Secundaria ¿Es correcta la teoría de la gravitación universal?

[Visitante]

Desde hace tiempo me pregunto si existe el teorema de Gauss para la gravedad, es decir, el campo eléctrico se saca fácilmente mediante el teorema de Gauss:
$\oint \vec{E} d\vec{s}=\frac{Q}{\varepsilon }$
con eso puedes sacar muy fácilmente la ley de coulomb, pero el campo eléctrico generado por un cubo es diferente. ¿Ocurre algo similar en la gravedad? La ley de gravitación universal es correcta para las esferas ¿pero ocurre lo mismo que en el campo eléctrico? ¿Para un cubo sería lo mismo o no?

[pod]

Re: ¿Es correcta la teoría de la gravitación universal?

Desde hace tiempo me pregunto si existe el teorema de Gauss para la gravedad, es decir, el campo eléctrico se saca fácilmente mediante el teorema de Gauss:
$\oint \vec{E} d\vec{s}=\frac{Q}{\varepsilon }$

En efecto, el teorema de Gauss para la gravedad (versión integral) es:

$$\oint_S \vec g \cdot \dd \vec s = 4\pi G\, M(S) .$$

donde M(S) es la masa contenida en el interior de la superficie (imaginaria) S.

con eso puedes sacar muy fácilmente la ley de coulomb, pero el campo eléctrico generado por un cubo es diferente. ¿Ocurre algo similar en la gravedad? La ley de gravitación universal es correcta para las esferas ¿pero ocurre lo mismo que en el campo eléctrico? ¿Para un cubo sería lo mismo o no?

Creo que tienes algo mal entendido.

El teorema de Gauss es siempre correcto. Por eso es un teorema, no una "simple fórmula que se cumple sólo para las esferas". Lo que ocurre es que el teorema de Gauss sólo es realmente útil como método de cálculo cuando la integral de la superficie es lo suficientemente simple como para poder calcularla. Normalmente, eso se da cuando el campo es constante en la superficie; y al ser constante entonces sale de la integral. Por eso, todos los casos con simetría esférica son sencillos: si hay simetría esférica, el campo es constante si elijo como superficie S una esfera; y por lo tanto la integral es simplemente $\vec g \cdot \int \dd \vec s = g S = g 4\pi r^2$.

En el caso de un cubo, el teorema de Gauss se sigue cumpliendo, sigue siendo válido. Lo que pasa es que te sirve de poco ya que no hay ninguna simetría en el problema.

Por otro lado, cuando dices que para un "cubo es diferente", ¿te refieres a que si la ecuación sigue siendo la típica que decae como $1/r^2$? La respuesta es no. La ley de la gravitación universal, igual que la ley de Coulomb, como tal sólo aplican a partículas fundamentales. Otra cosa es que, "por casualidad", si tomamos un cuerpo con simetría esférica y miramos el valor del campo fuera de él, en ambos casos nos sale la misma ecuación que para una partícula puntual. Pero eso es una casualidad. Supongo que el problema es que no te han explicado ese detalle: por definición, la ley fundamental se aplica a partículas puntuales.

Con el caso del cubo, lo que se puede hacer es dividir el cubo en partículas muy pequeñas, diferenciales, considerar que aportan un valor al campo como si fueran fundamentales e integrar el resultado para sumar todas las contribuciones. Eso se hace con integrales, son problemas típicos de primero o segundo.

[visitante20160513]

Re: ¿Es correcta la teoría de la gravitación universal?

El teorema de Gauss es un teorema matemático, cualquier campo vectorial, físico o imaginado debe satisfacerlo.

Salu2, Jabato.

[Visitante]

Re: ¿Es correcta la teoría de la gravitación universal?

¿Y cuál es el teorema de Gauss en general?

[teclado]

Re: ¿Es correcta la teoría de la gravitación universal?

El teorema de Gauss se aplica a cualquier campo vectorial en un espacio tridimensional que hasta donde yo sé debería ser euclídeo:

$\int_V \vec{\nabla}\vec{A} dv = \oint_S \vec{A}\vec{ds}$

Donde V es un volumen cualquiera y S es la superficie (cerrada) que lo envuelve ($\vec{ds}$ es el vector diferencial de superficie, que toma como magnitud el valor del elemento de superficie, dirección perpendicular a ella y sentido hacia el exterior).

Lo que haces en electrostática es partir de las ecuaciones de Maxwell, en concreto la que dice:

$\vec{\nabla}\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$

Donde $\rho$ es la densidad de carga local. Si integras esto en un volumen cualquiera de los que te hagan gracia y aplicas el teorema:

$\int_V\vec{\nabla}\vec{E}dv=\oint_S\vec{E}\vec{ds}=\int_V\frac{\rho}{\epsilon_0}dv=\frac{Q}{\epsilon_0}$

En gravitación se tiene una ecuación análoga a la de Maxwell que es:

$\vec{\nabla}\vec{g}=4\pi G\rho$

Que es la que aplicó pod, y donde $\rho$ es la densidad (de masa) local.

[Weip]

Re: ¿Es correcta la teoría de la gravitación universal?

Desde hace tiempo me pregunto si existe el teorema de Gauss para la gravedad

¿Y cuál es el teorema de Gauss en general?

Malevolex esta es la tercera o cuarta vez que lo preguntas. No sé porqué se te olvida siempre pero deberías buscar los hilos de hace unos meses y volverlos a leer. Ya te han dicho la mayoría de cosas pero déjame prestarte el enlace del teorema en versión matemática. Cualquier campo que cumpla las hipótesis cumple el teorema de Gauss (o de la divergencia). Cuando los aplicas al campo gravitatorio, eléctrico y magnético te quedan las ecuaciones de las que se ha hablado en este hilo. Es posible que no supieras de la existencia del teorema de Gauss para la gravedad porque no es tan útil como el del campo eléctrico. Al fin y al cabo los objetos que ejercen gravedad apreciable son esferas así que hay pocos problemas que puedas resolver.

[Visitante]

Re: ¿Es correcta la teoría de la gravitación universal?

Malevolex esta es la tercera o cuarta vez que lo preguntas. No sé porqué se te olvida siempre pero deberías buscar los hilos de hace unos meses y volverlos a leer. Ya te han dicho la mayoría de cosas pero déjame prestarte el enlace del teorema en versión matemática. Cualquier campo que cumpla las hipótesis cumple el teorema de Gauss (o de la divergencia). Cuando los aplicas al campo gravitatorio, eléctrico y magnético te quedan las ecuaciones de las que se ha hablado en este hilo. Es posible que no supieras de la existencia del teorema de Gauss para la gravedad porque no es tan útil como el del campo eléctrico. Al fin y al cabo los objetos que ejercen gravedad apreciable son esferas así que hay pocos problemas que puedas resolver.

Sí ya lo encontré en este hilo, la cosa es que buscaba el teorema de manera general y refrescar el teorema de Gauss matemáticamente. Así también le sirve a alguien más y le es más fácil encontrarlo aquí.

El teorema de Gauss es un teorema matemático, cualquier campo vectorial, físico o imaginado debe satisfacerlo

Entonces, también debe aplicarse al campo magnético? Es un campo vectorial aunque cerrado, pero nunca he oído hablar del teorema de Gauss para este caso. Lo que sí he oído es la ley de Ampère.

[angel relativamente]

Re: ¿Es correcta la teoría de la gravitación universal?

Entonces, también debe aplicarse al campo magnético? Es un campo vectorial aunque cerrado, pero nunca he oído hablar del teorema de Gauss para este caso. Lo que sí he oído es la ley de Ampère.

Pues es el nombre que recibe una de las ecuaciones de Maxwell. La cosa es que el Teorema de Gauss lo aplicas sobre una fuente de campo. Una masa en gravitación, una carga puntual en campo eléctrico... ¿qué fuentes de carga conoces en magnetismo? ¿cuánto crees que valdrá el teorema de Gauss en una región donde haya campo magnético?

[Alriga]

Re: ¿Es correcta la teoría de la gravitación universal?

Entonces, también debe aplicarse al campo magnético? Es un campo vectorial aunque cerrado, pero nunca he oído hablar del teorema de Gauss para este caso

Probablemente sí has oído hablar, aunque no lo has identificado. La aplicación del Teorema de Gauss-Ostrogradsky al campo magnético es la Segunda Ley de Maxwell:

-El flujo del vector Inducción Magnética a través de cualquier superficie cerrada es cero, (forma integral)
-La divergencia de la Inducción Magnética es cero, (forma diferencial)

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Maxwell

Saludos.

Edición: He escrito este comentario sin haber leído el de angel relativamente, veo que coincidimos básicamente en la respuesta.

[Weip]

Re: ¿Es correcta la teoría de la gravitación universal?

Cuando los aplicas al campo gravitatorio, eléctrico y magnético te quedan las ecuaciones de las que se ha hablado en este hilo.

Sí ya lo encontré en este hilo,

Entonces, también debe aplicarse al campo magnético? Es un campo vectorial aunque cerrado, pero nunca he oído hablar del teorema de Gauss para este caso. Lo que sí he oído es la ley de Ampère.

Yo ya no puedo decirlo de otra manera jajaja. En todo caso supongo que te puede interesar este link donde tienes el cálculo del flujo de un campo vectorial a través de un cubo. Igual supera un poco tu nivel pero dejando de lado los detalles técnicos creo que se puede entender. Trata de un campo vectorial matemático pero para los campos físicos reales la historia es igual.

[Mossy]

Re: ¿Es correcta la teoría de la gravitación universal?

Entonces, también debe aplicarse al campo magnético? Es un campo vectorial aunque cerrado, pero nunca he oído hablar del teorema de Gauss para este caso. Lo que sí he oído es la ley de Ampère.

Malevolex, yo creo que te estás haciendo un lío con el teorema de Gauss o teorema de la divergencia (que es válido para cualquier campo vectorial con derivadas parciales continuas) y con la ley de Gauss (que también se llama teorema de Gauss, pero da lugar a confusiones).

El teorema de Gauss o de la divergencia establece que un campo vectorial $\vec{F}$ con derivadas parciales continuas cumple

$$\iint_S \vec{F} \cdot \vec{n}dS = \iiint_V \nabla \cdot \vec{F} dV$$

Y luego está la ley de Gauss (que también a veces se le conoce como teorema de Gauss) que establece que el flujo de ciertos campos a través de una superficie cerrada es proporcional a la magnitud de las fuentes de dichos campos que hay encerradas en la superficie. Aquí es donde entran la ley de Gauss para el campo eléctrico y para el campo gravitatorio, y que cumplen el teorema de Gauss (o de la divergencia) y puedes expresar dicha ley mediante una integral de superficie o mediante la divergencia del campo. Esto hace que sean equivalentes las expresiones

$$\oiint_S \vec{E} \cdot \vec{dS} = \frac{Q_{encerrada}}{\epsilon _0} \Leftrightarrow \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon _0}$$

El campo magnético cumple que su divergencia es siempre nula, esto es,

$$\nabla \cdot \vec{B} = 0 \Leftrightarrow \oiint_S \vec{B} \cdot \vec{dS} = 0$$

Y esto quiere decir que el flujo de campo magnético a través de cualquier superficie cerrada es siempre nulo. Toda línea de campo que sale por la superficie vuelve a entrar, entonces el flujo neto se anula.

Esto quiere decir que no existen monopolos magnéticos, o por lo menos no se han descubierto. Si coges un imán con sus dos polos (norte y sur) y lo partes por la mitad, no te vas a quedar con un cacho norte y un cacho sur... cada trozo adquiere de nuevo dos polos norte y sur. Aquí puedes leer lo que pasaría si se descubriese que sí existen los monopolos magnéticos.

Saludos,

[Visitante]

Re: ¿Es correcta la teoría de la gravitación universal?

¿qué fuentes de carga conoces en magnetismo? ¿cuánto crees que valdrá el teorema de Gauss en una región donde haya campo magnético?

Las fuentes que conozco son norte y sur, según tengo entendido vale cero porque el flujo magnético es nulo como ya veo que se ha demostrado hace poco. Había visto las ecuaciones de Maxwell, pero nunca había pensado que sería el teorema de Gauss el segundo. Pd: Mossy aún no he llegado a las derivadas parciales por lo que no soy capaz de entender tu demostración pero veo a donde quieres llegar.Gracias a todos,

[Weip]

Re: ¿Es correcta la teoría de la gravitación universal?

Hola.

Las fuentes que conozco son norte y sur,

La cosa está en que lo polos no son las fuentes más fundamentales. Realmente las fuentes del campo magnético son la corriente eléctrica y la corriente de desplazamiento. Esto lo puedes observar en la cuarta ecuación de Maxwell, que es la ley de Ampère generalizada.

según tengo entendido vale cero porque el flujo magnético es nulo como ya veo que se ha demostrado hace poco.

Te están preguntando con otras palabras porqué el flujo magnético a través de una superfície cerrada vale cero así que no puedes contestar "porque el flujo vale cero". La explicación es básicamente la que ya ha dicho Mossy: si trazas una superfície gaussiana (que es imaginaria) verás que las líneas del campo magnético salen pero siempre, en todos los casos, vuelven a entrar. Por lo tanto el flujo a través de la superfície es cero ya que las mismas líneas que salen, vuelven a entrar.

Había visto las ecuaciones de Maxwell, pero nunca había pensado que sería el teorema de Gauss el segundo.

Seguramente las has visto todas lo que pasa es que sueltas. La primera es el teorema de Gauss de campo eléctrico, la segunda el teorema de Gauss de campo magnético, la tercera la ley de Faraday y la cuarta la ley de Ampère generalizada. También podrás ver dos versiones de las ecuaciones: forma diferencial y forma integral. Es posible que la segunda te sea más entendedora.

Espero haberte ayudado.