problema ondas

[China]

Buenas, respecto a este problema, "Se agita el extremo de una cuerda con una frecuencia de 2 Hz y una amplitud de 3 cm. Si la perturbación se propaga con una velocidad de 0,5 m/s, escribe la expresión que representa el movimiento por la cuerda."
la solución que a mi me sale es $y=0,03 sen4 \pi (2x-t)$ y sin embargo la solución que acompaña al problema es $y=0,03 cos4 \pi (t-2x)$ valen las dos no?

[Alriga]

Faltan datos. No te dicen si hay que considerar que la onda se desplaza de izquierda a derecha (sentido positivo del eje de las x) o de derecha a izquierda (sentido negativo del eje de las x). Tampoco te dicen cuál es la fase inicial.

$T=\dfrac 1 f=0.5 \, s$

$\lambda = \dfrac c f =0.25 \, m$

Con los datos que tenemos solo podemos afirmar:

Que si se considera que la onda se desplaza de izquierda a derecha se cumple cualquiera de las dos siguientes expresiones, pongo una en forma coseno y otra en forma seno:

$$y(x, t)=0.03 \cos(8\pi x - 4\pi t +\phi_0)$$

$$y(x, t)=0.03 \sin(8\pi x - 4\pi t +\psi_0)$$

Que si se considera que la onda se desplaza de derecha a izquierda se cumple cualquiera de las dos siguientes expresiones, pongo una en forma coseno y otra en forma seno:

$$y(x, t)=0.03 \cos(8\pi x + 4\pi t +\phi_0')$$

$$y(x, t)=0.03 \sin(8\pi x + 4\pi t +\psi_0')$$

Mira un ejercicio similar en el hilo Ondas

Saludos.

PD. Ten en cuenta que debido a identidades trigonométricas de tipo:

$$\cos x=\cos (-x)$$

$$\sin x=\sin \left ( \pi-x\right )$$

$$\cos x=\sin \left ( \dfrac{\pi}2-x\right )$$

$$\cos x=\sin \left ( \dfrac{\pi}2+x\right )$$

$$\sin x=\cos \left ( \dfrac{\pi}2-x\right )$$

$$\dots \text{etc} \dots$$

Hay más posibilidades que las que he enumerado de (1) a (4) arriba. Por ejemplo si a la expresión (1) le aplicamos la identidad (5) resulta que:

$y(x, t)=0.03 \cos(8\pi x - 4\pi t +\phi_0)=0.03 \cos(4\pi t-8\pi x-\phi_0)$

etc...

[China]

Buenas, recupero ese hilo para ver si me podéis resolver una duda concreta: ecuación de una onda de A=4m w=2pi k=pi/2 y en t=0 x=0 y=A y desplazamiento a la derecha. cómo se cual de estas dos es la correcta: y=4 sen (2pit-pi/2x+pi/2) o y=4 sen (pi/2x-2pit+pi/2) ??? gracias

[JCB]

Hola a tod@s.

La ecuación del movimiento ondulatorio es $y(x, t)=A\sin(\omega t-kx+\phi)$, para una onda que se desplaza hacia la derecha (sentido positivo del eje $X$).

¿ Por qué el signo menos ?.

Para que se repita la fase: $\omega t_1-kx_1+\phi=\omega t_2-kx_2+\phi$. Simplificando y ordenando términos,

$\omega(t_1-t_2)=k(x_1-x_2)$. Como $t_1-t_2<0$, se debe cumplir $x_1-x_2<0$, $x_2>x_1$. La onda se desplaza hacia la derecha.

Para el caso concreto que nos ocupa:

$y(x, t)=4\sin(2\pi t-\dfrac{\pi}{2}x+\dfrac{\pi}{2})$

Saludos cordiales,
JCB.

[China]

Hola, muchas gracias, si eso es normalmente como lo hago pero la cuestión es que me encuentro muchas veces la ecuación escrita y= 4Sen(pi/2x-2pit+pi/2), se supone que vale igual empezar por el término en x y restar el de t y esa también va hacia la derecha, esa es mi duda cuando escribirla de un modo o de otro. Gracias

[Richard R Richard]

Hola, muchas gracias, si eso es normalmente como lo hago pero la cuestión es que me encuentro muchas veces la ecuación escrita y= 4Sen(pi/2x-2pit+pi/2), se supone que vale igual empezar por el término en x y restar el de t y esa también va hacia la derecha, esa es mi duda cuando escribirla de un modo o de otro. Gracias

Hola China , las ecuaciones que propones son equivalentes o indistintas solo cuando el ángulo de desfase adicional es $\pi/2$
la dos mueven a derecha (en sentido x positivas) cuando varias el tiempo t en sentido positivo.

¿Por qué solo con ese ángulo?..., porque se cumple que $\sin (\theta+\phi)=\sin (\theta+\pi/2) = cos(\theta)=cos(-\theta)$ si tu varias el desfase inicial , las dos ondas se mueven con igual velocidad frecuencia y número de onda pero el desface para un ($x,t)$ dado es variable, puedes tener otra relación fija cuando el desfase inicial es nulo entonces entonces viajan desfasadas 180 grados es decir $y_1=a\sin(\theta)=-a\sin(-\theta)=-y_2$

para que una onda viaje en sentido contrario (a izquierda en este caso) ambos signos de la ecuación deben ser iguales.

$y_1=4\sin(x\pi/2-2\pi t+\phi)$ mueve a derecha lo mismo que
$y_2=4\sin(-x\pi/2+2\pi t+\phi)$ , son la misma onda solo si $\phi=\pi k +\pi/2 \quad \forall k\in \mathbb Z$ y son la misma onda invertida en fase 180 solo si $\phi=\pi k \quad \forall k\in \mathbb Z$

pero

$y_3=4\sin(x\pi/2+2\pi t+\phi)$ mueve a izquierda lo mismo que
$y_4=4\sin(-x\pi/2-2\pi t+\phi)$ , son la misma onda solo si $\phi=\pi k +\pi/2 \quad \forall k\in \mathbb Z$ y son la misma onda invertida en fase 180 solo si $\phi=\pi k \quad \forall k\in \mathbb Z$

[China]

Gracias, me quedan algunas cosas más claras, pero me dices que y1 y y2 son iguales solo si la fase inicial es pi/2 y luego pones que son iguales si la fase inicial es pik+pi/2 y eso ya no lo entiendo y además si tomamos las dos ecuaciones las damos valores por ejemplo x=2 y t=2 y la fase inicial es pi radianes, al operar también resultan iguales.

[Richard R Richard]

Hola, si tienes razón te digo solo para tal valor y luego pongo más, en realidad infinitos valores mas, y es que las ondas coinciden cuando el argumento de desfase inicial es $\pi/2$ pero se repite periódicamente cada $\pi$, tanto si lo sumas o restas. A ver si el dominio de ese desfase va de $(-\infty, \infty)$, y lo divides en rangos de longitud $2\pi$ , por ejemplo en el rango $(-\pi,\pi]$ solo dos valores de argumento hacen que las ondas $y_1$ e $y_2$ sean iguales (desfase 0 entre ambas) y son $-\pi/2$ y $\pi/2$ que están distanciados entre si a un $\pi$ , si continuas sumando o restando $k$ veces $\pi$ a esos argumentos, también ocurre la coincidencia por la periodicidad de las funciones sinusoidales.
Del mismo modo en el mismo intervalo $(-\pi,\pi]$ cuando el argumento es o $\pi$ las ondas viajan en desfase exacto de 180 por lo tanto ocurre $y_1=-y_2$ y también pasa que si sumas o restas $k$ veces seguidas $\pi$ vuelves a conseguir los mismos desfases.

Edito: para cual cualquier otro valor de $\phi$ no sé produce una relación constante en la posición y en el tiempo al restar ambas ecuaciones.

[China]

Gracias Richard, he entendido muy bien las condiciones, para las que las ondas 1 y y2 son iguales y he comprobado con fase inicial que cumpla una condición y la otra que efectivamente en una salen iguales y otra no, pero luego encuentro otro caso en el que la fase inicial es pi/6, que no cumple con la condición que indicas para que las dos ondas sean iguales y sin embargo también los son, para pi/6 el valor de k=-1/3 que no pertenece Z, esto ya me descuadra.



Y aparte de todo, lo que sigo sin entender es cuando voy a resolver un problema en el que me dan A, w, k y el valor de y para t y x=o y me piden escribir la ecuación de onda, tanto y1 como y2, cumplirán las condiciones del problema, pero serán iguales o no dependiendo del valor que se obtiene para la fase inicial, por tanto cuál elijo, yo habitualmente uso y=Asen(kx-wt+ ) pero igual me encuentro un problema resuelto y está resuelto como y=Asen(wt-kx+ ) estaría mal??

[Richard R Richard]

pero luego encuentro otro caso en el que la fase inicial es pi/6, que no cumple con la condición que indicas para que las dos ondas sean iguales y sin embargo también los son, para pi/6 el valor de k=-1/3 que no pertenece Z, esto ya me descuadra.

Cuando la fase inicial no es $\pi/2$, entonces las ondas de la forma (kx-wt) o (wt-kx) van a viajar a derecha , pero desfasadas, cuando a $y_1$ le pongas como fase inicial $\phi=\pi/6$ va a coincidir con $y_2$ con fase inicial $\phi'=\pi/6$ , pero las ondas se estaran cruzando cuando una esta ascediendo la otra estara descendiendo siempre hay otro valor de fase inicial llamémosle $\phi'$ que cumple que en el instante inicial se de que $y_1=y_2$ y que esto se repita periódicamente 2 veces por periodo

Veamos $y_1=a\sin(kx-wt+\phi)=a\sin(kx-wt+\phi+2\pi n)=a\sin(wt-kx+\phi')=y_2$ para que esto suceda los argumentos de los senos debe igualarse luego $\phi'=\phi+2kx-2wt+2\pi n$ con $n\in\mathbb Z$ con lo que ves que para cada par de posición y tiempo $(x,t)$ que te propongas si das un desfase inicial para una onda, va a existir otro para la otra que coincida en esa altura, una pequeña variación de tiempo o posición y ya no hay coincidencia pues las ondas están desfasadas, es decir estas calculando el encuentro de las trayectorias sinusoidales y siempre hay dos cruces en un periodo o en una longitud de onda. Entonces si tomas $\phi'=\phi+2kx-2wt+2\pi n$ para n=0,t=0 y x=0 entonces $\phi'=\phi$ y esto es independiente del valor de $\phi$ que si es $\pi/2$ entonces las ondas son iguales o la misma onda, condicen en todos sus puntos todo el tiempo, y si $\phi\neq \pi/2$ entonces se cruzan periódicamente a la altura $y=y_1=y_2=a\sin(\phi)$ y sucederá 2 veces por periodo, el otro cruce sucede en $y=y_1=y_2=-a\sin(\phi)$ , reitero que las ondas estarán desfasadas siendo entonces distintas ondas pero viajando en la misma dirección y sentido, dándose el primer cruce a tiempo 0 y posición 0.

Y aparte de todo, lo que sigo sin entender es cuando voy a resolver un problema en el que me dan A, w, k y el valor de y para t y x=o y me piden escribir la ecuación de onda, tanto y1 como y2, cumplirán las condiciones del problema, pero serán iguales o no dependiendo del valor que se obtiene para la fase inicial, por tanto cuál elijo,

Ambas ondas de la forma (kx-wt) o (wt-kx) cumplen, pero aveces te dan una condición mas sobre la velocidad en alguna otra posición y tiempo que te puede hacer derivar la decisión para una u otra, solo tienes una onda y nada que decidir cuando el desfase es $\pi/2$ porque los cosenos coinciden, pero si no es $pi/2$ como los cosenos no coinciden habrá desfase , por lo tanto 2 ondas, pero con la condición extra puedes decidir cual de las dos es la que se adapta al problema.

yo habitualmente uso y=Asen(kx-wt+ ) pero igual me encuentro un problema resuelto y está resuelto como y=Asen(wt-kx+ ) estaría mal??

No esta mal mientras no haya condiciones extras que te hagan decidir por una u otra onda, ambas satisfacen los datos del enunciado. Una condición extra te sirve para zanjar el tema, mientras que con ese dato extra que te den ambas ondas no coincidan en justo en posición y tiempo.

Resumiendo si a ti te dan $A, w, k$ y el valor de $y_0$ para $t=0$ y $x=0$, siempre hay dos ondas que allí se cruzan es decir que satisfacen pasar por esa posición y tiempos iniciales, una con (kx-wt) y otra con (wt-kx), que viajan en la misma direccióny sentido, además si el desfase inicial es $$\pi /2$$ se trata de una única onda ya que ambas coinciden (su ecuación en forma de coseno es equivalente). Si observas esto se da solo cuando $y_0=A$ y lo opuesto $y_1=-y_2$ se da con $\phi=0$ ya que a tiempo cero $y_0=0=y_1=-y_2$