maxwell" ? donde puedo "ver" ese error o incompatibilidad en las cuentas....?

Seria el caso de esta ecuacion :

$\dst \frac{\partial {}^{2 } E_x }{\partial x^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial {}^{2 } E_x}{\partial t^2}<br />$

que no es valida, entonces como seria, seria asi ? $\dst \frac{\partial E_x }{\partial x} = 0$ o $\dst \frac{\partial E_x }{\partial x} = c$ donde c es una constante... en ambos casos sea cual sea la respuesta porque? y la derivada segunda seria cero no? o sea $\dst \frac{\partial {}^{2 } E_x }{\partial x^2} = 0$


Por ultimo no tengo del todo claro el porque de que si la direccion de propagacion es en x implica que solo las derivadas respecto a x seran distintas de cero, y la demas seran cero.... se que esto es asi (porque lo he leido) pero nose porque debe ser asi

Vamos por parte: estamos imponiendo una situación en que la única dependencia es en x (además de en t), y además la única componente diferente de cero es $E_x$. Es decir, $E_y = E_z = 0$. Recuerda que una de las ecuaciones de Maxwell es, cuando no hay cargas (la propagación de ondas se estudia sin fuentes):

$$\vec \nabla \cdot \vec E = 0 \Longrightarrow<br /> \frac{\partial E_x}{\partial x} + \underbrace{\frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}}_0 = 0 .$$

Por tanto, las ecuaciones de maxwell imponen

$$\frac{\partial E_x}{\partial x} = 0 .$$

Por lo tanto, la primera derivada del campo en esta configuración es cero. Por lo tanto, el campo no cambia: es constante.

PD: si se propaga en x entonces $E_x = constante$ por ende su derivada primera y segunda respecto a x seran cero no?

En efecto. Como has visto, directamente de las ecuaciones de Maxwell, sale la condición que la derivada del campo debe ser cero.

creo que si te pregunto porque E_x es constante me vas a decir que es porque es una onda transversal e igualmente me sigo preguntando el porque....aca tengo que asumir que es asi por definicion? o sea si es una onda tranversarl entonces sus compoenentes paralelas a la direccion de propagacion tienen que ser constantes, es esto asi?

Correcto. La definición formal dice que una onda transversal vibra en la dirección particular a la propagación. Eso quiere decir que la componente longitudinal ($E_x$) no puede oscilar, es constante.

de ser asi entonces creo que la pregunta lleva al saber porque entones las ondas electromagneticas son ondas transversales

Sale directamente de las ecuaciones de Maxwell. En el caso particular de la propagación en x lo acabamos de ver. En un caso más general, la demostración es algo más complicada (no demasiada si eres hábil, con los vectores), pero también sale directamente de las ecuaciones de Maxwell.

[LauraLopez]

Re: ecuacion de ondas a partir de maxwell

Ya casi termino de entender, ya quedan menos dudas.

Por un lado sigo arrastrando la duda de antes....

"No tengo del todo claro el porque de que si la direccion de propagacion es en x implica que solo las derivadas respecto a x seran distintas de cero, y la demas seran cero.... se que esto es asi (porque lo he leido) pero nose porque debe ser asi"


Por otro lado entonces las ecuacioens de maxwell imponen cosas como lo que me explicaste recien.

En el ejemplo que me pusiste era el caso de que el campo solo tenia componente en x y que se propagaba en x. Si hubiera sido que se propaga en x , y tengo componente en x e y?

$\dst \vec \nabla \cdot \vec E = 0 \Longrightarrow<br /> \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = 0 .$

Aca la unica que es cero es la derivada con respecto a zeta, pero las otras 2 segun esa ecuacion me quedaria:

$\dst \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} = 0$

Esta ecuacion no esta implicando que ambas sean cero,sino que su suma lo sea...pero no deberian ser cero si o si ?

- - - Actualizado - - -

Las ondas electromagneticas se deducen de las ecuaciones de maxwell entonces significa que tienen que "cumplir" los que dicen dichas ecuaciones no? La ecuacion esa que me mencionas, que es la ecuacion de gauss para el caso particular del vacio me esta implicando que:

$\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = 0$

esto es lo mismo que decir esto?

$\dst \frac{\partial E_x}{\partial x}= 0$

$\dst \frac{\partial E_y}{\partial y}= 0$

$\dst \frac{\partial E_z}{\partial z}= 0$

Pareciera que siempre cada componente es constante entonces independientemente de la direccion en que se propague la onda.... y esto no puede ser , que estoy haciendo mal?

Ademas sigo sin entender porque la onda tiene que oscilar en una direccion que sea perpendicular a la direccion de propagacion?(la respuesta es porque es una onda transversal, pero bueno porque es una onda tranversal? ) o sea porque E es perpendicular a la direccion de propagacion? No logro ver como las ecuaciones de maxwell responden a esta pregunta....

[pod]

Re: ecuacion de ondas a partir de maxwell

"No tengo del todo claro el porque de que si la direccion de propagacion es en x implica que solo las derivadas respecto a x seran distintas de cero, y la demas seran cero.... se que esto es asi (porque lo he leido) pero nose porque debe ser asi"

Por definición. Que algo se propague en una dirección, quiere decir que su valor cambia cuando te mueves en esa dirección. Si el campo depende de y, por ejemplo, entonces quiere decir que su valor cambia cuando te mueves en la dirección y: por lo tanto, se está propagando en la dirección y.

En general, la dirección de propagación puede ser cualquiera, no tiene por qué coincidir con un eje coordenado. Pero, por simplicidad, se puede elegir colocar los ejes de forma que la dirección de propagación sea x, por ejemplo. Eso es lo que hace el Tipler.

Si hubiera sido que se propaga en x , y tengo componente en x e y?

En este caso, tienes$E_x(x)$,$E_y(x)$ (depende de x, porque se propaga en esa dirección) y $E_z = 0$. Fíjate que en la divergencia aparece

$$\frac{\partial E_y(x)}{\partial y} = 0 ,$$

es cero porque $E_y$ no depende de y; sólo de x. Por lo tanto, volvemos al mismo caso de antes, la componente longitudinal es constante, no oscila

Las ondas electromagneticas se deducen de las ecuaciones de maxwell entonces significa que tienen que "cumplir" los que dicen dichas ecuaciones no? La ecuacion esa que me mencionas, que es la ecuacion de gauss para el caso particular del vacio me esta implicando que:

Las ecuaciones de Maxwell son la verdad absoluta sobre el electromagnetismo (clasico y no relativista, por lo menos). La ecuación de ondas está codificada "dentro" de las maxwelitas. Pero, además de la ecuación de ondas, en ellas hay más información (por ejemplo, la información de que las ondas son transversales).

$\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = 0$

esto es lo mismo que decir esto?

$\dst \frac{\partial E_x}{\partial x}= 0$

$\dst \frac{\partial E_y}{\partial y}= 0$

$\dst \frac{\partial E_z}{\partial z}= 0$

No, no es lo mismo, ni mucho menos. Ahora bien, fíjate que cada uno de los tres términos sólo tiene la derivada respecto de una coordenada. Por lo tanto, la derivada será cero si la dependencia es con otra coordenada. Eso es lo que nos pasaba recién: si $E_y$ depende sólo de x, su derivada respecto y es cero y automáticamente ese término desaparece de la ecuación.

Pareciera que siempre cada componente es constante entonces independientemente de la direccion en que se propague la onda.... y esto no puede ser , que estoy haciendo mal?

Ademas sigo sin entender porque la onda tiene que oscilar en una direccion que sea perpendicular a la direccion de propagacion?(porque es una onda transversal, pero bueno porque es una onda tranversale? ) o sea porque E es perpendicular a la direccion de propagacion?

Porque lo dicen las ecuaciones de Maxwell. ¿Quieres que te haga la demostración matemática?

[LauraLopez]

Re: ecuacion de ondas a partir de maxwell

no no, no quiero la demostracion matematica, pero esto post me ayudo mucho porque logre entender algo!!! y esto me aclara muchas cosas :

Decime si entendi bien: Vamos a suponer que el campo tiene componente en x,y,z

Decir que se propaga en x entonces implica que las componentes son asi : $E_x(x)$ , $E_y(x)$ , $E_z(x)$ no?

Cuando yo pensaba que era asi : $E_x(x)$ , $E_y(y)$ , $E_z(z)$

Entonces ahora aprendido esto :

Ya comprendi el porque si se propaga por ejemplo en x va a implicar que solamente las derivadas respecto a x sean las que son distintas de cero, porque justamente la onda esta variando (propagandose) en dicho eje . En los demas ejes la onda es constante o no tiene variacion por ende es claro que las derivadas respecto a esos ejes seran ceros. Esta bien no?

La otra duda que tenia era porque el campo debe ser perpendicular a la direccion de propagacion:
La respueta seria :

Esto se debe a que las ecuaciones de maxwell lo exigen. O sea el campo puede tener una componente que sea paralela a la direccion de propagacion , pero dicha componente tendra que ser constante, no podra oscilar, las componentes que oscilen seran perpendiculares a la direccion de propagacion.
Esto se demuestra usando la ecuacion de maxwell de la ley de gauss como me indicaste antes. Si tengo componentes en x,y,z y me estoy propagando en x implica que $E_x(x)$ , $E_y(x)$ , $E_z(x)$ con lo cual

$\frac{\partial E_y(x)}{\partial y } = 0$

$\frac{\partial E_z(x)}{\partial z } = 0$

Asi que no queda otra ( planteando la igualdad de la ley de gauss (divergencia igual a cero ) ) de que $\dst \frac{\partial E_x}{\partial x} = 0$ o sea que la componente paralela a la direccion de propagacion es constante.

Bueno si esto que pongo es correcto ahi entendi que las ecuaciones de maxwell obligan a que las componentes paralelas a la direccion de propagacion sean constantes.
Sin embargo lo que yo queria demostrar es que el campo E es perpendicular a la direccion de propagacion. No se si es porque ya me marie con tantos conceptos pero esto no lo veo.... o sea ya comprendi que las componentes paralelas son constantes por ende no oscilan, ahora me faltaria que me explique porque entonces se dice que la componente del campo tiene que ser perpendicular a la direccion de propagacion, por ejemplo porque no es un intermedio? o sea ni paralela, ni perpendicular?