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Problema de tiro parabólico desde una altura conocida y ángulo de máximo alcance.

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  • Problema de tiro parabólico desde una altura conocida y ángulo de máximo alcance.

    Buenas noches;

    Como estoy aislado y un tanto embotado mentalmente (como supongo que a otra mucha gente por lo des coronavirus), he decidido retomar un viejo problema (que ya se resolvió en este foro hace años) a ver si lo resuelvo, supuesto me funcione la neurona, que no se.

    El problema lo enuncio de la siguiente manera;
    Supongamos que lanzo una bala con un cañón desde una altura h y con un ángulo y una velocidad inicial, asi como la altura también conocidas. Determinar;
    a) El alcance de la bala.
    b) El ángulo de mayor alcance.
    (Se desprecian rozamientos y otros factores)
    Haz clic en la imagen para ampliar  Nombre:	Proyectil lanzado desde una altura H y con un ángulo a.png Vitas:	0 Tamaño:	740 bytes ID:	346532

    a) el alcance de la bala.
    Para ello determino el tiempo total de vuelo que es el tiempo de ascenso más el de descenso;
    Tiempo de ascenso. El ascenso máximo se producirá cuando la velocidad de ascenso del proyectil sea 0 Tendré , despejando
    Calculo la altura máxima alcanzada, la cual me servirá para determinar más adelante el tiempo de caída, si no estoy equivocado me sale;
    Como sabemos que
    Despejando y sustituyendo por los resultados obtenidos me sale;
    Siendo el tiempo total de vuelo;
    Distancia total alcanzada;

    ¿Es este resultado correcto? Supongo que si, pero no estoy seguro.

    Para calcular el segundo apartado del problema que me he impuesto tengo que calcular la derivada con respecto al ángulo (a), y esto me está resultando muy difícil incluso utilizando una calculadora.

    De momento lo que he hecho es simplificar (si no me he equivocado) la expresión de la distancia y me sale;

    He tratado de simplificarlo lo más posible, pero me veo incapaz de calcular dicha derivada.
    Última edición por inakigarber; 20/03/2020, 22:15:24.
    Cuando aumenta nuestro área de conocimiento aumenta nuestro perímetro de ignorancia (autor desconocido)
    No tengo talento, lo que hago, lo hago solo con mucho trabajo Maria Blanschard (Pintora)

  • #2
    Hola iñaki fijate que el ángulo para que sea máxima la altura no tiene mucho que ver con este problema, es claro que la altura máxima se obtiene cuando el angulo es 90° , pero eso no te garantiza mayor alcance...

    Creo lo que debes hacer es plantear las ecuaciones de la cinemática, poner el tiempo de vuelo en función del alcance, veras que te queda una cuadrática,resuélvela, y luego deriva la expresión cuadrática en función del ángulo e iguala a 0, esto te premite calcular cual es el ángulo que te maximiza el alcance para cada velocidad v.

    Comentario


    • #3
      Gracias por tu respuesta.

      Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
      Hola iñaki fijate que el ángulo para que sea máxima la altura no tiene mucho que ver con este problema, es claro que la altura máxima se obtiene cuando el angulo es 90° , pero eso no te garantiza mayor alcance...

      Creo lo que debes hacer es plantear las ecuaciones de la cinemática, poner el tiempo de vuelo en función del alcance, veras que te queda una cuadrática,resuélvela, y luego deriva la expresión cuadrática en función del ángulo e iguala a 0, esto te premite calcular cual es el ángulo que te maximiza el alcance para cada velocidad v.
      Quizá no me he expresado bien en el enunciado, lo que pretendo calcular es para una altura dada ¿con que ángulo alcanzaré la máxima distancia?.
      Si la altura h fuera cero, es decir cañón y objetivo están a la misma altura, ese ángulo es de 45º, pero varía si no están a la misma altura.
      Cuando aumenta nuestro área de conocimiento aumenta nuestro perímetro de ignorancia (autor desconocido)
      No tengo talento, lo que hago, lo hago solo con mucho trabajo Maria Blanschard (Pintora)

      Comentario


      • #4
        Hola a tod@s.

        El enunciado se entiende perfectamente: el alcance se refiere a la distancia alcanzada horizontalmente.

        Lo he intentado de la siguiente forma, pero no me acaba de salir:



        Substituyendo (1) en (2) y considerando que el alcance máximo es cuando ,

        .

        Y aquí me he quedado. Si avanzo ya lo publicaré.

        Nota: el asunto sería trivial si , pero no es el caso.

        Saludos cordiales,
        JCB.
        “Lo consiguieron porque no sabían que era imposible”, autor: Jean Cocteau.

        Comentario


        • #5
          bueno JCB sigamos, yo llegue a lo mismo que tu,

          resolvemos la cuadrática despejando x






          la opcion con el signo negativo hay que descartarla pues daria alcances negativos luego





          luego hay que hacer

          y resolver la ecuación y ver que valores de la hacen posible es decir hallar que satisface que la primer derivada del alcance respecto de sea nulo, y con ello te garantizas que o bien halla un máximo un mínimo o un punto de inflexión,

          si la segunda derivada evaluada en ese ángulo es menor que cero entonces tienes un maximo, si es mayor que cero un mínimo, y si es igual a cero un punto de inflexión.
          Última edición por Richard R Richard; 21/03/2020, 01:22:00.

          Comentario


          • JCB
            JCB comentado
            Editando un comentario
            Eso es Richard, aunque me he quedado en ese punto, porque me ha parecido indigesto resolver la ecuación de 2º grado y derivar respecto al ángulo.
            Última edición por JCB; 21/03/2020, 01:15:51.

        • #6
          En este viejo hilo se discutió la situación y es posible que se haya tratado otras veces.

          Saludos,

          Don't wrestle with a pig in the mud. You'll both get dirty, but the pig will enjoy it. - Parafraseando a George Bernard Shaw

          Comentario


          • #7
            Para el apartado a partiremos de las ecuaciones del movimiento que ya mostró JCB, lo que haremos será despejar t de la siguiente manera:


            En esta ecuación haríamos y =0 para obtener el alcance resolviendo por tanto una ecuación de segundo grado para x (la cual ya he despejado y simplificado, es puro álgebra), tomando el valor positivo quedaría:

            Para el apartado b notar que si hiciesemos h=0 en la última ecuación obtendríamos mediante relaciones trigonométricas el resultado típico del alcance máximo:

            En dónde derivando x en función de e igualando a cero obtendríamos el ángulo de máximo alcance
            Lo mismo habría que hacer para nuestra expresión con h inicial, derivamos la ecuación del alcance respecto al ángulo y jugando con las ecuaciones se obtiene:


            Todas las operaciones las he hecho aparte para no emborronar el hilo.
            Última edición por Trisko; 21/03/2020, 03:38:48.
            "If you want to find the secrets of the universe, think in terms of energy, frequency and vibration"

            Comentario


            • JCB
              JCB comentado
              Editando un comentario
              Si utilizas \dfrac en lugar de \frac, no te quedarán tan pequeñas las fracciones.

            • Trisko
              Trisko comentado
              Editando un comentario
              Gracias, se me olvidan a veces algunas funciones de LATEX.

          • #8
            Escrito por Trisko Ver mensaje
            En dónde derivando x en función de e igualando a cero obtendríamos el ángulo de máximo alcance
            Seguramente has querido decir que es el ángulo para el alcance máximo cuando

            Escrito por Trisko Ver mensaje
            segurmente eso es

            Comentario


            • Trisko
              Trisko comentado
              Editando un comentario
              Pues si quería poner la arcotangente y al final se me olvidó y lo otro pues se me fue, a estas horas al cerebro le cuesta jajaja, gracias.

          • #9
            Ok aqui va el resultado de la derivada respecto del ángulo theta

            llamenos y

            entonces



            que supongo tiene un gazapo ya que graficando como pude por internet, me da siempre y no veo porque debe ser así, aver si alguien lo mejora... La cuarentena da para todo!!!

            aver si llegamos a lo que propone Trisko
            Última edición por Richard R Richard; 21/03/2020, 14:12:53.

            Comentario


            • #10
              Buenas tardes;

              Me doy cuenta de que en mi post inicial cometí tres errores;
              Cuando escribí ,

              y

              Los paréntesis internos dentro de la raíz estabán mal balancveados;
              Debería haber sido;
              ,
              y

              Lo que sigue es correcto si no me equivoco.
              Última edición por inakigarber; 21/03/2020, 14:39:44.
              Cuando aumenta nuestro área de conocimiento aumenta nuestro perímetro de ignorancia (autor desconocido)
              No tengo talento, lo que hago, lo hago solo con mucho trabajo Maria Blanschard (Pintora)

              Comentario


              • #11
                Se me ocurrio optimizar de otro modo , lo hice en pc

                haciendo

                obtuve la tabla que adjunto

                Ocultar contenido

                h Angulo alcance
                0 44,967297 0,99999931
                1 30,027297 1,73205047
                2 24,087297 2,23606795
                3 20,667297 2,64575055
                4 18,417297 2,99999982
                5 16,797297 3,31662459
                6 15,537297 3,60555047
                7 14,457297 3,87298306
                8 13,647297 4,12310549
                9 12,927297 4,35889892
                10 12,297297 4,58257557
                11 11,757297 4,79583117
                12 11,307297 4,99999999
                13 10,857297 5,1961513
                14 10,497297 5,38516436
                15 10,137297 5,56776253
                16 9,86729698 5,74456259
                17 9,59729698 5,91607977
                18 9,32729698 6,08276246
                19 9,05729698 6,24499637
                20 8,87729698 6,40312424
                21 8,69729698 6,5574378
                22 8,51729698 6,70820236
                23 8,33729698 6,85565301
                24 8,15729698 6,99999919
                25 7,97729698 7,14142839
                26 7,79729698 7,28010922
                27 7,70729698 7,41619759
                28 7,52729698 7,54983405
                29 7,43729698 7,68114528
                30 7,25729698 7,81024779
                31 7,16729698 7,9372537
                32 7,07729698 8,06225769
                33 6,98729698 8,18535216
                34 6,89729698 8,30662248
                35 6,80729698 8,42614776
                36 6,71729698 8,54400143
                37 6,62729698 8,66025183
                38 6,53729698 8,77496263
                39 6,44729698 8,88819334
                40 6,35729698 8,9999996
                41 6,26729698 9,11043356
                42 6,17729698 9,21954421
                43 6,08729698 9,32737755
                44 6,08729698 9,43397918
                45 5,99729698 9,53939177
                46 5,90729698 9,64365051
                47 5,81729698 9,74679183
                48 5,81729698 9,84885722
                49 5,72729698 9,94987415
                50 5,72729698 10,0498725
                51 5,63729698 10,1488914
                52 5,54729698 10,2469496
                53 5,54729698 10,3440794
                54 5,45729698 10,4403062
                55 5,45729698 10,5356517
                56 5,36729698 10,6301457
                57 5,36729698 10,7238027
                58 5,27729698 10,8166538
                59 5,27729698 10,9087095
                60 5,18729698 10,9999999
                61 5,18729698 11,0905344
                62 5,09729698 11,1803396
                63 5,09729698 11,2694265
                64 5,00729698 11,3578156
                65 5,00729698 11,4455228
                66 4,91729698 11,5325599
                67 4,91729698 11,61895
                68 4,91729698 11,7046978
                69 4,82729698 11,7898253
                70 4,82729698 11,8743418
                71 4,73729698 11,9582573
                72 4,73729698 12,0415944
                73 4,73729698 12,1243547
                74 4,64729698 12,2065531
                75 4,64729698 12,2882057
                76 4,64729698 12,3693157
                77 4,55729698 12,4498972
                78 4,55729698 12,529964
                79 4,55729698 12,6095192
                80 4,46729698 12,6885746
                81 4,46729698 12,7671451
                82 4,46729698 12,8452321
                83 4,46729698 12,9228444
                84 4,37729698 12,9999991
                85 4,37729698 13,0766968
                86 4,37729698 13,1529447
                87 4,28729698 13,228754
                88 4,28729698 13,3041344
                89 4,28729698 13,3790878
                90 4,28729698 13,4536213
                91 4,19729698 13,5277473
                92 4,19729698 13,6014704
                93 4,19729698 13,6747939
                94 4,19729698 13,7477242
                95 4,10729698 13,8202729
                96 4,10729698 13,8924438
                97 4,10729698 13,9642398
                98 4,10729698 14,0356666
                99 4,01729698 14,1067329
                100 4,01729698 14,1774462

                con ella puede verse como cambia el angulo máximo para cada desnivel h veces el valor c =1
                Haz clic en la imagen para ampliar

Nombre:	angulo.png
Vitas:	54
Tamaño:	9,5 KB
ID:	346557

                del mismo modo la evolución del alcance en función de la elevación h cuando c=1

                Haz clic en la imagen para ampliar

Nombre:	alcance.png
Vitas:	50
Tamaño:	3,7 KB
ID:	346558

                que debería parecerse a una parábola pero en realidad no lo es

                para evaluar alturas en elevación hay que cambiar de formula de alcance, los signos de la raíz en la cuadrática toman otro significado.

                Comentario


                • #12
                  Hola a tod@s.

                  Finalmente, y después de varios intentos, he llegado a una expresión del alcance (equivalente a la expresión de Trisko que indica en su mensaje # 7):

                  .

                  Desgraciadamente, no he conseguido llegar a una expresión del ángulo con el que se obtiene el alcance máximo, en función de y , como la obtenida por Trisko, también en su mensaje # 7:

                  Escrito por Trisko Ver mensaje

                  ... Lo mismo habría que hacer para nuestra expresión con h inicial, derivamos la ecuación del alcance respecto al ángulo y jugando con las ecuaciones se obtiene:

                  ...
                  Con Excel, he comprobado esta última expresión de Trisko, y funciona. Es decir, fijando valores de y , y variando el ángulo , se cumple que el alcance máximo es para el ángulo que ha indicado en esta última expresión.

                  Saludos cordiales,
                  JCB.
                  Última edición por JCB; 21/03/2020, 16:44:54. Motivo: Sintaxis.
                  “Lo consiguieron porque no sabían que era imposible”, autor: Jean Cocteau.

                  Comentario


                  • #13
                    Escrito por JCB Ver mensaje
                    Hola a tod@s.

                    Con Excel, he comprobado esta última expresión de Trisko, y funciona. Es decir, fijando valores de y , y variando el ángulo , se cumple que el alcance máximo es para el ángulo que ha indicado en esta última expresión.

                    .
                    hay diferencia no veo como con alguna simplificación se arribe a lo predicho

                    Haz clic en la imagen para ampliar

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                    • JCB
                      JCB comentado
                      Editando un comentario
                      No entiendo tu mensaje, Richard.

                  • #14
                    Grafique la arcotangente sobre los datos del mensaje #7 haciendo y no coincide con o que hice usando la fórmula del alcance de tu mensaje #12 o mi mensaje #5, que son similares , donde guardé el ángulo para el cual el alcance es máximo para variaciones de posición de del orden de la milésima de pi. los gráficos no coinciden, eso es lo que reflejo, luego supongo que solo es una buena aproximación,

                    Probaste un por encima y debajo de para ver si realmente es un máximo? yo supongo que sí , en todo caso no entiendo donde está la diferencia, ya que el gráfico del mensaje #11 lo obtuve poniendo en memoria justamente, el ángulo cuando para cada h el alcance es máximo.

                    Comentario


                    • #15
                      No es una aproximación, es el resultado de la derivación y ha de cumplirse que es su solución en este caso máxima. He hecho un pequeño programa en python para mostrar esta función, en la siguiente figura se muestra la gráfica para una v=5940 m/s y h=13 m , traza el alcance frente al ángulo (que solo he considerado entre 0 y ), he introducido una función random.uniform en el programa para que los valores de h y v sean variables, en este caso la situación no sería real pero eso no nos importa para demostrar que es un máximo. También incluyo el programa abajo por si quieres modificarlo y comprobar.
                      Haz clic en la imagen para ampliar  Nombre:	Figure_1.png Vitas:	0 Tamaño:	30,5 KB ID:	346569
                      Programa (he tenido que meterlo así porque el foro no me deja introducir archivos.py):

                      # -*- coding: utf-8 -*-
                      from numpy import *
                      import numpy as np
                      import matplotlib.pyplot as plt
                      from math import pi
                      g=9.8
                      v=random.uniform(0,10000)
                      h=random.uniform(1,30)
                      print(v)
                      print(h)
                      t=np.array(linspace(0,pi/2,100))
                      x=(np.sin(t)*np.cos(t)*v**2+v**2 *np.cos(t)*((np.sin(t))**2 +2*h*g/(v**2))**0.5)/g
                      t0=np.arctan(v/(v**2 +2*h*g)**0.5)
                      plt.plot(t,x,'-')
                      plt.plot(t0,(np.sin(t0)*np.cos(t0)*v**2+v**2 *np.cos(t0)*((np.sin(t0))**2 +2*h*g/(v**2))**0.5)/g,'ko',label='Alcance máximo')
                      plt.xlabel('\u03F4 (rad)'); plt.ylabel('x (m)')
                      plt.title('x vs \u03F4')
                      plt.legend()
                      plt.show()
                      Última edición por Trisko; 21/03/2020, 19:32:36.
                      "If you want to find the secrets of the universe, think in terms of energy, frequency and vibration"

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