Divulgación Mas sobre autovalores y autovectores

[inakigarber]

Buenas noches; planteo el siguiente problema.
Sea la Matriz
$A=\left( \begin{matrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& 0 \end{matrix} \right)$
a) Calcular autovalores
b) Calcular autovectores
Intento resolverlos, pero creo que en algo me estoy columpiando.
Veamos considero la matriz como una matriz cuadrada 3 x 3 (no estoy ahora muy seguro de si esto es correcto o no). Obtengo una serie de autovalores a saber;
$\lambda=0$ $m=1$
$\lambda=1$ $m=2$
Con lo cual tendría tres autovectores (uno para $\lambda=0$ y dos para $\lambda=1$) sin embargo cuando trato de definir los autovectores algo no me cuadra. Para el vector correspondiente a $\lambda=0$ me sale el siguiente sistema de ecuaciones a saber;
X+0Y+0Z=0
0X+Y+0Z=0
0X+0Y+0Z=0
Lo cual es compatible con los valores X=Y=0 y Z=1, por tanto vector 1
$V_1=(0,0, 1)$
Para $\lambda=1$ me sale lo siguiente;
$\left( \begin{matrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& 0 \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix}-1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0& -1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0& 1 \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix}2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0& 1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}x\\ y\\z\end{matrix} \right)=0$
Lo cual me lleva a;
2x+0y+0z=0
0x+2y+0z=0
0x+0y+z=0
Esto me lleva a soluciones que son incompatibles con el vector primero, ya que todos deben de ser linealmente independientes y en este cado no lo son. ¿Dónde me equivoco?

[Weip]

Re: Mas sobre autovalores y autovectores

Buenas noches.

Veamos considero la matriz como una matriz cuadrada 3 x 3 (no estoy ahora muy seguro de si esto es correcto o no).

Sí, es correcto, pero evidente. ¿Porqué destacas que la matriz sea cuadrada? Para diagonalizar siempre lo va a ser. Me da que detrás de esta afirmación hay algún razonamiento extraño. O igual te has confundido y te refieres a que la matriz es diagonal. Eso sí es relevante porque los valores propios ya los tienes sin tener que hacer la faena del polinomio característico.

2x+0y+0z=0
0x+2y+0z=0
0x+0y+z=0
Esto me lleva a soluciones que son incompatibles con el vector primero, ya que todos deben de ser linealmente independientes y en este cado no lo son. ¿Dónde me equivoco?

Si sumas las tres ecuaciones obtienes $2x+2y+z=0$. Despejando obtenemos $z=-2(x+y)$. Tres incógnitas y una ecuación, así pues hemos de encontrar dos vectores. Las dos soluciones linealmente independientes son $(1, 0, -2)$ y $(1, 1, -4)$. A su vez estos dos vectores son linealmente independientes con $(0, 0, 1)$ (puedes verlo a simple vista por la posición de los ceros).

Espero haberte ayudado.

[frunciopilato]

Re: Mas sobre autovalores y autovectores

Para $\lambda=1$ me sale lo siguiente;
$\left( \begin{matrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& 0 \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix}-1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0& -1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0& 1 \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix}2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0& 1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}x\\ y\\z\end{matrix} \right)=0$

Si no me equivoco, para $\lambda=1$ entonces:

$\left( \begin{matrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& 0 \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& 1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0& -1 \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0& -1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}x\\ y\\z\end{matrix} \right)=0$

Luego obtendrías que una base del subespacio propio asociado al valor propio $\lambda=1$ es $B_{V_{1}}=\{(1,0,0);(0,1,0)\}$

[Weip]

Re: Mas sobre autovalores y autovectores

Si no me equivoco, para $\lambda=1$ entonces:

$\left( \begin{matrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& 0 \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& 1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0& -1 \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0& -1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}x\\ y\\z\end{matrix} \right)=0$

Luego obtendrías que una base del subespacio propio asociado al valor propio $\lambda=1$ es $B_{V_{1}}=\{(1,0,0);(0,1,0)\}$

Pues ahí tienes razón. Yo fui directamente a la ecuación y no me fijé.

[inakigarber]

Re: Mas sobre autovalores y autovectores

Buenas noches.


Sí, es correcto, pero evidente. ¿Porqué destacas que la matriz sea cuadrada? Para diagonalizar siempre lo va a ser. Me da que detrás de esta afirmación hay algún razonamiento extraño. O igual te has confundido y te refieres a que la matriz es diagonal. Eso sí es relevante porque los valores propios ya los tienes sin tener que hacer la faena del polinomio característico.


Si sumas las tres ecuaciones obtienes $2x+2y+z=0$. Despejando obtenemos $z=-2(x+y)$. Tres incógnitas y una ecuación, así pues hemos de encontrar dos vectores. Las dos soluciones linealmente independientes son $(1, 0, -2)$ y $(1, 1, -4)$. A su vez estos dos vectores son linealmente independientes con $(0, 0, 1)$ (puedes verlo a simple vista por la posición de los ceros).

Espero haberte ayudado.

Muchas gracias, me has servido der ayuda.
Respecto a la primera pregunta, al tener la matriz A la última fila y la última columna toda a ceros no estaba seguro de si se trataba de una matriz cuadrada de 3 x 3 o de 2 x 2.
Por lo que respecta a la segunda parte, no había pensado que sumando las tres ecuaciones obtendría una cuarta ecuación que si cumpliría la condición de poder crear dos autovectores linealmente independientes. El hecho de que el autovalor "origen" desde el que se obtienen los autovectores se repita dos veces implica que deben obtenerse dos autovectores ¿es así?
Saludos y muchas gracias.
Buenas noches.

[frunciopilato]

Re: Mas sobre autovalores y autovectores

El hecho de que el autovalor "origen" desde el que se obtienen los autovectores se repita dos veces implica que deben obtenerse dos autovectores ¿es así?

El número de veces que se repite el factor con raiz el autovalor en el polinomio característico se denomina multiplicidad aritmética, que puede ser simple, doble, etc..., para que la matriz pueda ser diagonalizable entonces la multiplicidad aritmética y la multiplicidad geométrica deben coincidir. La multiplicidad geométrica es la dimensión del subespacio propio asociado al valor propio, luego si ocurre esto, la matriz es diagonalizable, si no, no lo será. Un saludo.

[Weip]

Re: Mas sobre autovalores y autovectores

El hecho de que el autovalor "origen" desde el que se obtienen los autovectores se repita dos veces implica que deben obtenerse dos autovectores ¿es así?

En general eso no lo sabes. Si coincide la matriz diagonaliza, sino no. En este caso como te dan una matriz diagonal pues sí coincidirán, pero el 99% de veces la matiz no será tan sencilla y eso no lo sabrás de antemano. Para saber cuantos autovectores han de salir de un sistema de ecuaciones has de hacer incógnitas menos ecuaciones. En el caso de $2x+2y+z=$0 que ha sido un caso fallido tenemos 3 incógnitas y una ecuación con lo que obtenemos 3-1=2 vectores propios.

[inakigarber]

Re: Mas sobre autovalores y autovectores

Pues ahí tienes razón. Yo fui directamente a la ecuación y no me fijé.

Veo que con los signos también metí la pata.