Problema de tiro parabólico desde una altura conocida y ángulo de máximo alcance.

[inakigarber]

Buenas noches;

Como estoy aislado y un tanto embotado mentalmente (como supongo que a otra mucha gente por lo des coronavirus), he decidido retomar un viejo problema (que ya se resolvió en este foro hace años) a ver si lo resuelvo, supuesto me funcione la neurona, que no se.

El problema lo enuncio de la siguiente manera;
Supongamos que lanzo una bala con un cañón desde una altura h y con un ángulo y una velocidad inicial, asi como la altura también conocidas. Determinar;
a) El alcance de la bala.
b) El ángulo de mayor alcance.
(Se desprecian rozamientos y otros factores)


a) el alcance de la bala.
Para ello determino el tiempo total de vuelo que es el tiempo de ascenso más el de descenso;
Tiempo de ascenso. El ascenso máximo se producirá cuando la velocidad de ascenso del proyectil sea 0 Tendré $V_i sen(a)-gT_a=0$, despejando $T_a=\dfrac{V_i sen(a)}{g}$
Calculo la altura máxima alcanzada, la cual me servirá para determinar más adelante el tiempo de caída, si no estoy equivocado me sale;

$$A_m=\dfrac{V_i^2sen(a)^2}{2g}$$

$$A_t={V_i^2sen(a)^2}{2g}$$

Como sabemos que $h_t=\dfrac{g T_c^2}{2}$
Despejando $T_c$ y sustituyendo por los resultados obtenidos me sale;

$$T_c=\sqrt{\dfrac{2\left(\dfrac{V_i^2 (sen(a)^2}{2g}\right)+h}{g}}$$

Siendo el tiempo total de vuelo;

$$T_v=\dfrac{V_i sen(a)}{g}+\sqrt{\dfrac{2\left(\dfrac{V_i^2 (sen(a)^2}{2g}\right)+h}{g}}$$

Distancia total alcanzada;

$$X_t=V_i cos(a)*\left(\dfrac{V_i sen(a)}{g}+\sqrt{\dfrac{2(\dfrac{V_i^2 (sen(a)^2)}{2g})+h}{g}}\right)$$

¿Es este resultado correcto? Supongo que si, pero no estoy seguro.

Para calcular el segundo apartado del problema que me he impuesto tengo que calcular la derivada con respecto al ángulo (a), y esto me está resultando muy difícil incluso utilizando una calculadora.

De momento lo que he hecho es simplificar (si no me he equivocado) la expresión de la distancia y me sale;

$$X_t=\dfrac{V_i^2 sen(2a)}{2}+\left(\dfrac{V_i cos(a)}{g}\sqrt{(V_i^2 sen^2(a)+2gh})\right)$$

He tratado de simplificarlo lo más posible, pero me veo incapaz de calcular dicha derivada.

[Richard R Richard]

Hola iñaki fijate que el ángulo para que sea máxima la altura no tiene mucho que ver con este problema, es claro que la altura máxima se obtiene cuando el angulo es 90° , pero eso no te garantiza mayor alcance...

Creo lo que debes hacer es plantear las ecuaciones de la cinemática, poner el tiempo de vuelo en función del alcance, veras que te queda una cuadrática,resuélvela, y luego deriva la expresión cuadrática en función del ángulo e iguala a 0, esto te premite calcular cual es el ángulo que te maximiza el alcance para cada velocidad v.

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta.

Hola iñaki fijate que el ángulo para que sea máxima la altura no tiene mucho que ver con este problema, es claro que la altura máxima se obtiene cuando el angulo es 90° , pero eso no te garantiza mayor alcance...

Creo lo que debes hacer es plantear las ecuaciones de la cinemática, poner el tiempo de vuelo en función del alcance, veras que te queda una cuadrática,resuélvela, y luego deriva la expresión cuadrática en función del ángulo e iguala a 0, esto te premite calcular cual es el ángulo que te maximiza el alcance para cada velocidad v.

Quizá no me he expresado bien en el enunciado, lo que pretendo calcular es para una altura dada ¿con que ángulo alcanzaré la máxima distancia?.
Si la altura h fuera cero, es decir cañón y objetivo están a la misma altura, ese ángulo es de 45º, pero varía si no están a la misma altura.

[JCB]

Hola a tod@s.

El enunciado se entiende perfectamente: el alcance se refiere a la distancia alcanzada horizontalmente.

Lo he intentado de la siguiente forma, pero no me acaba de salir:

$$x=v_0\cos \theta t$$

$$y=h_0+v_0\sin \theta t-\dfrac{1}{2}gt^2$$

Substituyendo (1) en (2) y considerando que el alcance máximo es cuando $y=0$,

$0=h_0+\tan \theta x-\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2 \theta}x^2$.

Y aquí me he quedado. Si avanzo ya lo publicaré.

Nota: el asunto sería trivial si $h_0=0$, pero no es el caso.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

bueno JCB sigamos, yo llegue a lo mismo que tu,

resolvemos la cuadrática despejando x

$x=\dfrac{-tan \theta}{-2\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2 \theta}}\pm\dfrac{\sqrt{\tan^2\theta-4\cdot \dfrac{-g}{2v_0^2\cos^2 \theta}\cdot h_0}}{-2\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2 \theta}}$

$x=\dfrac{v_0^2\sin \theta \cos \theta}{g}\mp \dfrac{v_0\cos \theta}{g}\sqrt{v_0^2\sin^2\theta+2gh_0}$


la opcion con el signo negativo hay que descartarla pues daria alcances negativos luego

$x=\dfrac{v_0^2\sin \theta \cos \theta}{g}+ \dfrac{v_0\cos \theta}{g}\sqrt{v_0^2\sin^2\theta+2gh_0}$

$x=\dfrac{v_0^2}{g}\sin \theta \cos \theta\left(1+\sqrt{1+\dfrac{2gh_0}{v_0^2\sin^2\theta}}\right)$

luego hay que hacer$\dfrac{\partial x}{\partial \theta}=0$

y resolver la ecuación y ver que valores de $\theta$ la hacen posible es decir hallar $\theta(h_0,v_0,g)$ que satisface que la primer derivada del alcance respecto de $\theta$ sea nulo, y con ello te garantizas que o bien halla un máximo un mínimo o un punto de inflexión,

si la segunda derivada evaluada en ese ángulo es menor que cero entonces tienes un maximo, si es mayor que cero un mínimo, y si es igual a cero un punto de inflexión.

[JCB]

Eso es Richard, aunque me he quedado en ese punto, porque me ha parecido indigesto resolver la ecuación de 2º grado y derivar respecto al ángulo.

[Al2000]

En este viejo hilo se discutió la situación y es posible que se haya tratado otras veces.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Trisko]

Para el apartado a partiremos de las ecuaciones del movimiento que ya mostró JCB, lo que haremos será despejar t de la siguiente manera:
$t=\dfrac{x}{v_{0} \cos(\theta)}$
$y=h+ \tan(\theta) x- \dfrac{1}{2} g \dfrac{x^{2}}{v^{2}_{0} \cos^{2}(\theta)}$
En esta ecuación haríamos y =0 para obtener el alcance resolviendo por tanto una ecuación de segundo grado para x (la cual ya he despejado y simplificado, es puro álgebra), tomando el valor positivo quedaría:
$x=\dfrac{\sin(\theta) \cos(\theta) v^{2}_{0}+v^{2}_{0} \cos(\theta) (\sin^{2}(\theta)+\dfrac{2hg}{v^{2}_{0}})^{\frac{1}{2}}}{g}$
Para el apartado b notar que si hiciesemos h=0 en la última ecuación obtendríamos mediante relaciones trigonométricas el resultado típico del alcance máximo:
$x=\dfrac{2v^{2}_{0}\sin(2\theta)}{g}$
En dónde derivando x en función de $\theta$ e igualando a cero obtendríamos el ángulo de máximo alcance $\dfrac{dx}{d\theta}=0 \rightarrow \cos(2\theta)=0 \Rightarrow \theta=\dfrac{\pi}{4}$
Lo mismo habría que hacer para nuestra expresión con h inicial, derivamos la ecuación del alcance respecto al ángulo y jugando con las ecuaciones se obtiene:
$\theta_{max}=\arctan{\dfrac{v_{0}}{(v^2_{0}+2gh)^{\frac{1}{2}}}}$

Todas las operaciones las he hecho aparte para no emborronar el hilo.

[JCB]

Si utilizas \dfrac en lugar de \frac, no te quedarán tan pequeñas las fracciones.

[Trisko]

Gracias, se me olvidan a veces algunas funciones de LATEX.

[Richard R Richard]

En dónde derivando x en función de $\theta$ e igualando a cero obtendríamos el ángulo de máximo alcance $\dfrac{dx}{d\theta}=0 \rightarrow \cos(2\theta)=0 \Rightarrow \theta=\dfrac{\pi}{2}$

Seguramente has querido decir $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ que es el ángulo para el alcance máximo cuando $h=0$

$\theta_{max}=\dfrac{v_{0}}{(v^2_{0}+2gh)^{\frac{1}{2}}}$

segurmente eso es $\tan \theta_{max}=\dfrac{v_{0}}{(v^2_{0}+2gh)^{\frac{1}{2}}}$

[Trisko]

Pues si quería poner la arcotangente y al final se me olvidó y lo otro pues se me fue, a estas horas al cerebro le cuesta jajaja, gracias.

[Richard R Richard]

Ok aqui va el resultado de la derivada respecto del ángulo theta

llamenos $K=\dfrac{2gh_0}{v_0^2}$ y $C=\dfrac{v_0^2}{g}$

entonces

$\dfrac{\partial x}{\partial \theta}=0=C\left( -\dfrac{K \tan ^{-2}\theta}{\sqrt{1+\dfrac{K}{\sin^2\theta}}}+\left(1+\sqrt{1+\dfrac{K}{\sin^2\theta}}\right)(\cos^2\theta-\sin^2\theta) \right)$

que supongo tiene un gazapo ya que graficando como pude por internet, me da siempre $\theta\cong 0 \forall K$ y no veo porque debe ser así, aver si alguien lo mejora... La cuarentena da para todo!!!

aver si llegamos a lo que propone Trisko

[inakigarber]

Buenas tardes;

Me doy cuenta de que en mi post inicial cometí tres errores;
Cuando escribí $T_c=\sqrt{\dfrac{2\left(\dfrac{V_i^2 (sen(a)^2}{2g}\right)+h}{g}}$,
$T_v=\dfrac{V_i sen(a)}{g}+\sqrt{\dfrac{2\left(\dfrac{V_i^2 (sen(a)^2}{2g}\right)+h}{g}}$
y
$X_t=V_i cos(a)*\left(\dfrac{V_i sen(a)}{g}+\sqrt{\dfrac{2(\dfrac{V_i^2 (sen(a)^2)}{2g})+h}{g}}\right)$
Los paréntesis internos dentro de la raíz estabán mal balancveados;
Debería haber sido;

$T_c=\sqrt{\dfrac{2\left(\dfrac{V_i^2 (sen(a)^2}{2g}+h\right)}{g}}$,

$T_v=\dfrac{V_i sen(a)}{g}+\sqrt{\dfrac{2\left(\dfrac{V_i^2 (sen(a)^2}{2g}+h\right)}{g}}$

y

$X_t=V_i cos(a)*\left(\dfrac{V_i sen(a)}{g}+\sqrt{\dfrac{2(\dfrac{V_i^2 (sen(a)^2)}{2g}+h)}{g}}\right)$
Lo que sigue es correcto si no me equivoco.

[Richard R Richard]

Se me ocurrio optimizar de otro modo , lo hice en pc

haciendo $1=\dfrac{v_0^2}{g}$

obtuve la tabla que adjunto

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

h	Angulo	alcance
0	44,967297	0,99999931
1	30,027297	1,73205047
2	24,087297	2,23606795
3	20,667297	2,64575055
4	18,417297	2,99999982
5	16,797297	3,31662459
6	15,537297	3,60555047
7	14,457297	3,87298306
8	13,647297	4,12310549
9	12,927297	4,35889892
10	12,297297	4,58257557
11	11,757297	4,79583117
12	11,307297	4,99999999
13	10,857297	5,1961513
14	10,497297	5,38516436
15	10,137297	5,56776253
16	9,86729698	5,74456259
17	9,59729698	5,91607977
18	9,32729698	6,08276246
19	9,05729698	6,24499637
20	8,87729698	6,40312424
21	8,69729698	6,5574378
22	8,51729698	6,70820236
23	8,33729698	6,85565301
24	8,15729698	6,99999919
25	7,97729698	7,14142839
26	7,79729698	7,28010922
27	7,70729698	7,41619759
28	7,52729698	7,54983405
29	7,43729698	7,68114528
30	7,25729698	7,81024779
31	7,16729698	7,9372537
32	7,07729698	8,06225769
33	6,98729698	8,18535216
34	6,89729698	8,30662248
35	6,80729698	8,42614776
36	6,71729698	8,54400143
37	6,62729698	8,66025183
38	6,53729698	8,77496263
39	6,44729698	8,88819334
40	6,35729698	8,9999996
41	6,26729698	9,11043356
42	6,17729698	9,21954421
43	6,08729698	9,32737755
44	6,08729698	9,43397918
45	5,99729698	9,53939177
46	5,90729698	9,64365051
47	5,81729698	9,74679183
48	5,81729698	9,84885722
49	5,72729698	9,94987415
50	5,72729698	10,0498725
51	5,63729698	10,1488914
52	5,54729698	10,2469496
53	5,54729698	10,3440794
54	5,45729698	10,4403062
55	5,45729698	10,5356517
56	5,36729698	10,6301457
57	5,36729698	10,7238027
58	5,27729698	10,8166538
59	5,27729698	10,9087095
60	5,18729698	10,9999999
61	5,18729698	11,0905344
62	5,09729698	11,1803396
63	5,09729698	11,2694265
64	5,00729698	11,3578156
65	5,00729698	11,4455228
66	4,91729698	11,5325599
67	4,91729698	11,61895
68	4,91729698	11,7046978
69	4,82729698	11,7898253
70	4,82729698	11,8743418
71	4,73729698	11,9582573
72	4,73729698	12,0415944
73	4,73729698	12,1243547
74	4,64729698	12,2065531
75	4,64729698	12,2882057
76	4,64729698	12,3693157
77	4,55729698	12,4498972
78	4,55729698	12,529964
79	4,55729698	12,6095192
80	4,46729698	12,6885746
81	4,46729698	12,7671451
82	4,46729698	12,8452321
83	4,46729698	12,9228444
84	4,37729698	12,9999991
85	4,37729698	13,0766968
86	4,37729698	13,1529447
87	4,28729698	13,228754
88	4,28729698	13,3041344
89	4,28729698	13,3790878
90	4,28729698	13,4536213
91	4,19729698	13,5277473
92	4,19729698	13,6014704
93	4,19729698	13,6747939
94	4,19729698	13,7477242
95	4,10729698	13,8202729
96	4,10729698	13,8924438
97	4,10729698	13,9642398
98	4,10729698	14,0356666
99	4,01729698	14,1067329
100	4,01729698	14,1774462

con ella puede verse como cambia el angulo máximo para cada desnivel h veces el valor c =1


del mismo modo la evolución del alcance en función de la elevación h cuando c=1



que debería parecerse a una parábola pero en realidad no lo es

para evaluar alturas en elevación hay que cambiar de formula de alcance, los signos de la raíz en la cuadrática toman otro significado.

[JCB]

Hola a tod@s.

Finalmente, y después de varios intentos, he llegado a una expresión del alcance (equivalente a la expresión de Trisko que indica en su mensaje # 7):

$x=\dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{2g}+\dfrac{v_0^2\cos \theta}{g}\sqrt{\sin^2\theta+\dfrac{2gh}{v_0^2}}$.

Desgraciadamente, no he conseguido llegar a una expresión del ángulo con el que se obtiene el alcance máximo, en función de $v_0$ y $h$, como la obtenida por Trisko, también en su mensaje # 7:

... Lo mismo habría que hacer para nuestra expresión con h inicial, derivamos la ecuación del alcance respecto al ángulo y jugando con las ecuaciones se obtiene:

$\theta_{max}=\arctan{\dfrac{v_{0}}{(v^2_{0}+2gh)^{\frac{1}{2}}}}$ ...

Con Excel, he comprobado esta última expresión de Trisko, y funciona. Es decir, fijando valores de $v_0$ y $h$, y variando el ángulo $\theta$, se cumple que el alcance máximo es para el ángulo que ha indicado en esta última expresión.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola a tod@s.

Con Excel, he comprobado esta última expresión de Trisko, y funciona. Es decir, fijando valores de $v_0$ y $h$, y variando el ángulo $\theta$, se cumple que el alcance máximo es para el ángulo que ha indicado en esta última expresión.

.

hay diferencia no veo como con alguna simplificación se arribe a lo predicho

[JCB]

No entiendo tu mensaje, Richard.

[Richard R Richard]

Grafique la arcotangente sobre los datos del mensaje #7 haciendo $v_0^2/g =1$ y no coincide con o que hice usando la fórmula del alcance de tu mensaje #12 o mi mensaje #5, que son similares , donde guardé el ángulo para el cual el alcance es máximo para variaciones de posición de $\theta$ del orden de la milésima de pi. los gráficos no coinciden, eso es lo que reflejo, luego supongo que $\theta_{max}=\arctan{\dfrac{v_{0}}{(v^2_{0}+2gh)^{\frac{1}{2}}}}$ solo es una buena aproximación,

Probaste un$\Delta \theta$ por encima y debajo de $\theta_{max}$ para ver si realmente es un máximo? yo supongo que sí , en todo caso no entiendo donde está la diferencia, ya que el gráfico del mensaje #11 lo obtuve poniendo en memoria justamente, el ángulo cuando para cada h el alcance es máximo.

[Trisko]

No es una aproximación, es el resultado de la derivación y ha de cumplirse que es su solución en este caso máxima. He hecho un pequeño programa en python para mostrar esta función, en la siguiente figura se muestra la gráfica para una v=5940 m/s y h=13 m , traza el alcance frente al ángulo (que solo he considerado entre 0 y $\frac{\pi}{2}$), he introducido una función random.uniform en el programa para que los valores de h y v sean variables, en este caso la situación no sería real pero eso no nos importa para demostrar que es un máximo. También incluyo el programa abajo por si quieres modificarlo y comprobar.

Programa (he tenido que meterlo así porque el foro no me deja introducir archivos.py):

# -*- coding: utf-8 -*-
from numpy import *
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import pi
g=9.8
v=random.uniform(0,10000)
h=random.uniform(1,30)
print(v)
print(h)
t=np.array(linspace(0,pi/2,100))
x=(np.sin(t)*np.cos(t)*v**2+v**2 *np.cos(t)*((np.sin(t))**2 +2*h*g/(v**2))**0.5)/g
t0=np.arctan(v/(v**2 +2*h*g)**0.5)
plt.plot(t,x,'-')
plt.plot(t0,(np.sin(t0)*np.cos(t0)*v**2+v**2 *np.cos(t0)*((np.sin(t0))**2 +2*h*g/(v**2))**0.5)/g,'ko',label='Alcance máximo')
plt.xlabel('\u03F4 (rad)'); plt.ylabel('x (m)')
plt.title('x vs \u03F4')
plt.legend()
plt.show()