paquetes en cinta

[arivasm]

Re: paquetes en cinta

y ahora ?......

Pues ahora empieza la "magia", necesaria para resolver la ecuación diferencial. En su momento le di muchas vueltas. Menos mal que nuestro sabio amigo polonio me dio la pista del cambio de variable que había que hacer. No te preocupes si piensas "eso a mí jamás se me habría ocurrido", porque a mí jamás se me habría ocurrido. El cambio es éste $u(\theta)=\dot\theta^2$. Para completar el cambio hace falta encontrar la substitución para $\ddot\theta$, es ésta (hacemos uso de la regla de la cadena):

$\dst \ddot \theta=\frac{\dd\sqrt{u}}{\dd t}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\dd u}{\dd t}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\dd u}{\dd \theta}\frac{\dd \theta}{\dd t}$

Es decir, si llamamos $u'=\dd u/\dd\theta$,

$\dst \ddot \theta=\frac{1}{2\sqrt{u}}u'\sqrt{u}=\frac{1}{2}u'$

Al hacer este cambio de variable la ecuación diferencial pasa a ser una lineal no homogénea que se puede resolver por el método de los coeficientes indeterminados. ¿Lo conoces?

porque no se hace que la normal sea cero? ya que me pide la situacion donde el paquete se separa de la cinta con lo cual en ese momento su normal sera cero...

Ciertamente habrá que hacer que la normal sea cero, para determinar en qué lugar la cinta deja de estar en contacto con el paquete. El problema está en que en ese punto se cumple que $g\cos\theta=v^2/R$, pero $v$ no es la velocidad de la cinta, sino la del paquete. Por eso necesitamos conocer cuál es la dependencia $v(\theta)$!

El coeficiente mu que estamos usando en estas ecuaciones no seria el dinamico? porque hay movimiento del paquete respecto de la cinta y el enunciado solo me da el dato del coef estatico...

Pues sí, es el dinámico, pues en cuanto desliza el paquete sobre la cinta hay movimiento relativo entre ambos.

Dices que no lo dan en el enunciado. Apuesto que quien lo ha escrito no tuvo en mente el calado de lo que estaba pidiendo. Sin ir más lejos, verás cómo al final llegaremos a una ecuación que no quedará otra salida más que resolverla numéricamente, con el agravante que señalas de que no dan el coeficiente de rozamiento dinámico...

[LauraLopez]

Re: paquetes en cinta

Empiezo a creer que por lo complicado de todo esto como decis la idea del ejercicio era otra...se ve que al hacerlo no se dio cuenta , si la cinta no se moveria todo esto no se haria no? y la forma de hacer este inciso era simplemente en la ecuacion que tenia hacer la normal N= 0 ?? digo porque me parece mas probable que me tomen algo asi que lo que estamos haciendo.
Por otro lado ya que estamos quiero terminar de entender esto...
Haciendo los pasos que decis llego a :

$\sin \theta - \mu\cos\theta = \frac{r}{ g} ( \frac{1}{2 } u' - \mu u )$

esta ecuacion me parece tan rara e inentendible como la anterior
asi que a tu pregunta no, no conozco ese metodo , es muy dificil?

[arivasm]

Re: paquetes en cinta

Aunque la cinta no se moviese habría que metese en todo este follón... Sí, al final haremos que la normal sea cero.

El método no es difícil, pero si no has tenido una asignatura donde se den ecuaciones diferenciales te resultará extraño. En esencia se trata de lo siguiente.

Previamente vamos a poner en una forma algo más cómoda la ecuación anterior:

$$\dst u'-2\mu u=\frac{2g}{r}\sin\theta-\frac{2g\mu}{r}\cos\theta=f(\theta)$$

La idea del método es ésta: la solución se podrá expresar como la suma de dos funciones, una "conocida" (al menos en su forma) y otra que corresponda a la misma ecuación, pero con un cero en el lado derecho. Por si algún día estudias todo esto, a la primera se le llama solución particular y a la segunda solución de la ecuación homogénea.

Repito, el método se basa en que

$$u=u_p+u_h$$

donde $u_p$ es una función que sabemos que será una solución particular muy concreta de la ecuación (1):

$$\dst {u_p}'-2\mu u_p=f(\theta)$$

mientras que $u_h$ lo es de

$$\dst {u_h}'-2\mu u_h=0$$

Es evidente que si substituyes (2) en (1), teniendo en cuenta (3) y (4) $u$ sí será solución.

La solución homogénea (4) es muy fácil de encontrar. Será una simple exponencial e incluirá una constante de integración:

$$\dst u_h=C\ee^{2\mu\theta}$$

donde C procede de la constante de integración.


Por lo que se refiere a la particular, como las derivadas de los senos son cosenos y viceversa, la idea es plantear

$$u_p=A\sin\theta+B\cos\theta$$

donde A y B son unos coeficientes indeterminados (de ahí el nombre del método) que encontraremos simplemente substituyendo (6) en (3), es decir, en (1).

Así, tenemos que

$$\dst u'-2\mu u=(-B-2\mu A)\sin+(A-2\mu B)\cos\theta=<br /> \frac{2g}{r}\sin\theta-\frac{2g\mu}{r}\cos\theta$$

Ahora sólo queda igualar los coeficientes del seno por un lado y los del coseno por otro, resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y así encontrar A y B. La última vez que hice eso que fue con motivo del hilo que te comenté anteriormente, me equivoqué un montón de veces. De todos modos, como es lo mismo que entonces, simplemente adapto, copio y pego:

$\dst A = - \frac{2g}{r} \frac{3 \mu}{1+4\mu^2}$
$\dst B = -\frac{2g}{r}\frac{1-2\mu^2}{1+4\mu^2}$

Por tanto,

$$\dst u=v^2=C\ee^{2\mu\theta}-\frac{2g}{r} \frac{3 \mu}{1+4\mu^2}\sin\theta-\frac{2g}{r}\frac{1-2\mu^2}{1+4\mu^2}\cos\theta$$

Y aquí tropezamos con una nueva pesadilla: para encontrar la constante C tenemos que aplicar las condiciones iniciales, es decir, hacer $v=r\omega$ (llamo $\omega$ a la velocidad angular de la cinta) para el ángulo que calculaste en el inciso b), de comienzo del deslizamiento del paquete, que llamaré $\theta_d$. Claro que tendremos una ecuación que mezcla senos, cosenos y exponenciales, con lo que no admite una solución explícita:

$$\dst r^2\omega^2=C\ee^{2\mu\theta_d}-\frac{2g}{r} \frac{3 \mu}{1+4\mu^2}\sin\theta_d-\frac{2g}{r}\frac{1-2\mu^2}{1+4\mu^2}\cos\theta_d$$

Lo siguiente será anular la normal (¡al fin!), es decir, hacer en (8)

$g\cos\theta=r\omega^2$

De esa manera podemos substituir el seno y el coseno en (8), substituir C por el valor encontrado en (9) y despejar el ángulo a través de la exponencial.

[LauraLopez]

Re: paquetes en cinta

nunca vi nada de eso tratare de entenderlo por arriba y me conformare con eso dudo mucho que me tomen un ejercicio asi entonces sin tener toda ea base matematica mil gracias!