Divulgación Un hipotético hombre de Vitruvio en el centro de la Tierra.

[Anaximandro22]

Supongamos que encontramos una hipotética oquedad en el centro geométrico de la Tierra de tamaño suficientemente amplio para lo que se expone a continuación.

Supongamos que hipotéticamente pudiésemos situar en la misma a un ser humano.

¿ Qué fuerzas experimentaría ?

Mi suposición es que experimentaría una fuerza de atracción o mejor dicho de tracción , según se mire , en todas direcciones , desde el centro de su cuerpo hacia afuera , debida a la fuerza de la gravedad generada por la masa de toda la Tierra que lo circunda , quedando suspendido en el centro del hueco como si flotase en el espacio , con la diferencia de que además de flotar experimentaría , como digo , la tracción del peso de su propio cuerpo desde su centro hacia afuera.

Su posición de reposo sería semejante a la de la conocida figura del hombre de Vitruvio de Leonardo da Vici .

Quisiera saber si mi razonamiento es correcto.

[teclado]

En el centro exacto de un cuerpo, la gravedad es nula. La intensidad de campo gravitatorio cumple la ley de Gauss:

$\oiint_{S}\vec{g}\vec{\dd s} = -4\pi G\iiint_{V}\rho\dd v$

Donde S es una superficie cerrada y V su volumen, siendo $\vec{g}$ la intensidad del campo en cada elemento de la superficie S y $\rho$ la densidad en cada elemento del volumen V.

Si el volumen está vacío, la integral de la derecha es nula, y el flujo del campo a través de la superficie también lo es. Si el problema (tanto la superficie vacía como el resto del planeta) tiene simetría esférica, $\vec{g}$ es constante en módulo y tiene dirección radial. Dado esto, la única forma en la que la integral de la izquierda sea nula es que $\vec{g}=\vec{0}$ en toda la superficie. Es decir, que dentro de cualquier región esférica vacía concéntrica a un planeta esférico, la intensidad del campo gravitatorio es 0.

[Anaximandro22]

Queda entendida la explicación por la que , aplicando la ley de Gauss , en cualquier posición comprendida dentro de una supuesta región vacía y concéntrica en un planeta esférico la intensidad del campo gravitatorio es 0.

Con ello , efectivamente , queda demostrado que en el centro exacto de un cuerpo la gravedad es nula.

En el ejemplo de mi enunciado no me refería exactamente a un hipotético planeta totalmente hueco , entendiendo por tal que su masa esté presente tan solo en una delgada corteza exterior , sino más bien todo lo contrario , es decir , a un planeta macizo con un hueco concéntrico de un volumen reducido y no significativo en relación a la masa total del planeta ( pongamos 100 metros de diámetro ) en el que situar al personaje del ejemplo inicial.

Sin embargo , aún en este caso sigue siendo válida la afirmación de que en el centro exacto de un cuerpo la gravedad es nula. Aunque si no es así , agradecería que me sacasen de mi error .

Pero si esto es cierto , la pregunta es :


¿ Cómo explicamos que sea la gravedad la causa de que una estrella colapse hacia su centro , donde la gravedad es nula , hasta formar un agujero negro ?

[Eludio]

"···un planeta macizo con un hueco concéntrico de un volumen reducido y no significativo en relación a la masa total del planeta ( pongamos 100 metros de diámetro ) en el que situar al personaje del ejemplo inicial.···"

En cualquier punto dentro de ese volumen vacío de 100 m de diámetro (siempre que sea concéntrico con el planeta y éste sea de densidad homogénea por capas esféricas) la gravedad es cero.

[teclado]

Hola de nuevo,

En efecto, no importa el tamaño del hueco interior. Si imaginas un punto dentro del hueco alejado del centro una cierta distancia, digamos hacia arriba, habrá más masa tirando de él hacia abajo que hacia arriba, pero la ley de la inversa del cuadrado de la distancia hace que las fuerzas en cada dirección se anulen exactamente.

Intentando contestar a tu pregunta, ten en cuenta que aunque la gravedad sea nula en el centro exacto, la presión no lo es, ya que es cierta integral que implica la fuerza gravitatoria en todo el volumen (volumen esférico ahora con masa en su interior).

[Anaximandro22]

Al hilo del comentario de Eludio , cuando puntualiza acertadamente “siempre que sea concéntrico con el planeta y este sea de densidad homogénea” , refiriéndose a ese volumen vacío esférico de 100 m , me planteo una cuestión :

¿ Cómo calculamos la fuerza de gravedad ejercida sobre un objeto situado dentro de ese volumen esférico vacío si situamos dicho volumen en algún punto del radio del planeta de densidad homogénea en lugar de situarlo en su centro ?

Es decir :

Si sabemos que la fuerza de la gravedad en la superficie del planeta tiene su valor máximo “X” y en el centro un valor cero ,

¿ Qué valor , fracción de X , tendría la fuerza de gravedad si situamos el volumen vacío - con un objeto en su interior - a una distancia del centro del planeta de 1/3 , de 1/2 y de 2/3 de la longitud de su radio ?

Con la fórmula de la ley de gravitación universal puede calcularse la fuerza de gravedad conociendo las masas y la distancia entre los centros de las mismas , pero en este caso ,

¿ Cómo puede resolverse el problema ?

[Richard R Richard]

¿ Cómo calculamos la fuerza de gravedad ejercida sobre un objeto situado dentro de ese volumen esférico vacío si situamos dicho volumen en algún punto del radio del planeta de densidad homogénea en lugar de situarlo en su centro ?

Corrijanme si me equivoco ´porque toco bastante de oido.

Que este dentro de una esfera de 100 m no variara apreciablemente el efecto gravitacional de la gran masa circundante,

Cuando es concéntrica, el efecto de la derecha contrarresta el de la izquierda, el de arriba al de abajo y el de delante al de atrás, En el centro de cualquier planeta la gravedad es nula y como te dijeron lo que no es nula allí, es la Presión.
Cuando la presión es suficiente para vencer a la fuerza electromagnética que mantiene los electrones separados de los núcleos, la estrella estalla como supernova, una parte colapsa hacia al centro haciéndose mas densa, y otra es expulsada a alta velocidad. Llegado el caso según la masa de lo que ha implosionado, sigue habiendo la suficiente gravedad para esa masa se siga comprimiendo por la presión , está podrá o no vencer la fuerza de repulsión entre neutrones (derivada del principio de exclusión de Pauli), si lo logra sigue implosionbando hasta convertirse en agujero negro, sino solo se convierte en una estrella de neutrones.

volviendo al tema ...
Así que si esta descentrada la gravedad será solo la que cree toda la masa del planeta cuya distancia al centro este por debajo del radio donde se halla tu hombre de Vitruvio.

¿ Qué valor , fracción de X , tendría la fuerza de gravedad si situamos el volumen vacío - con un objeto en su interior - a una distancia del centro del planeta de 1/3 , de 1/2 y de 2/3 de la longitud de su radio ?

Con la fórmula de la ley de gravitación universal puede calcularse la fuerza de gravedad conociendo las masas y la distancia entre los centros de las mismas , pero en este caso ,

¿ Cómo puede resolverse el problema ?

Eso se ha explicado aquí en muchísimos hilos, usa la función de búsqueda

la gravedad en un planeta que tiene densidad constante, crece proporcionalmente con el radio, a radio cero tenemos gravedad cero, en un planeta de radio exterior $R$ y gravedad en la superficie de valor $g$ la gravedad a radio $r$ será

$g(r)=g\dfrac{r}{R}$


https://forum.lawebdefisica.com/foru...de-la-gravedad

[Eludio]

···
Si sabemos que la fuerza de la gravedad en la superficie del planeta tiene su valor máximo “X” y en el centro un valor cero ,

¿ Qué valor , fracción de X , tendría la fuerza de gravedad si situamos el volumen vacío - con un objeto en su interior - a una distancia del centro del planeta de 1/3 , de 1/2 y de 2/3 de la longitud de su radio ?

Con la fórmula de la ley de gravitación universal puede calcularse la fuerza de gravedad conociendo las masas y la distancia entre los centros de las mismas , pero en este caso ,

¿ Cómo puede resolverse el problema ?

Si el planeta es de densidad homogénea y el hueco esférico no se sitúa concéntrico, entonces la gravedad dentro del hueco no es cero, pero es constante en todo el hueco (tanto en módulo como en dirección). Su valor solo depende de la distancia del centro del planeta al centro del hueco (directamente proporcional) y su dirección es paralela al vector que une el centro del hueco con el centro del planeta (dentro del hueco el campo gravitatorio no es de dirección radial, sino constante).

Si te interesa la deducción de la fórmula del campo gravitatorio dentro del hueco, buscando por internet, lo más claro que he encontrado es este video (en inglés) que te deduce la fórmula aplicando principio de superposición a la ley de la gravedad universal: (imagino que habrá más y mejores videos/textos si buscas bien)

https://funwithphysicsproblems.com/2...-solid-sphere/

[Eludio]

Para dejarlo más claro. El módulo de la gravedad dentro del hueco es el que te dijo Richard R Richard : $g(r)=g\dfrac{r}{R}$, siendo r la distancia desde el centro del planeta al centro del hueco (esté donde esté el objeto dentro del hueco) y todo esto es independiente del tamaño del hueco, solo depende de la distancia del centro del hueco al centro del planeta. La otra cosa interesante es lo de la dirección del vector gravedad, que no es radial, sino paralela al vector que une el centro del hueco con el centro del planeta.

[Al2000]

Para dejarlo más claro, el valor de la gravedad que escribe Richard es cuando el hueco no está hueco, pero si el hueco está hueco, entonces la gravedad será cero (descontando cualquier gravedad de cuerpos externos al planeta).

[Eludio]

Al2000 Cuando dices: "Para dejarlo más claro, el valor de la gravedad que escribe Richard es cuando el hueco no está hueco, pero si el hueco está hueco, entonces la gravedad será cero (descontando cualquier gravedad de cuerpos externos al planeta)."

¿Te refieres a un hueco concéntrico, no? porque yo me refiero a un hueco no concéntrico con el centro del planeta, tal como expuso Anaximandro22 en su última pregunta.

Al decir que es igual al que dijo Richard R Richard es porque coincide en módulo con la fórmula por él indicada, aunque él se refería al caso de un planeta macizo.

[Richard R Richard]

Hola, ya que he metido la pezuña, trataré de aclarar o de oscurecer...

Un hueco de 100 m no afecta apreciablemente a la gravedad que puede ejercer semejante masa del resto del planeta, esto es para que no tengamos que descontar ninguna integral rara en los cálculos, luego, dentro de esa hipotética esfera cuyo centro este ubicado a cualquier distancia radial r del centro del planeta y además en cuyo interior se encuentre o no centrado el hombre, tendremos una gravedad cuyo módulo es igual al que propuse antes... su dirección es radial al planeta, y sentido hacia el centro.

La otra cosa interesante es lo de la dirección del vector gravedad, que no es radial, sino paralela al vector que une el centro del hueco con el centro del planeta.

??? si pasa por el centro del planeta ... no es radial???

No quiero desviar la cosa, solo aclarar que si el hombre esta descentrado la fuerza de marea tirara de él hacia la recta que une centro de la esfera con el centro del planeta... es decir no comparto mucho la idea de la constancia en modulo y direccción ,si se complica lo debatimos en otro hilo.

[Eludio]

El resultado de calcularlo es que el campo gravitatorio en un punto cualquiera del hueco no concéntrico:
1- Su magnitud es la de la fórmula que dijiste aplicada al centro del hueco.
2- Su magnitud no depende del diámetro del hueco. El módulo es el mismo tanto si es de 100 m de diámetro como si es de diámetro igual al radio del planeta.
3- Su dirección es paralela al vector que une el centro del hueco con el centro del planeta, por lo que solo será radial si se encuentra objeto se encuentra sobre dicho vector.

Bastante "anti-intuitivo" a primera vista.

[Eludio]

···
??? si pasa por el centro del planeta ... no es radial???
···

Digo "paralela" al vector (radial) que une el centro del hueco con el centro del planeta. Como veo que es un poco confuso, pongo un diagrama:

[Richard R Richard]

Creo que decimos lo mismo con otras palabras (en 1 es cierto por el teorema de Gauss y el de superposición ) y en 3 estamos de acuerdo,
En 2 en condiciones ideales, si mantenemos la masa constante del planeta y medimos siempre en el mismo r con un diámetro de esfera. $d<<R_T$ puede ser, pero si haces un hueco de diámetro cercano a $d=r_T$ ya no podemos decir que la masa es constante... luego g ya no es $g\neq\dfrac{GM_T}{r_T^2}$ ya le has quitado bastante de su masa con el hueco. Pero bueno, es un extremo. Para mi si g(r) depende del tamaño del hueco, 100 m no son nada pero 1000 km si y todavia eso es poco para lo hablado.
Los vectores A y B no "pasan" por el centro del planeta, como habías escrito antes...
No he encontrado información que avale o descalifique lo que dices, pero pongo todos los porotos (apuesta ficticia) a que te estas confundiendo, A y B no pueden ser paralelos,
Como mi intuición y mi jucio pueden fallar, he hecho la integración por método numérico y me resulta una aceleración en el eje $y$ de distinto signo para A y para B, incluso el módulo de la aceleración en $x$ de A difiere al de B. Solo propuse que A y B están desplazados una distancia $d$ con un angulo $\theta=\pi/4$ y $\theta+\pi$ para el otro, por supuesto la aceleración en z me salio con 17 ordenes de diferencia , por lo que supongo que ese alli esta el error del método, un radio de 6400 km, un radio de esfera de 500 km y la distancia al centro de la esfera para A y B unos 450km con $r=r_T/2$ .
En 100m de distancia, no creo que nadie note la diferencia de ángulos, como sucede en la superficie de la tierra con una separación de 100m todo, cae en "vertical" cuando en realidad sabemos que apuntan hacia un centro común. osea , la fuerza de marea es despreciable.

[Eludio]

··· y en 3 estamos de acuerdo, ···

Por lo que comentas más abajo, creo que ni aquí estamos de acuerdo ...

···En 2 en condiciones ideales, si mantenemos la masa constante del planeta y medimos siempre en el mismo r con un diámetro de esfera. $d<<R_T$ puede ser, pero si haces un hueco de diámetro cercano a $d=r_T$ ya no podemos decir que la masa es constante... luego g ya no es $g\neq\dfrac{GM_T}{r_T^2}$ ya le has quitado bastante de su masa con el hueco. Pero bueno, es un extremo. Para mi si g(r) depende del tamaño del hueco, 100 m no son nada pero 1000 km si y todavia eso es poco para lo hablado.···

Como ya dije, es todo bastante anti-intuitivo a primera vista (y a segunda también ). Pero si partimos del diagrama que envié, supongamos que el diámetro del hueco aumenta. Entonces desaparece masa por la izquierda y también, exactamente igual por la derecha. Y lo mismo en cualquier dirección que mires, debido a la simetría esférica, por lo que la g se mantiene, pues está todo compensado.

Los vectores A y B no "pasan" por el centro del planeta, como habías escrito antes...
No he encontrado información que avale o descalifique lo que dices, pero pongo todos los porotos (apuesta ficticia) a que te estas confundiendo, A y B no pueden ser paralelos,···

Esto es lo más anti-intuitivo de todo. Pero es lo que se obtiene (mira el link del video que puse más arriba, que obtiene el resultado sin integrar nada, muy sencillo y fácil). La fórmula del campo gravitatorio resultante dentro del hueco es:

$\vec{g}=-\dfrac{4 \pi G \rho}{3}\vec{X}\text{ donde } \vec{X}\text{ es el vector que une el centro del planeta con el centro del hueco}$ (o sea, el rojo del diagrama pero de sentido contrario).

Como se ve $\vec{g}$ dentro del hueco solo depende de la posición del centro del hueco respecto del centro del planeta y de su densidad

[teclado]

Si el planeta es de densidad homogénea y el hueco esférico no se sitúa concéntrico, entonces la gravedad dentro del hueco no es cero, pero es constante en todo el hueco (tanto en módulo como en dirección). Su valor solo depende de la distancia del centro del planeta al centro del hueco (directamente proporcional) y su dirección es paralela al vector que une el centro del hueco con el centro del planeta (dentro del hueco el campo gravitatorio no es de dirección radial, sino constante).

Si te interesa la deducción de la fórmula del campo gravitatorio dentro del hueco, buscando por internet, lo más claro que he encontrado es este video (en inglés) que te deduce la fórmula aplicando principio de superposición a la ley de la gravedad universal: (imagino que habrá más y mejores videos/textos si buscas bien)

https://funwithphysicsproblems.com/2...-solid-sphere/

Hola,

Es un resultado curioso que desconocía. Para que quede constancia en el foro y esperando aclarar algo la cosa intento trascribir con mis palabras lo que dice el vídeo.

Se trata de calcular el campo gravitatorio dentro de una esfera vacía que se encuentra dentro de otra mayor con densidad constante y no nula. Para ello y en virtud del principio de superposición, se puede obtener el campo debido a una esfera maciza de densidad $\rho$ constante, y restarle la contribución de otra esfera más pequeña que llena exactamente el hueco, también maciza y de densidad constante $\rho$. Apoyándonos en el siguiente dibujo:

El campo gravitatorio debido a una esfera maciza de dentsidad $\rho$ en un punto $\vec{r}$ del interior de la misma, como bien dice Richard viene dado por

$\vec{g}=-g_0\frac{\vec{r}}{R}$

Siendo $R$ el radio de la esfera. Siendo un poco más claros, igualando la expresión anterior con la dada por el campo fuera de la esfera, en su superficie,

$\vec{g} = -g_0\frac{\vec{R}}{R} = -g_0\frac{R}{R}\hat{u_r}= -\frac{GM}{R^2}\hat{u_r}$

Es decir, $g_0 = \frac{GM}{R^2} = \frac{\frac{4\pi}{3}GM}{\frac{4\pi}{3}R^2} = \frac{4\pi}{3}\frac{GMR}{V} = \frac{4\pi}{3}GR\rho$

Y el campo en el interior queda tal y como menciona Eludio:

$\vec{g}=-\frac{4\pi}{3}G\rho\vec{r}$

Ahora podemos aplicar este resultado a cada una de las esferas. La primera de ellas una esfera maciza de densidad $\rho$ con centro en (0,0,0) y de radio mayor:

$\vec{g_1} = - \frac{4\pi}{3}G\rho\vec{r_1}$

La segunda esfera, será también maciza y de densidad $\rho$, con centro en $\vec{a}$ y radio menor, llenando por completo el hueco del principio:

$\vec{g_2} = -\frac{4\pi}{3}G\rho\vec{r_2}$

El campo dentro del hueco será por tanto la diferencia entre estas contribuciones, con $\vec{g_1}$ positivo y $\vec{g_2}$ negativo:

$\vec{g} = -\frac{4\pi}{3}G\rho \left ( \vec{r_1}-\vec{r_2} \right )$

Ahora bien, independientemente del punto del interior del hueco que estemos considerando, $\vec{r_1}-\vec{r_2} = \vec{a}$, que es la posición del centro del hueco respecto al centro de la esfera mayor, que es constante. Con esto, el campo gravitatorio dentro del hueco siempre será constante e igual a

$\vec{g} = -\frac{4\pi}{3}G\rho\vec{a}$

Sin embargo no deja de parecer un resultado inquietante, ya que no depende del tamaño de las esferas. Dado un hueco, según esto, dentro de cualquier hueco concéntrico la gravedad será la misma, independientemente de su tamaño. Parecería intuitivo que en un hueco mayor la gravedad fuera menor, ya que hay menos masa implicada, pero la verdad es que me fiaría más de los cálculos ;-). Fijándonos en lo que significa un hueco menor, por ejemplo, la diferencia de masa se distribuye de forma esférica alrededor del hueco, cancelándose por completo su contribución a la intensidad de campo gravitatorio.

Un saludo.

[Richard R Richard]

Entiendo el planteo pero a mi me chirrea muy mal, el hueco tiene radio $r_3$ y la gravedad la calculas para $r_2$, el anillo entre $r_2$ y $r_3$ no esta centrado respecto del eje en la dirección a... luego g no tiene direccion radial...



El anillo gris no lo tienes en cuenta en tu principio de superposición, y es masa (faltante) descentrada respecto del eje en lineas de segmentos, luego la gravedad en $A$ no puede tener dirección $a$ sino, para mi mas similar a $r_1$ sin ser esa la dirección


Fíjate que por superposición tienes que tener en cuenta solo la masa en el interior de $r$ y restarle la de interior de $r_2$ que como no esta centrada es lógico que no apunte en dirección al centro desde $r_1$

[teclado]

¿Por qué dices que no está centrado? ¿Estás seguro de eso? Entiendo que las esferas con radio r₂ y r₃ son concéntricas, ¿no?

[Richard R Richard]

Hola teclado. como va..te parece que el anillo gris esta centrado respecto de la linea de de trazos? acuérdate que solo lo que tiene menor radio al punto de analisis es lo que aporta gravedad, y entonces la parte gris dentro del circulo rojo no esta centrado y eso no esta contemplado en la superposición que proponen.

[Al2000]

https://forum.lawebdefisica.com/foru...era-incompleta
https://forum.lawebdefisica.com/foru...fera-con-hueco
https://forum.lawebdefisica.com/forum/el-aula/electromagnetismo/24822-campo-eléctrico-en-el-interior-de-una-esfera
https://forum.lawebdefisica.com/foru...isas-ejercicio

[teclado]

Vale, creo que ya entendí Richard.

En el dibujo, es evidente que el anillo gris no está centrado respecto a la línea que une el centro de la esfera mayor con el punto en el que quieres hacer el cálculo. Sin embargo, recordando el principio del hilo, la contribución del anillo gris al campo en cualquier punto dentro del hueco blanco es nula. Se trata de una esfera con un hueco concéntrico a ella.

[Richard R Richard]

Si de acuerdo a esfera centrada , g en el interior es 0, pero si la descentras no, g podra ser cero en un unico punto,( en algún punto del eje de simetría, y cuando la gravedad hacia un lado y hacia el otro se equilibren), pero nunca será constante y menos con una única dirección, si te corres del eje.

[teclado]

La esfera con el hueco centrado en ella a la que me refiero es la esfera gris, que tiene el mismo centro que el hueco blanco. El campo debido a ella es 0 en todas partes del hueco. El caso del hueco descentrado es el que decíamos que tiene un campo constante. Si te mueves por el hueco, la masa que habrá a cada lado (en cualquier dirección) cambia, pero también la distancia a cada elemento de masa, de forma que las contribuciones de cada uno suman un vector constante. Te animo a que plantees la integral (yo no la he hecho) $\iiint_{V}\frac{\vec{r}-\vec{r_0}}{|\vec{r}-\vec{r_0}|^3}\rho\dd V$ para obtener el campo en cualquier punto $\vec{r_0}$. Me da la impresión de que tiene su complicación, pero puedes aplicar la simetría cilíndrica del problema.