Otras carreras circuito de segundo orden

[LauraLopez]

A) Escriba una ecuacion diferencial de segundo orden que se satisfaga para v_1

B) Escriba una ecuacion diferencial de segundo orden que se satisfaga para v_2

Alguna ayuda? nose como es la forma de resolverlo

Gracias

[arivasm]

Re: circuito de segundo orden

La idea es que el comportamiento del condensador viene condicionado por $\dst v_C=\frac{Q}{C}$. Como la carga del condensador no es una variable cómoda, preferimos manejar la intensidad de la corriente de carga,

$$\dst I_C=\frac{\dd Q}{\dd t}=C \frac{\dd v_c}{\dd t}$$

Por otra parte, la autoinducción cumple

$$\dst v_L=\frac{\dd I_L}{\dd t}$$

En un circuito con condensador y autoinducción, como el del enunciado, tendríamos entonces que manejar intensidades y sus derivadas, o voltajes y sus derivadas.

Si decidimos manejar intensidades, (2) se nos transforma una integral en los potenciales. Si manejamos sus derivadas, (1) se nos convierte en una segunda derivada.

Quizá la mejor manera de verlo es que plantees las ecuaciones de este circuito que te piden. Comprobarás que sucede lo que te acabo de decir.

[LauraLopez]

Re: circuito de segundo orden

mmm sigo sin comprender cual es el proceso o metodologia a seguir para resolver el ejercicio no se que hacer

- - - Actualizado - - -

que significa encontrar una ecuacion diferencial de segundo orden que se satisfaga para v_1?

[arivasm]

Re: circuito de segundo orden

Escribe tus ecuaciones para el circuito y lo vemos.

[LauraLopez]

Re: circuito de segundo orden

La unica ecuacion que se me ocurre hacer es aplicar analisis nodal a v1 que llego a :

$\dst (1 + 1 + \frac{1}{ 4}) v_1 - \frac{1}{4 } v_2 = 5$

esta ecuacion esta bien?

que mas puedo hacer despues?

[arivasm]

Re: circuito de segundo orden

Yo lo plantearía así (seguro que hay otros enfoques): usaré estas intensidades


Las ecuaciones del circuito serían

$$\notcien{5}{-3}=i_1+i_2+i_3$$

$$v_1=1000 i_1$$

$$\dst v_1=1\frac{\dd i_2}{\dd t}$$

$$v_2-v_1=4000 i_3$$

$$v_2=2000 i_4$$

$$i_3=i_4+i_5$$

$$\dst i_5=\notcien{2}{-6}\frac{\dd v_2}{\dd t}$$

Confieso que tengo dudas con el signo menos en (3).

La idea es que tenemos 7 ecuaciones y 7 incógnitas (las 5 intensidades y los dos potenciales). Como queremos quedarnos con uno de éstos, vamos a eliminar las intensidades. Podemos usar directamente (2), (4) y (5):

$$\dst\notcien{5}{-3}=\notcien{1}{-3}v_1+i_2+\notcien{2,5}{-4}v_2-\notcien{2,5}{-4}v_1$$

$$\dst v_1=1\frac{\dd i_2}{\dd t}$$

$$\dst \notcien{2,5}{-4}v_2-\notcien{2,5}{-4}v_1=\notcien{5}{-4}v_2+i_5$$

$$\dst i_5=\notcien{2}{-6}\frac{\dd v_2}{\dd t}$$

Está claro que la $i_5$ la podemos eliminar metiendo en juego (7):

$$\dst\notcien{5}{-3}=\notcien{7,5}{-4}v_1+i_2+\notcien{2,5}{-4}v_2$$

$$\dst v_1=1\frac{\dd i_2}{\dd t}$$

$$\dst \notcien{2,5}{-4}v_2-\notcien{2,5}{-4}v_1=\notcien{5}{-4}v_2+\notcien{2}{-6}\frac{\dd v_2}{\dd t}$$

Casi mejor arreglamos la (6b):

$$\dst\notcien{5}{-3}=\notcien{7,5}{-4}v_1+i_2+\notcien{2,5}{-4}v_2$$

$$\dst v_1=1\frac{\dd i_2}{\dd t}$$

$$\dst \notcien{-2,5}{-4}v_2-\notcien{2,5}{-4}v_1=\notcien{2}{-6}\frac{\dd v_2}{\dd t}$$

Ahora viene la clave del problema: ¿cómo sacamos fuera de juego la $i_2$? La única manera es derivar (1a') y substituir (3):

$$\dst 0=\notcien{7,5}{-4}\frac{\dd v_1}{\dd t}+v_1+\notcien{2,5}{-4}\frac{\dd v_2}{\dd t}$$

$$\dst \notcien{-2,5}{-4}v_2-\notcien{2,5}{-4}v_1=\notcien{2}{-6}\frac{\dd v_2}{\dd t}$$

¿Y ahora? Podemos despejar $v_1$ en (6b)

$$v_1=-v_2-\notcien{8}{-3}\frac{\dd v_2}{\dd t}$$

y substituir en (1b). Como en ésta última aparece la derivada de $v_1$ tenemos una ecuación diferencial de segundo orden:

$$\dst -\notcien{7,5}{-4}\frac{\dd v_2}{\dd t}-\notcien{6}{-6}\frac{\dd^2 v_2}{\dd t^2}-v_2-\notcien{8}{-3}\frac{\dd v_2}{\dd t}+\notcien{2,5}{-4}\frac{\dd v_2}{\dd t}=0$$

Es muy posible que me haya equivocado, sobre todo tecleando valores. Quédate con la idea.

[Al2000]

Re: circuito de segundo orden

Warning!: No lo he hecho y no lo voy a hacer, tan solo propongo la idea.

Como son muchos menos nodos que ramas, propongo usar el método de los nodos y escribir las dos ecuaciones:

- Nodo 1: $\dst -I + \frac {v_1}{R_1} + I_L + \frac {v_1 - v_2}{R_4} = 0$

- Nodo 2: $\dst \frac {v_2 - v_1}{R_4} + \frac {v_2}{R_2} + I_C = 0$ con las definiciones ya indicadas por Antonio, $\dst v_1 = L \frac {d I_L}{dt}$ y $\dst I_C = C \frac {d v_2}{dt}$. Derivar la primera para eliminar $I_L$ y despejar de la segunda $v_1$ para eliminarla de la primera (junto con su derivada). Debería llegarse a la misma ecuación.

Saludos,

Al

[arivasm]

Re: circuito de segundo orden

Veo que el signo - delante de la ecuación de la inducción sobra. Procedo a quitarlo.

Con respecto a lo que dice Al, es de lógica aplastante.

[LauraLopez]

Re: circuito de segundo orden

Antonio: con lo que hiciste vos a lo que llegas es a la ecuacion diferencial para v_2 no? o sea hiciste el inciso b? con respecto a la forma de resolverlo masomenos segui los pasos y creo entenderlos aunque si es verdad que es muy largo.

Al: la forma que vos propones de hacerlo parece mas sencilla quiero intentar hacerlo de esa forma y ver si llego al mismo resultado que antonio, a que llamas metodo de los nodos? es lo que yo llamo analisis nodal? yo aplicando analisis nodal al nodo 1 que supongo que es el nodo que se llama v_1 llego a la ecuacion que comente antes que veo es distinta a la tuya, esa ecuacion mia esta mal? como se llega a tus ecuaciones? como es el metodo que aplicas?

Me respondo sola crea que la forma que propone Al es lo que yo llamo analisis nodal, igual sigo con dudas .

Para que sea mas facil uso la siguiente notacion :

$I = 5 m A$
$R_1 = 1 K \Omega$
$R_2 = 4 K \Omega$
$R_3 = 2 K \Omega$
$L = 1 H$
$C = 2 \mu F$

Y planteo las ecuaciones que son :

$\dst I = \frac{v_1}{R_1 } + i_L + \frac{v_1 - v_2}{R_2 }$

$\dst \frac{v_1 - v_2}{R_2 } = \frac{v_2}{R_3 } + i_c$

$\dst i_c = C \frac{d v_2}{dt }$

$\dst i_L = \frac{1}{L } \int_0^t v_1(t) dt + i(0)$

Estas ecuaciones son correctas? yo creo que si mi pregunta ahora es cual es la metodologia a seguir para resolver el inciso a? o sea encontrar una ecuacion diferencial de segundo orden para v_1 ?

[arivasm]

Re: circuito de segundo orden

Haz lo que te dije antes: substituye $i_c$ e $i_L$ y despeja la variable $v_i$ que te interese. Te quedará una ecuación en la que se mezcla esa variable con su derivada y su integral. Para no manejar esta última derivas respecto del tiempo y entonces tienes una ecuación de segundo orden, pues aparecerá la variable, su derivada y su segunda derivada.

[LauraLopez]

Re: circuito de segundo orden

mmm a ver hice eso de reemplazar los valores de corriente y tengo entonces en lugar de 4 ecuaciones 2 ecuaciones que son :

$\dst v_1 = C \frac{d v_2}{dt } + \frac{R_2 + R_3}{R_2 R_3 } v_2$

$\dst \frac{1}{L } \int_0^t v_1(t) dt + i(t_0) + \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2 } v_1 - \frac{v_2}{R_2 } = I$

Luego derivo la segunda ecuacion para obtener :

$\dst \frac{1}{L } v_1 + \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2 } \frac{d v_1}{dt } - \frac{1}{R_2 } \frac{d v_2}{dt } = 0$

Estoy haciendo bien?

no se como continuar ahora no veo como llegar a una ecuacion de segundo orden....

- - - Actualizado - - -

lo que necesito es una ecuacion diferencial de segundo orden para v_1 ..... no veo como llegar a eso

[arivasm]

Re: circuito de segundo orden

Puedes substituir $v_1$, que tienes en la primera ecuación, en la segunda.

$\dst \frac{C}{L } \frac{d v_2}{dt } + \frac{R_2 + R_3}{L R_2 R_3 } v_2 + \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2 } \left( C \frac{d^2 v_2}{dt^2 } + \frac{R_2 + R_3}{R_2 R_3 } \frac{d v_2}{d t}\right) - \frac{1}{R_2 } \frac{d v_2}{dt } = 0$

Para tener una ecuación en $v_1$ despejas $v_2$ en la segunda que has escrito, pero sin derivar, y la substituyes en la primera, y después derivas para deshacerte de la integral.

[LauraLopez]

Re: circuito de segundo orden

despejo v_2 de la segunda o despejo la derivada de v_2 de la segunda? la segunda o la tercera que puse te referis?

quiero hacer el inciso a primero

No se si estoy haciendo bien siguiendo con la idea de hacer el inciso (a) tengo que :

$\dst \frac{d v_2}{dt } = R_2 \frac{v_1}{L } + \frac{R_1 + R_2}{R_1 } \frac{d v_1}{dt }$

entonces

$\dst v_2 = \frac{R_2}{L }\int_0^t v_1(t) dt + \frac{R_1 + R_2}{R_1 } v_1$

esto es lo que me decias hacer? y ahora como sigo?

si sustituyo esto en mi primera ecuacion no me queda todo en funcion de v_1 porque sigue estando el termino de la derivada de v_2 y ademas me aparece el termino de la integral de v_1..... como hago para que desaparezca la derivada de v_2 asi queda todo en funcion de v_1 ? que dificil es todo esto

[arivasm]

Re: circuito de segundo orden

$\dst v_2=\frac{R_2}{L } \int_0^t v_1(t) dt + R_2 i(t_0) + \frac{R_1 + R_2}{R_1} v_1 - I R_2$

y substituyes en

$\dst v_1 = C \frac{d v_2}{dt } + \frac{R_2 + R_3}{R_2 R_3 } v_2$

y luego derivas, para deshacerte de la integral.

Por supuesto, otra posibilidad es derivar antes las dos y substituir la derivada de $v_2$ en la segunda, teniendo en cuenta que la segunda derivada es la derivada de la derivada. Es decir

$\dst \frac{\dd v_2}{\dd t}=\frac{R_2}{L } v_1(t) + \frac{R_1 + R_2}{R_1} \frac{\dd v_1}{\dd t}$

y substituir en

$\dst \frac{\dd v_1}{\dd t} = C \frac{d}{dt }\frac{\dd v_2}{\dd t} + \frac{R_2 + R_3}{R_2 R_3 } \frac{\dd v_2}{\dd t}$

[LauraLopez]

Re: circuito de segundo orden

mmmm ufa lo hice pero no llego a lo mismo que tu post 6. y son tantas cuentas y tantas cosas raras ( nuevas para mi) que sospecho que puede tener varios errores, es mas sencillo encontrar la solucion para el inciso (b) que es de hecho la ecuacion 12 de tu post que al reemplazar por valores numericos no da lo mismo que tu solucion inicial que habias dado