fuerza viscosa

[angelo]

Re: fuerza viscosa

Jejeje, te aseguro que todo termina cayendo al fondo! Lo que pasa es que si un cuerpo es muy liviano, y el fluido es muy viscoso, la velocidad terminal será tan pequeña que parece que el objeto está parado. Pero dale un par de días, ya verás que cae.

Sí. Pero para ser exactos, v(t) se comporta como una función tangente hiperbólica, no logarítmica.

[LauraLopez]

Re: fuerza viscosa

todos los dias se aprende algo nuevo :P

Con respecto al inciso c llego a esta integral... $\dst \int\frac{{e}^{0,36 t } -1 }{{e}^{0,36t } +1 } dt$ no recuerdo como se resuelve esa integral....

[angelo]

Re: fuerza viscosa

Puedes expresar la integral usando la función tangente hiperbólica. De hecho, $v(t)=v_t\tanh(0.36t/2)$. Sabiendo que la primitiva de $\tanh(ax)$ es $\frac{1}{a}\ln[\cosh(ax)]$, podrás obtener explícitamente $y(t)$.

[LauraLopez]

Re: fuerza viscosa

como sabes que v(t) es eso? la ayuda no dice eso.....

[angelo]

Re: fuerza viscosa

La deduces a partir de la definición de tangente hiperbólica. De todas formas, esa integral se puede resolver haciendo el cambio $p=e^{0.36t}$, siendo $dp=0.36pdt$.
La integral queda entonces

$\dst \frac{1}{0.36}\int\frac{(p-1)dp}{p(p+1)}$

que es la integral de una función racional (trivial).

[LauraLopez]

Re: fuerza viscosa

busque la definicion de tangente hiperbolica y veo que es

$\dst tanh x = \frac{{e}^{x } - {e}^{-x } }{{e}^{x } + {e}^{-x } }$

y yo tenia que $v(t) = \dst v_l \int\frac{{e}^{0,36 t } -1 }{{e}^{0,36t } +1 } dt$

no veo que sean lo mismo.... como me puedo dar cuenta de que v(t) es una tangente hiperbolica?

Con respecto a esa otra forma que das de calcular la integral que sea trivial significa que la debo buscar en tabla?

[angelo]

Re: fuerza viscosa

Bueno, eso te das cuenta por la experiencia en este tipo de problemas. Si se opera un poco, puedes comprobar que son equivalentes. De todas formas no es necesario para hacer la integral.
Cuando digo que es trivial, me refiero a que hay una forma sistemática de resolver este tipo de integrales.

[LauraLopez]

Re: fuerza viscosa

Bueno yo no recuerpo esa forma de resolver integrales hace un par de años no resuelvo integrales de analisis 1, se que la idea no es que hagamos integrales dificil asi que supongo que se hara de la otra forma que decis igualmente cual es esa igualdas que decis? como para anotarla y en caso de un futuro ejercicio recordarla

es asi?

$\dst \int \frac{dv}{{a}^{2 } - {b}^{2 } {v}^{ 2} } = Arctang (av)$


y luego tambien es valido decir que $v(t) = tangh (av)$ ?

[angelo]

Re: fuerza viscosa

La deduces a partir de la definición de tangente hiperbólica. De todas formas, esa integral se puede resolver haciendo el cambio $p=e^{0.36t}$, siendo $dp=0.36pdt$.
La integral queda entonces

$\dst \frac{1}{0.36}\int\frac{(p-1)dp}{p(p+1)}$

que es la integral de una función racional (trivial).

Esta integral se puede descomponer en dos:

$\dst \frac{1}{0.36}\int\frac{(p-1)dp}{p(p+1)}=\frac{1}{0.36}\int\frac{dp}{p+1}-\frac{1}{0.36}\int\frac{dp}{p(p+1)}=\frac{1}{0.36}\left[\ln(p+1)-\ln\left(\frac{p}{p+1}\right)\right]$

Si agrupas logaritmos y deshaces el cambio te queda

$\dst \frac{1}{0.36}\ln\left[\frac{(p+1)^2}{p}\right]=\frac{1}{0.36}\ln\left[\frac{(e^{0.36t}+1)^2}{e^{0.36t}}\right]$

Las relaciones que hay son:

$\dst \frac{e^{at}-1}{e^{at}+1}=\tanh(at/2)$

$\dst \int\tanh(at/2)dt=\frac{2}{a}\ln[\cosh(at/2)]$

[LauraLopez]

Re: fuerza viscosa

Entonces para la x(t) que me pide hallar seria:

$\dst x(t) = h + v_l \frac{1}{0.36}\ln\left[\frac{(e^{0.36t}+1)^2}{e^{0.36t}}\right]$

Estara bien? porque para t=0 no me da el valor de h que deberia ser porque es la altura inicial....

[angelo]

Re: fuerza viscosa

Si el origen de x está en el suelo, tienes

$\dst \int_{-h}^x dx=\int_0^t v(t)dt$

ya que x es positivo hacia abajo. La primitiva de v la tienes que evaluar en los dos extremos!

$\dst x(t)=-h+\left(\frac{v_t}{0.36}\ln\left[\frac{(e^{0.36t}+1)^2}{e^{0.36t}}\right]-\frac{v_t}{0.36}\ln4\right)$

[LauraLopez]

Re: fuerza viscosa

Gracias!! ademas intente hacerlo de la otra forma y llego a la exresion

$\dst x(t) = -h + \frac{ 2 v_l}{0,36 } Ln (cosh(0,18t))$

Ahora para graficarlo creo que seria mas comodo usar esta funcion no? igual no me doy mucha idea de como graficarlo....

[angelo]

Re: fuerza viscosa

Pues muy sencillo!
Para tiempos pequeños, la velocidad es $v(t)\simeq gt$, y por tanto la posición seguirá la parábola $x(t)\simeq \frac{1}{2}gt^2-h$
Para tiempos muy grandes, la velocidad es $v(t)\simeq v_t$, con lo cual la posición sigue la recta $x(t)\simeq v_tt+C$, con C una constante.
Entonces, la gráfica de $x(t)$ partiría de $-h$ creciendo al principio como una parábola, y tendiendo hacia una recta de pendiente $v_t$ a medida que avanza el tiempo.

[LauraLopez]

Re: fuerza viscosa

hee??? como sabes todo eso? jaajaja no entiendo esa forma que tenes de encontarr las graficas de las funciones por medio de aproximaciones pero parece una forma muy util como es? se tiene que separar el comportamiento para tiempos pequeños y grandes? que se considera pequeño? y como se en que punto comienza a ser grande? y obviamente como logras saber que esas son las aproximaciones en esos tramos??

[angelo]

Re: fuerza viscosa

No es más que un análisis cualitativo de la ecuación diferencial: $ma+\alpha v^2=mg$

Con tiempos pequeños me refiero al lapso de tiempo, justo al comenzar el movimiento, donde la velocidad todavía es prácticamente nula. En ese caso, la ecuación diferencial se aproxima por $ma\simeq mg$. Resolviendo para la velocidad tienes $v(t)\simeq gt$, y para la posición $x(t)\simeq \frac{1}{2}gt^2+C_1$

Para tiempos grandes, el cuerpo va alcanzando la velocidad límite, y su aceleracilón se irá haciendo cada vez más pequeña. En este caso, la ecuación diferencial se aproxima por $\alpha v^2\simeq mg$ (una ecuación algebraica). Resolviendo para la velocidad tienes $v(t)\simeq v_t$, y para la posición $x(t)\simeq v_tt+C_2$

Para estimar a partir de qué instante se da la transición entre tiempos pequeños y grandes, podemos calcular el tiempo necesario para que el cuerpo acelere hasta la velocidad terminal bajo la acción únicamente del campo gravitatorio, es decir $t_c\sim v_t/g$. Si $t\ll t_c$ será válida la aproximación de tiempos pequeños. Si $t\gg t_c$ será válida la aproximación de tiempos grandes.