Divulgación El problema de los 3 cuerpos

[Richard R Richard]

Durante los días que estuve buscando información, para publicar en mi blog, pase lectura por el denominado problema de los 3 cuerpos .

He seguido buscando más y no halle respuesta sobre lo siguiente...

Aparentemente se demostro que por medio de las ecuaciones de conservación de la energia, de las 18 integrales de movimiento, solo se pueden hallar 10 ecuaciones linealmente independientes, por lo que es problema no tiene solución total de forma general.

Yo entiendo que tales integrales son, las que devuelvan a cada instante el valor del vector posición $\vec{x(t)}_i=(x_{1i}(t), x_{2i}(t).x_{2i}(t))$ y del vector velocidad $\vec{v(t)}_i=(v_{1i}(t), v_{2i}(t),v_{2i}(t))$ para cada cuerpo $i$ con $i =\{1,2,3\}$, o sea existen 18 incognitas a determinar para un determinado instante $t$. esto es así? osea son son solo 18 los grados de libertad?

La pregunta es no se tiene en cuenta la rotación sobre el propio eje de los cuerpos, solo la traslación. ? En definitiva el momento angular de cada cuerpo con respecto al plano que los contiene, no afecta a la trayectoria?

[Alriga]

Re: El problema de los 3 cuerpos

La pregunta es no se tiene en cuenta la rotación sobre el propio eje de los cuerpos, solo la traslación

El problema clásico de los 3 cuerpos está definido para 3 masas puntuales. Por lo tanto al ser puntos, no puede haber rotaciones ni fuerzas de marea.
Saludos.

[Alriga]

Re: El problema de los 3 cuerpos

¡Hola Richard, Felices Fiestas desde muuy lejos y con un montón de agua salada en medio...!
He estado durante estas Navidades fuera de casa con poco acceso a Internet, pero tenía en mente este hilo, y hoy al regresar he buscado una web, (que recordaba había visto hace tiempo), que simulaba trayectorias de 2, 3, ó hasta 4 cuerpos. Es ésta, por si es de tu interés y el de otros usuarios de la web, se pueden pasar ratos divertidos jugando:

My solar system

Para aproximar las soluciones de las ecuaciones diferenciales, se utiliza el Algoritmo de Verlet

¡Saludos!

[Richard R Richard]

Re: El problema de los 3 cuerpos

Gracias igualmente!!! Buen Año alriga , me has regalado un juguete nuevo y todavía no es reyes!!!

ya pude probar el L4 y L5, L1 y L2 cuesta hasta dar con la escala de masas y distancia, pero L3 que es mas fácil no lo puedo mantener en sincronia, es claro que la estabilidad es muy poca, pero pense que lo podia obtener un par de vueltas , voy a afinar el lapiz, y probar con mas tiempo.

Saludos $\mathbb{R}^3$

[Alriga]

Re: El problema de los 3 cuerpos

Pues cuando lo consigas por favor, pásanos las posiciones, masas y velocidades para que podamos jugar todos.
Saludos.

[Richard R Richard]

Re: El problema de los 3 cuerpos

Lo que al principio es solo suerte de principiante, cuánto le pones ganas se complica.

Si bien el programa funciona bien y el método numérico de cálculo sabemos que es bueno, usa un paso que no es lo suficientemente pequeño como para que los errores de cálculo, no afecten el equilibrio demasiado temprano, es decir creo que en la programación sacrificaron precisión en nombre de la dinámica de internet, en pocos segundos realiza gran cantidad cálculos, pero con un paso grande, por lo que las órbitas teóricas, que debería representar, se desvían en medio giro. Hubiese preferido, que demore 2 minutos en graficar pero un resultado más realista. Aún así es práctico y muy fácil de operar, mejor que la calculadora ,la regla y el compás.

Como no tiene posibilidad de agregar decimales a los datos, agranda el error al solo hecho de cargar datos, por lo que realizar una representación a escala es casi imposible, pues tampoco se ajusta la escala de pantalla, por lo que solo es conveniente realizar el gráfico de las órbitas en una escala compatible con el programa no con la realidad, pero aún así mientras es estable describe la trayectoria que se está buscando.

Es decir que al cargar los datos hay que ser sumamente preciso, pues al variar el valor en $\pm 1$ varía la trayectoria claramente.

Después de atajarme por todos los wines por lo que vendrá...


Te paso los datos que he simulado, que tiene estabilidad en de 1 a 10 segundos según el caso.

Seteos generales

• Elegir en Preset el sistema Sol_Tierra_Luna(Sun-Earth-Moon) pues ya maneja tres cuerpos directamente.
• Tildar Sistem Centered
• Tildar Show Traces
• Correr la barra deslizable hacia la izquierda (máxima precisión) Accurate

para el punto de Lagrange L1 copia la siguiente tabla

	masa	x	y	$v_x$	$v_y$
Cuerpo 1 $M_1$	900	0	0	0	0
Cuerpo 2 $M_2$	100	150	0	0	244
Cuerpo 3 $m$	0	108	0	0	146

Dar botón de Start , el sistema es estable hasta $t=1.2$

observa que pasa si haces $v_y= v_y\pm1$ la estabilidad se alza un hilo muy fino


para el punto de Lagrange L2

	masa	x	y	$v_x$	$v_y$
Cuerpo 1 $M_1$	900	0	0	0	0
Cuerpo 2 $M_2$	100	150	0	0	244
Cuerpo 3 $m$	0	207	0	0	312

para el punto de Lagrange L3

	masa	x	y	$v_x$	$v_y$
Cuerpo 1 $M_1$	900	0	0	0	-16
Cuerpo 2 $M_2$	100	150	0	0	245
Cuerpo 3 $m$	0	-150	0	0	-245

para el punto de Lagrange L4

	masa	x	y	$v_x$	$v_y$
Cuerpo 1 $M_1$	900	0	0	0	0
Cuerpo 2 $M_2$	100	150	0	0	244
Cuerpo 3 $m$	0	75	129	-210	123

para el punto de Lagrange L5

	masa	x	y	$v_x$	$v_y$
Cuerpo 1 $M_1$	900	0	0	0	-16
Cuerpo 2 $M_2$	100	150	0	0	244
Cuerpo 3 $m$	0	75	-129	210	123

Este otro problema es muy bonito

	masa	x	y	$v_x$	$v_y$
Cuerpo 1	100	0	0	0	-100
Cuerpo 2	100	86	50	-86	50
Cuerpo 3	100	86	-50	86	50

y en 4 cuerpos

	masa	x	y	$v_x$	$v_y$
Cuerpo 1	100	0	0	100	0
Cuerpo 2	100	100	0	0	100
Cuerpo 3	100	100	100	-100	0
Cuerpo 4	100	0	100	0	-100

Espero que se pueda apreciar de que va el tema antes de que las trayectorias se desvíen.


Saludos $\mathbb{R}^3$

[Alriga]

Re: El problema de los 3 cuerpos

Gracias Richard, je, je.
De estilo similar también hay este juego, que te permite ir insertando cuerpos astronómicos de diferentes masas en diferentes posiciones con el objetivo de que el sistema no se desequilibre, (cuando alguno de los cuerpos resulta expulsado del sistema, pierdes).
Cuidado, es un poco adictivo y puedes acabar perdiendo mucho el tiempo ahí,...
Super Planet Crash
Saludos.

[Gottfried]

Re: El problema de los 3 cuerpos

Hola! Les dejo este otro "juguete" del mismo tipo que nos ha traído Alriga:

http://www.nowykurier.com/toys/gravity/gravity.html

No nos brinda la posición de las partículas y carece de la posibilidad de definir el vector velocidad numéricamente, pero aún así es divertido jugar buscando órbitas estables para muchos cuerpos.

[Alriga]

Asteroides Troyanos y Hildas

Durante los días que estuve buscando información, para publicar en mi blog, pase lectura por...

Releyendo en tu blog sobre los Puntos de Lagrange L4 y L5 recordé el caso de los Asteroides Troyanos, muy conocidos por estar situados precisamente en los L4 y L5 del sistema Sol-Júpiter.
Pero los que son menos conocidos son otro grupo de asteroides llamados Hildas, que describen órbitas elípticas en resonancia 3:2 con Júpiter.
Las Hildas parecen desplazarse desde L3 hasta L5, continuando hasta el paso por su perihelio, (que coincide además con su mínima distancia de Júpiter), y posteriormente desplazándose hasta L4 a lo largo de su órbita. En esta animación los Troyanos son los de color verde y las Hildas los de color violeta.

http://sajri.astronomy.cz/asteroidgroups/hildatroj.gif

Aquí se ve la órbita de uno de los Hildas más conocidos, el asteroide "153-Hilda"

https://en.wikipedia.org/wiki/File:H...ointsLousy.gif

Para más información sobre los Hildas, en la Wikipedia: Hilda family

Saludos.

[alexpglez]

Re: El problema de los 3 cuerpos

Es curioso los puntos de Lagrange. Una pregunta, he probado a hacer pruebas con simetrías, no creo que sean muy estables si se introducen masas pequeñas (ej. asteroides externos pequeños), aunque como la simulación aumenta el error con el paso del tiempo, no sé muy bien si serían estables o no. Comparto con vosotros los datos. Mi pregunta es, ¿se pueden explicar estas órbitas matemáticamente?



Gracias, un saludo

[Alriga]

Re: El problema de los 3 cuerpos

... Mi pregunta es, ¿se pueden explicar estas órbitas matemáticamente? ...

Cuando solamente hay dos masas puntuales, (problema de los dos cuerpos) es posible integrar las ecuaciones diferenciales, obteniéndose que las trayectorias son cónicas, (rectas, círculos, elipses, parábolas o hipérbolas) dependiendo de las posiciones y las velocidades iniciales. Este problema fue resuelto hace varios siglos.

Pero cuando hay 3 cuerpos, el caso general no permite obtener integrales "cerradas", dice en la Wikipedia: "En general, el problema de los tres cuerpos (y el problema de los n-cuerpos, para n > 3) no puede resolverse por el método de las cuadraturas o integrales de movimiento (o integrales primeras). Como demostró el matemático francés Henri Poincaré, no existe una fórmula que lo rija. Esto es, de las 18 integrales de movimiento sólo 10 pueden ser resueltas por las leyes de conservación. Además de estas 10 integrales, no existe ninguna otra integral que sea algebraicamente independiente. Esto no implica, sin embargo, que no exista una solución general del problema de los tres cuerpos, pues se puede desarrollar una solución como una serie. En algunos casos su solución puede ser caótica en el sentido físico del término, que significa que pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden llevar a destinos totalmente diferentes"

Está claro que existen casos particulares estables o quasiestables, por ejemplo para 3 cuerpos: una estrella doble en que las dos estrellas están lejos y solo hay un planeta pequeño orbitando en torno a ellas, pero supongo que la estabilidad del caso general de 3 o más cuerpos, (es decir encontrar soluciones periódicas) debe ser inabordable, si resulta que ya meramente el cálculo de posiciones y velocidades no se puede resolver mediante cuadraturas.

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: El problema de los 3 cuerpos

Aparentemente se demostró que por medio de las ecuaciones de conservación de la energía, de las 18 integrales de movimiento, solo se pueden hallar 10 ecuaciones linealmente independientes, por lo que es problema no tiene solución total de forma general.

Podrás plantear la ecuaciones diferenciales del movimiento de cada cuerpo, y aplicar las simetrías que creas conveniente que reduzcan, tus grados de libertad, aun así la no linealidad, y la interdependencia de las variables, no te permitirá obtener una primitiva de las posiciones de cada cuerpo a cada instante, salvo algunas excepciones que te han nombran.

Cuando solamente hay dos masas puntuales, (problema de los dos cuerpos) es posible integrar las ecuaciones diferenciales, obteniéndose que las trayectorias son cónicas, (rectas, círculos, elipses, parábolas o hipérbolas) dependiendo de las posiciones y las velocidades iniciales. Este problema fue resuelto hace varios siglos.

Los métodos numéricos de resolución, dan aproximaciones muy fidedignas, pero debido al minúsculo error la en cada paso de iteración, se va perdiendo con el correr del tiempo la precisión y no es posible estimar la posición de un cuerpo con un error acotado, ni mucho tiempo a futuro ni mucho tiempo hacia atrás. Evidentemente la mejora del método cálculo de cada iteración , por el avance tecnológico, y la reducción del paso haciéndolo tender a cero , dan mejores estimaciones, además la precisión es inversamente proporcional al tiempo de cálculo. La potencia de los ordenadores hogareños de hoy hace posible que tengamos disponibles los chiches con los que muchos científicos, soñaron no hace mucho tiempo atrás.

En cuanto a modelizar teoricamente el movimiento de n o mas cuerpos, es posible, basta con conseguir un ciclo periódico, lo más exacto posible y repetir el loop indefinidamente haciendo concordar el inicio de un nuevo periodo con el fin del anterior. Todos estos juegos y simuladores basan justamente "el juego" en que el método de cálculo desviara tarde o temprano la trayectoria de los cuerpos en base la precisión de de la posición y velocidad inicial de los cuerpos.

Saludos $\marhbb{R}^3$

[Alriga]

Re: El problema de los 3 cuerpos

... cuando hay 3 cuerpos, el caso general no permite obtener integrales "cerradas", dice en la Wikipedia: "En general, el problema de los tres cuerpos (y el problema de los n-cuerpos, para n > 3) no puede resolverse por el método de las cuadraturas o integrales de movimiento (o integrales primeras). Como demostró el matemático francés Henri Poincaré, no existe una fórmula que lo rija. Esto es, de las 18 integrales de movimiento sólo 10 pueden ser resueltas por las leyes de conservación. Además de estas 10 integrales, no existe ninguna otra integral que sea algebraicamente independiente. Esto no implica, sin embargo, que no exista una solución general del problema de los tres cuerpos, pues se puede desarrollar una solución como una serie. En algunos casos su solución puede ser caótica en el sentido físico del término, que significa que pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden llevar a destinos totalmente diferentes" ...

No imaginaba que después de los estudios de Henri Poincaré de hace más de 100 años aun hubiese físicos que estuviesen estudiando el problema de los 3 cuerpos. Por eso me ha sorprendido mucho encontrar que 3 físicos chinos, Xiaoming Li, Yipeng Jing y Shijun Liao han publicado dos estudios en los últimos meses sobre soluciones periódicas obtenidas mediante cálculo numérico desconocidas hasta ahora. En un estudio publicado en septiembre de 2017 presentan "1223 families of periodic collisionless orbits": The 1223 new periodic orbits of planar three-body problem with unequal mass and zero angular momentum y en un segundo estudio de este mes, 231 más: Collisionless periodic orbits in the free-fall three-body problem

Lo bueno es que algunas de estas órbitas se pueden ver animadas en: Movies of the Periodic Planar Collisionless Three-Body Orbits with unequal mass in Real Space or on Shape Sphere y en Movies of the Collisionless Periodic Orbits in the Free-fall Three-body Problem in Real Space or on Shape Sphere



Saludos.

[Alriga]

Hoy he encontrado este interesante vídeo en español sobre el problema de los 3 cuerpos:

ARTÍCULOS RELACIONADOS:
- Problema de los Dos Cuerpos: https://web.physics.ucsb.edu/~fratus/...
- Solución de Euler: https://www.phys.lsu.edu/faculty/gonz...
- Broucke-Hénon: https://arxiv.org/pdf/1607.00580.pdf
- Página para visualizar Órbitas Periódicas: https://observablehq.com/@rreusser/pe...
- El Ocho: https://arxiv.org/pdf/math/0011268.pdf
- 13 Nuevas Clases de Órbitas Periódicas (2013): https://journals.aps.org/prl/pdf/10.1...
- 12409 Nuevas Órbitas (2023): https://arxiv.org/pdf/2308.16159.pdf
- Artículo sobre Estabilidad de Mercurio (2020): https://arxiv.org/pdf/2012.05177.pdf
- El Problema de Tres Cuerpos Restringido: https://jan.ucc.nau.edu/~ns46/student...
- Artículo de la NASA sobre la Solución de Sundmann: https://ntrs.nasa.gov/api/citations/1...

Saludos.

[javisot20]

Mates Mike hace siempre muy buenos vídeos, diría que este es de los mejores.

Por poner una pega, no es cierto que el problema de 2 cuerpos sea directa y totalmente resoluble, también se restringe imponiendo que los cuerpos deben ser regulares. El caso de 2 cuerpos irregulares es irresoluble. Puede restringirse el problema de 2 cuerpos para aproximarnos a un problema de 1 cuerpo al despreciar uno de los cuerpos (regular o irregular). El problema se reduce a describir la evolución de una única masa en una cierta geometría.

También puede restringirse el problema de 1 cuerpo imponiendo que dicha masa sea lo suficientemente pequeña, pero no existe solución al problema de 1 cuerpo en su versión cuántica, todavía.