Anuncio

Colapsar
No hay ningún anuncio todavía.

Mas sobre autovalores y autovectores

Colapsar
X
 
  • Filtro
  • Hora
  • Mostrar
Borrar todo
nuevos mensajes

  • Divulgación Mas sobre autovalores y autovectores

    Buenas noches; planteo el siguiente problema.
    Sea la Matriz

    a) Calcular autovalores
    b) Calcular autovectores
    Intento resolverlos, pero creo que en algo me estoy columpiando.
    Veamos considero la matriz como una matriz cuadrada 3 x 3 (no estoy ahora muy seguro de si esto es correcto o no). Obtengo una serie de autovalores a saber;


    Con lo cual tendría tres autovectores (uno para y dos para ) sin embargo cuando trato de definir los autovectores algo no me cuadra. Para el vector correspondiente a me sale el siguiente sistema de ecuaciones a saber;
    X+0Y+0Z=0
    0X+Y+0Z=0
    0X+0Y+0Z=0
    Lo cual es compatible con los valores X=Y=0 y Z=1, por tanto vector 1

    Para me sale lo siguiente;


    Lo cual me lleva a;
    2x+0y+0z=0
    0x+2y+0z=0
    0x+0y+z=0
    Esto me lleva a soluciones que son incompatibles con el vector primero, ya que todos deben de ser linealmente independientes y en este cado no lo son. ¿Dónde me equivoco?
    Cuando aumenta nuestro área de conocimiento aumenta nuestro perímetro de ignorancia (autor desconocido)
    No tengo talento, lo que hago, lo hago solo con mucho trabajo Maria Blanschard (Pintora)

  • #2
    Re: Mas sobre autovalores y autovectores

    Buenas noches.

    Escrito por inakigarber Ver mensaje
    Veamos considero la matriz como una matriz cuadrada 3 x 3 (no estoy ahora muy seguro de si esto es correcto o no).
    Sí, es correcto, pero evidente. ¿Porqué destacas que la matriz sea cuadrada? Para diagonalizar siempre lo va a ser. Me da que detrás de esta afirmación hay algún razonamiento extraño. O igual te has confundido y te refieres a que la matriz es diagonal. Eso sí es relevante porque los valores propios ya los tienes sin tener que hacer la faena del polinomio característico.

    Escrito por inakigarber Ver mensaje
    2x+0y+0z=0
    0x+2y+0z=0
    0x+0y+z=0
    Esto me lleva a soluciones que son incompatibles con el vector primero, ya que todos deben de ser linealmente independientes y en este cado no lo son. ¿Dónde me equivoco?
    Si sumas las tres ecuaciones obtienes . Despejando obtenemos . Tres incógnitas y una ecuación, así pues hemos de encontrar dos vectores. Las dos soluciones linealmente independientes son y . A su vez estos dos vectores son linealmente independientes con (puedes verlo a simple vista por la posición de los ceros).

    Espero haberte ayudado.
    Última edición por Weip; 06/07/2015, 21:35:03.
    \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epsilon_0}

    Comentario


    • #3
      Re: Mas sobre autovalores y autovectores

      Escrito por inakigarber Ver mensaje
      Para me sale lo siguiente;

      Si no me equivoco, para entonces:




      Luego obtendrías que una base del subespacio propio asociado al valor propio es
      I_{ij}=\sum_{\alpha}m_{\alpha}\left[ \delta_{ij}\sum_{k}x_{\alpha k}^2-x_{\alpha i}x_{\alpha j}\right]

      Comentario


      • #4
        Re: Mas sobre autovalores y autovectores

        Escrito por frunciopilato Ver mensaje
        Si no me equivoco, para entonces:




        Luego obtendrías que una base del subespacio propio asociado al valor propio es
        Pues ahí tienes razón. Yo fui directamente a la ecuación y no me fijé.
        \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epsilon_0}

        Comentario


        • #5
          Re: Mas sobre autovalores y autovectores

          Escrito por Weip Ver mensaje
          Buenas noches.


          Sí, es correcto, pero evidente. ¿Porqué destacas que la matriz sea cuadrada? Para diagonalizar siempre lo va a ser. Me da que detrás de esta afirmación hay algún razonamiento extraño. O igual te has confundido y te refieres a que la matriz es diagonal. Eso sí es relevante porque los valores propios ya los tienes sin tener que hacer la faena del polinomio característico.


          Si sumas las tres ecuaciones obtienes . Despejando obtenemos . Tres incógnitas y una ecuación, así pues hemos de encontrar dos vectores. Las dos soluciones linealmente independientes son y . A su vez estos dos vectores son linealmente independientes con (puedes verlo a simple vista por la posición de los ceros).

          Espero haberte ayudado.
          Muchas gracias, me has servido der ayuda.
          Respecto a la primera pregunta, al tener la matriz A la última fila y la última columna toda a ceros no estaba seguro de si se trataba de una matriz cuadrada de 3 x 3 o de 2 x 2.
          Por lo que respecta a la segunda parte, no había pensado que sumando las tres ecuaciones obtendría una cuarta ecuación que si cumpliría la condición de poder crear dos autovectores linealmente independientes. El hecho de que el autovalor "origen" desde el que se obtienen los autovectores se repita dos veces implica que deben obtenerse dos autovectores ¿es así?
          Saludos y muchas gracias.
          Buenas noches.
          Cuando aumenta nuestro área de conocimiento aumenta nuestro perímetro de ignorancia (autor desconocido)
          No tengo talento, lo que hago, lo hago solo con mucho trabajo Maria Blanschard (Pintora)

          Comentario


          • #6
            Re: Mas sobre autovalores y autovectores

            Escrito por inakigarber Ver mensaje
            El hecho de que el autovalor "origen" desde el que se obtienen los autovectores se repita dos veces implica que deben obtenerse dos autovectores ¿es así?
            El número de veces que se repite el factor con raiz el autovalor en el polinomio característico se denomina multiplicidad aritmética, que puede ser simple, doble, etc..., para que la matriz pueda ser diagonalizable entonces la multiplicidad aritmética y la multiplicidad geométrica deben coincidir. La multiplicidad geométrica es la dimensión del subespacio propio asociado al valor propio, luego si ocurre esto, la matriz es diagonalizable, si no, no lo será. Un saludo.
            Última edición por frunciopilato; 06/07/2015, 22:05:06.
            I_{ij}=\sum_{\alpha}m_{\alpha}\left[ \delta_{ij}\sum_{k}x_{\alpha k}^2-x_{\alpha i}x_{\alpha j}\right]

            Comentario


            • #7
              Re: Mas sobre autovalores y autovectores

              Escrito por inakigarber Ver mensaje
              El hecho de que el autovalor "origen" desde el que se obtienen los autovectores se repita dos veces implica que deben obtenerse dos autovectores ¿es así?
              En general eso no lo sabes. Si coincide la matriz diagonaliza, sino no. En este caso como te dan una matriz diagonal pues sí coincidirán, pero el 99% de veces la matiz no será tan sencilla y eso no lo sabrás de antemano. Para saber cuantos autovectores han de salir de un sistema de ecuaciones has de hacer incógnitas menos ecuaciones. En el caso de 0 que ha sido un caso fallido tenemos 3 incógnitas y una ecuación con lo que obtenemos 3-1=2 vectores propios.
              Última edición por Weip; 06/07/2015, 22:05:28.
              \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epsilon_0}

              Comentario


              • #8
                Re: Mas sobre autovalores y autovectores

                Escrito por Weip Ver mensaje
                Pues ahí tienes razón. Yo fui directamente a la ecuación y no me fijé.
                Veo que con los signos también metí la pata.
                Cuando aumenta nuestro área de conocimiento aumenta nuestro perímetro de ignorancia (autor desconocido)
                No tengo talento, lo que hago, lo hago solo con mucho trabajo Maria Blanschard (Pintora)

                Comentario

                Contenido relacionado

                Colapsar

                Trabajando...
                X