Caida libre. Aceleracion gravedad variable.

[kramer]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

Bueno, esta mañana dándole vueltas a esto me ha venido la inspiración, un poco tarde, porque el planteamiento es el mismo que el que acaba de escribir Breogan arriba, pero escrito de una forma distinta:

Sabemos que la aceleración, como bien ha especificado arivasm es ...



o también ...



al igualar términos nos queda:



que constituye una ecuación diferencial de primer orden, con función "v" y variable independiente "r".
Por tanto, integramos a ambos lados respecto de r, y nos queda ...



que si nos fijamos el sentido físico que tiene es el de conservación de la energía ... pero hemos llegado a ello desde la cinemática, que es lo que yo quería.
Para saber cuánto vale C, simplemente sustituimos los valores que conocemos en el punto inicial, antes de soltar el objeto ...



Que al sustituir por los valores del problema sale que efectivamente v al llegar al suelo es 1390,1 m/s.

Bueno, pues la parte de la velocidad ya está resuelta desde la cinemática, ahora queda resolver el tiempo (también desde la cinemática), algo que todavía no he hecho, y de momento no sé cómo abordar.
Si tenéis alguna idea es bienvenida ...

Me pregunto si habrá alguna forma más sencilla de hacerlo que la de arivasm.

Un Saludo a todos.

[arivasm]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

El paso que has dado, es en realidad el teorema del trabajo y la energía cinética. En otras palabras, puedes verlo como que has llegado al resultado sin usar energías, o también como que has hecho lo mismo que conduce a esa magnitud. Es decir, los conceptos de energía cinética y potencial proceden de integrar la 2ª ley de Newton de manera que se tenga $v(\vec r)$.

[kramer]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

Hola, justo 1 año más tarde me vuelvo a interesar por esta cuestión ... debo tener un pensamiento cíclico .
La cuestión de hallar la velocidad y el tiempo quedó totalmente resuelta.

Pero me sigue llamando la atención una cuestión: ¿no es posible hallar r(t)?

Estás ante una ecuación diferencial de segundo orden

$$\dst\frac{\dd r^2}{\dd t^2}=-G\frac{M}{r^2}$$

Lo más sencillo para resolverla, con diferencia, pasa por la conservación de la energía, es decir, que $\dst \frac{1}{2}mv^2-G\frac{Mm}{r}=-G\frac{Mm}{r_0}$, es decir

$$\dst \frac{1}{2}v^2-G\frac{M}{r}=-G\frac{M}{r_0}$$

Fíjate que si derivas respecto del tiempo esta expresión tienes $\dst v a+G\frac{M}{r^2}v=0$.

En resumen, el primer paso para resolver (1) sería hacer el cambio de variable $\dst E=\frac{1}{2}\left(\frac{\dd r}{\dd t}\right)^2-G\frac{M}{r}$, pues la ecuación (1) equivale a $\dst\frac{\dd E}{\dd t}=0$, cuya solución evidente es $E=\rm cte$, donde el valor de la constante lo determinas por las condiciones iniciales, $v=0$ y $r=r_0$.

Fíjate que el sentido físico (conservación de la energía) es una guía notable para encontrar la solución matemática.

A continuación hay que integrar (2), es decir

$$\dst -\frac{\dd r}{\dd t}=\sqrt{2G M\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)}$$

donde el signo menos se debe a que aquí $v=-\dd r/\dd t$

En este caso no podremos encontrar $r(t)$, pero sí $t(r)$, pues simplemente se trata de hacer la integral

$$\dst t=-\int_{r_0}^r \frac{\dd r}{\sqrt{2G M\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)}}$$

cuya solución es.

$$\dst t(r) = \sqrt{\frac{r_0^3}{2GM}}\left(\frac{\sqrt r \sqrt{r_0-r}}{r_0} + \tan^{-1}\sqrt{\frac {r_0-r} r}\right)$$

Dejo para ti que hagas los números, si estás interesado en valores concretos.

Terminaré comentando que esta cuestión ya fue tratada en este hilo, donde verás con más detalle cómo realizar la integral anterior.


Perdón: no había visto que otros compañeros estaban contestando al mismo tiempo que yo.

- - - Actualizado - - -

Por cierto, aprovecho para comentar que no veo las ecuaciones del artículo de guibix.

[arivasm]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

No tienes más que apreciar en (7), es decir, en la expresión de t(r) que no tiene una inversa analítica.

[pod]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

No tienes más que apreciar en (7), es decir, en la expresión de t(r) que no tiene una inversa analítica.

No obstante, hay métodos numéricos que te pueden ayudar a encontrar el valor con tanta aproximación como quieras. Si se hace de forma repetida, incluso te pueden dar la gráfica.

[kramer]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

No tienes más que apreciar en (7), es decir, en la expresión de t(r) que no tiene una inversa analítica.

Ya veo, ya.
Lo que yo andaba buscando ahora es una nueva vuelta de tuerca, y es sacar la ecuación de una trayectoria orbital (cualquiera) en un plano, y=f(x), para ello lo que quería era despejar de "x" y de "y" el tiempo, pero si no se puede hallar r(t) ... pues nada, tendré que buscar otra forma.

No obstante, hay métodos numéricos que te pueden ayudar a encontrar el valor con tanta aproximación como quieras. Si se hace de forma repetida, incluso te pueden dar la gráfica.

Pues sí, justo eso estoy buscando. ¿Alguna idea?

- - - Actualizado - - -

A ver, yo supoingo que para cada t = 1, 2, 3, 4, ... etc. podré construir con (5) una ecuación de tipo f(r) = 0, y utilizando el método iterativo de Newton-Raphson, o el de la Secante o alguno otro sacar r con la precisión que quiera.
El problema es ... ¿no se puede sacar la función analítica de la curva descrita?

[pod]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

A ver, yo supoingo que para cada t = 1, 2, 3, 4, ... etc. podré construir con (5) una ecuación de tipo f(r) = 0, y utilizando el método iterativo de Newton-Raphson, o el de la Secante o alguno otro sacar r con la precisión que quiera.

Esa es la idea. Si tienes acceso a software especializado probablemente podrás automatizar el proceso y no tener que hacerlo a mano.

El problema es ... ¿no se puede sacar la función analítica de la curva descrita?

Muy probablemente no. No todas las funciones posibles se pueden expresar combinando funciones con nombres conocidos. Podrás conseguir aproximaciones con muchas precisión, por ejemplo sacando algunos puntos e interpolando entre ellos (por ejemplo con splines).

[Mariano2585]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

Yo tuve la misma duda (expresión matemática de la posición en función del tiempo de dos cuerpos bajo interacción gravitatoria mutua) y no pude encontrar la respuesta, parece que no la hay (nada es imposible mi joven padawan). Este enlace lo explica muy bien también:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/di...eal.htm#Caída bajo la fuerza de atracción mutua.