problema ondas

[China]

Buenas, respecto a este problema, "Se agita el extremo de una cuerda con una frecuencia de 2 Hz y una amplitud de 3 cm. Si la perturbación se propaga con una velocidad de 0,5 m/s, escribe la expresión que representa el movimiento por la cuerda."
la solución que a mi me sale es $y=0,03 sen4 \pi (2x-t)$ y sin embargo la solución que acompaña al problema es $y=0,03 cos4 \pi (t-2x)$ valen las dos no?

[Alriga]

Faltan datos. No te dicen si hay que considerar que la onda se desplaza de izquierda a derecha (sentido positivo del eje de las x) o de derecha a izquierda (sentido negativo del eje de las x). Tampoco te dicen cuál es la fase inicial.

$T=\dfrac 1 f=0.5 \, s$

$\lambda = \dfrac c f =0.25 \, m$

Con los datos que tenemos solo podemos afirmar:

Que si se considera que la onda se desplaza de izquierda a derecha se cumple cualquiera de las dos siguientes expresiones, pongo una en forma coseno y otra en forma seno:

$$y(x, t)=0.03 \cos(8\pi x - 4\pi t +\phi_0)$$

$$y(x, t)=0.03 \sin(8\pi x - 4\pi t +\psi_0)$$

Que si se considera que la onda se desplaza de derecha a izquierda se cumple cualquiera de las dos siguientes expresiones, pongo una en forma coseno y otra en forma seno:

$$y(x, t)=0.03 \cos(8\pi x + 4\pi t +\phi_0')$$

$$y(x, t)=0.03 \sin(8\pi x + 4\pi t +\psi_0')$$

Mira un ejercicio similar en el hilo Ondas

Saludos.

PD. Ten en cuenta que debido a identidades trigonométricas de tipo:

$$\cos x=\cos (-x)$$

$$\sin x=\sin \left ( \pi-x\right )$$

$$\cos x=\sin \left ( \dfrac{\pi}2-x\right )$$

$$\cos x=\sin \left ( \dfrac{\pi}2+x\right )$$

$$\sin x=\cos \left ( \dfrac{\pi}2-x\right )$$

$$\dots \text{etc} \dots$$

Hay más posibilidades que las que he enumerado de (1) a (4) arriba. Por ejemplo si a la expresión (1) le aplicamos la identidad (5) resulta que:

$y(x, t)=0.03 \cos(8\pi x - 4\pi t +\phi_0)=0.03 \cos(4\pi t-8\pi x-\phi_0)$

etc...

[China]

Buenas, recupero ese hilo para ver si me podéis resolver una duda concreta: ecuación de una onda de A=4m w=2pi k=pi/2 y en t=0 x=0 y=A y desplazamiento a la derecha. cómo se cual de estas dos es la correcta: y=4 sen (2pit-pi/2x+pi/2) o y=4 sen (pi/2x-2pit+pi/2) ??? gracias

[JCB]

Hola a tod@s.

La ecuación del movimiento ondulatorio es $y(x, t)=A\sin(\omega t-kx+\phi)$, para una onda que se desplaza hacia la derecha (sentido positivo del eje $X$).

¿ Por qué el signo menos ?.

Para que se repita la fase: $\omega t_1-kx_1+\phi=\omega t_2-kx_2+\phi$. Simplificando y ordenando términos,

$\omega(t_1-t_2)=k(x_1-x_2)$. Como $t_1-t_2<0$, se debe cumplir $x_1-x_2<0$, $x_2>x_1$. La onda se desplaza hacia la derecha.

Para el caso concreto que nos ocupa:

$y(x, t)=4\sin(2\pi t-\dfrac{\pi}{2}x+\dfrac{\pi}{2})$

Saludos cordiales,
JCB.

[China]

Hola, muchas gracias, si eso es normalmente como lo hago pero la cuestión es que me encuentro muchas veces la ecuación escrita y= 4Sen(pi/2x-2pit+pi/2), se supone que vale igual empezar por el término en x y restar el de t y esa también va hacia la derecha, esa es mi duda cuando escribirla de un modo o de otro. Gracias

[Richard R Richard]

Hola, muchas gracias, si eso es normalmente como lo hago pero la cuestión es que me encuentro muchas veces la ecuación escrita y= 4Sen(pi/2x-2pit+pi/2), se supone que vale igual empezar por el término en x y restar el de t y esa también va hacia la derecha, esa es mi duda cuando escribirla de un modo o de otro. Gracias

Hola China , las ecuaciones que propones son equivalentes o indistintas solo cuando el ángulo de desfase adicional es $\pi/2$
la dos mueven a derecha (en sentido x positivas) cuando varias el tiempo t en sentido positivo.

¿Por qué solo con ese ángulo?..., porque se cumple que $\sin (\theta+\phi)=\sin (\theta+\pi/2) = cos(\theta)=cos(-\theta)$ si tu varias el desfase inicial , las dos ondas se mueven con igual velocidad frecuencia y número de onda pero el desface para un ($x,t)$ dado es variable, puedes tener otra relación fija cuando el desfase inicial es nulo entonces entonces viajan desfasadas 180 grados es decir $y_1=a\sin(\theta)=-a\sin(-\theta)=-y_2$

para que una onda viaje en sentido contrario (a izquierda en este caso) ambos signos de la ecuación deben ser iguales.

$y_1=4\sin(x\pi/2-2\pi t+\phi)$ mueve a derecha lo mismo que
$y_2=4\sin(-x\pi/2+2\pi t+\phi)$ , son la misma onda solo si $\phi=\pi k +\pi/2 \quad \forall k\in \mathbb Z$ y son la misma onda invertida en fase 180 solo si $\phi=\pi k \quad \forall k\in \mathbb Z$

pero

$y_3=4\sin(x\pi/2+2\pi t+\phi)$ mueve a izquierda lo mismo que
$y_4=4\sin(-x\pi/2-2\pi t+\phi)$ , son la misma onda solo si $\phi=\pi k +\pi/2 \quad \forall k\in \mathbb Z$ y son la misma onda invertida en fase 180 solo si $\phi=\pi k \quad \forall k\in \mathbb Z$

[China]

Gracias, me quedan algunas cosas más claras, pero me dices que y1 y y2 son iguales solo si la fase inicial es pi/2 y luego pones que son iguales si la fase inicial es pik+pi/2 y eso ya no lo entiendo y además si tomamos las dos ecuaciones las damos valores por ejemplo x=2 y t=2 y la fase inicial es pi radianes, al operar también resultan iguales.