Ecuaciones diferenciales innecesarias

[follonic]

Para hallar la velocidad del cuerpo en el plano inclinado, MARION/THORNTON(5th ed, p.56), parten de $\ddot{x}=mgsen\theta$. Pero para hallar la velocidad emplean una ecuación diferencial

"We can find the velocity of the block after it moves from the rest a distance $x_0$ down the plane by multiplying[...that equation...] by $2\ddot{x}$ and integrating

$2\dot{x}\ddot{x}=2\dot{x}gsin\theta$

$\frac{d}{dt}(\dot{x^2})=2gsin\theta\frac{dx}{dt}$

$\int_{0}^{v_0^2}d(\dot{x^2})=2gsin\theta\int_{0}^{x_0}dx$

Poniendo como condiciones iniciales $t=0$ y $x=\dot{x}=0$ llegan a

$v_0^2=2gsin\theta x_0$

ecuación que es de 2ndo de bachillerato o, a todo lo más, de 1er.curso porque se deduce por álgebra elemental(v. TIPLER, 6ed. p.106)

En punto a ejercicios en el capítulo inicial de mecánica newtoniana, el libro se estrena, precisamente, con éste, lo que ya te pone alerta. Yo soy estudiante autodidacta que me lo tomo con calma; y, por lo que voy viendo, los autores parecen estar tan preocupados o más por el postureo matemático que por resolver problemas. Este, en concreto, lo deberían haber omitido, porque, tratándose de un texto didáctico, lo que hacen es confundir al estudiante. ¿A qué toda esa complicación EDO si el problema ya está resuelto por mera álgebra elemental?

No sé que pensaréis los profesionales.

Gracias

[Abdulai]

Este problema se resuelve por energía o por la ecuación diferencial. Como el libro toca energía mas adelante es comprensible que no la use.

¿Como lo habrías resuelto?

[pod]

Dudo mucho que el problema se pueda resolver por álgebra elemental, a no ser que uno diga "un MRUA es esto y tiene esta ecuación; la energía es esto y se conserva; ahora vas y te lo crees" como nos hacen en secundaria. Un libro de mecánica a nivel universitario no puede coger y resolver el problema por energías sin haber demostrado los teoremas relacionados con la energía (que se demuestran con propiedades integrales, en ese punto sí serán importantes). Al final, $\ddot x = \text{constante}$ es una ecuación diferencial y por lo tanto requiere integrar para resolverla. Otra cosa es que sea una ecuación tan común en física que de pequeños nos enseñen la solución de memoria sin decirnos de donde viene... pero cuando uno estudia física, debe saber de donde vienen las cosas.

Dicho esto, sí que parece que la resolución escogida parece un poco truculenta de lo necesario. Tampoco mucho, multiplicar por $\dot x$, o en general con "una derivada menos" para completar la derivada del cuadrado es uno de los métodos habituales.

Yo supongo que lo han hecho así porque querían llegar a la velocidad en función de la posición (y por qué quieren llegar a eso, no lo sé; tendría que ver el libro). La resolución más trivial de la ecuación habría sido integrar dos veces; la primera integral daría velocidad en función del tiempo, la segunda posición en función del tiempo; para obtener velocidad en función de la posición habríamos tenido que resolver el sistema de dos ecuaciones para eliminar el tiempo. De la forma que lo han hecho, consiguen llegar a $v(x)$ en un solo paso. Pero, incluso así, yo hubiera elegido antes usar la regla de la cadena;

$$\ddot x = \frac{\dd v}{\dd t} = \frac{\dd v}{\dd x} \frac{\dd x}{\dd t} = v \frac{\dd v}{\dd x} .$$

Por cierto, hay algo en la notación de tu mensaje que no entiendo, no sé si está en el libro así. Dices que las condiciones iniciales son tales que $x(t=0) = 0$ y $\dot x(t=0)=0$. Pero yo me esperaría que $x_0 = x(t=0)$ y $v_0 = \dot x(t=0)$.

[follonic]

Dudo mucho que el problema se pueda resolver por álgebra elemental, a no ser que uno diga "un MRUA es esto y tiene esta ecuación; la energía es esto y se conserva; ahora vas y te lo crees" como nos hacen en secundaria. Un libro de mecánica a nivel universitario no puede coger y resolver el problema por energías sin haber demostrado los teoremas relacionados con la energía (que se demuestran con propiedades integrales, en ese punto sí serán importantes). Al final, $\ddot x = \text{constante}$ es una ecuación diferencial y por lo tanto requiere integrar para resolverla. Otra cosa es que sea una ecuación tan común en física que de pequeños nos enseñen la solución de memoria sin decirnos de donde viene... pero cuando uno estudia física, debe saber de donde vienen las cosas.

En mi post cito a TIPLER(6ª ed., p.106) que resuelve el problema de MARION/THORNTON por pura álgebra.

$v= 2gsen\theta x$ se obtiene así, siguiendo al citado Tipler(p.39):

$x=v_0\frac{v_x-v_0}{a}+\frac{1}{2}a(\frac{v_x-v_0}{a})^2$

Multiplicando por $2a$,

$2ax=2v_0(v_x-v_0)+(v_x-v_0)^2$

De ahí

$v_x^2=v_0^2+2ax$

Puesto que en el ejercicio de MARION se dice que el cuerpo "..moves from the rest...", entonces $v_0^2=0$; y dado que estamos en el plano inclinado y hay que mutiplicar por $sen\theta$ se llega a la ecuación en cuestión:

$v^2= 2gsen\theta x$

Como he dicho, tal ecuación está explicitada en el texto de citado Tipler. No veo, pues, por usar EDO cuando no es necesario y sabemos perfectamente de donde viene la ecuación en cuestión.

Saludos

[Weip]

Hola follonic.

¿A qué toda esa complicación EDO si el problema ya está resuelto por mera álgebra elemental?

Que conste que esto que digo es más suposición porque al final del día no sé qué propósito tenía el autor del libro, pero bajo mi punto de vista el objetivo es plantear un problema que el alumno ya sabe resolver mediante un método que, si bien es más complicado que hacer álgebra, llegará un punto en el futuro cercano en el cual será el único método disponible. De hecho las ecuaciones diferenciales son tan importantes que es fundamental que un alumno que esté estudiando de ese libro acabe conociendo el método perfectamente. Que mejor manera para introducirlo con un problema ya familiar para el lector.

Pero lo dicho, quizás es más suposición/opinión que otra cosa.

[follonic]

Pues no sé; en mi caso supuso un quebradero de cabeza más. En todo, si la intención de los autores es la que sugieres, lo que deberían de hacer es decir alto y claro que el problema se resuelve por álgebra y, también, via EDO. Pero no dicen nada y dejan suponer que la EDO es a única vía, lo cual no es cierto. Dicho ésto, mi tesis(por lo que voy viendo) es que los libros de texto a partir de 2 curso son escasamente didácticos. Eso, aparte de cada autor suele plantear cada problema a su manera. La conclusión(para mí, autodidacta) es que, para aprender de verdad, tienes que indagar aquí, allá y en el más allá incluso.

Saludos

[pod]

En mi post cito a TIPLER(6ª ed., p.106) que resuelve el problema de MARION/THORNTON por pura álgebra.

$v= 2gsen\theta x$ se obtiene así, siguiendo al citado Tipler(p.39):

$x=v_0\frac{v_x-v_0}{a}+\frac{1}{2}a(\frac{v_x-v_0}{a})^2$

Aquí estás haciendo trampa. Aquí tu partes de que ya sabes que en un MRUA se cumplen las ecuaciones

$$<br /> \begin{aligned}<br /> x(t) & = x_0 + v_0 t + \frac12 a t^2 , \\<br /> v(t) & = v_0 + a t .<br /> \end{aligned}<br />$$

Y resuelves el sistema de dos ecuaciones para eliminar el tiempo. Eso esta muy bien, pero ¿cómo sabes que esas ecuaciones son ciertas? ¿Porque te las enseñaron en la ESO? Lo que no te dijeron en la ESO es que en realidad, esas ecuaciones salen de resolver la ecuación diferencial;

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \int_{v_0}^{v(t)}\! dv & = \int_0^t \!\dd t\ a , \\<br /> v(t) & = v_0 + a t , \\ \\<br /> \int_{x_0}^{x(t)}\! dx & = \int_0^t \! \dd t \ \big( v_0 + a t \big) \ , \\<br /> x(t) & = x_0 + v_0 t + \frac12 a t^2 .<br /> \end{aligned}<br />$$

Claro, si te dan ya la solución de la ecuación diferencial, el resto del proceso sólo es algebraico. Así, pues, tu argumento es "no tengo que resolver la ED por que desde pequeñito sé la solución". Es lo mismo que decir "no la tengo que resolver porque alguien la resolvió por mi"... pero claro, aprender Física no se trata de aprenderse de memoria las ecuaciones de los movimientos más típicos. Por esa vía, no llegaríamos más allá del MRU, MRUA y el MAS.

Puesto que en el ejercicio de MARION se dice que el cuerpo "..moves from the rest...", entonces $v_0^2=0$;

En tu mensaje original hay integrales que tienen $v_0$ como límite superior y 0 como límite inferior. Si $v_0=0$, entonces la integral va de 0 a 0, el resultado de lo cual es 0. Por eso decía que me extrañaba...

y dado que estamos en el plano inclinado y hay que mutiplicar por $sen\theta$ se llega a la ecuación en cuestión:

$v= 2gsen\theta x$

No creo que esta ecuación esté bien. Si la velocidad es proporcional a la posición, tendríamos un movimiento exponencial.

[follonic]

Y resuelves el sistema de dos ecuaciones para eliminar el tiempo. Eso esta muy bien, pero ¿cómo sabes que esas ecuaciones son ciertas? ¿Porque te las enseñaron en la ESO? Lo que no te dijeron en la ESO es que en realidad, esas ecuaciones salen de resolver la ecuación diferencial;


Claro, si te dan ya la solución de la ecuación diferencial, el resto del proceso sólo es algebraico. Así, pues, tu argumento es "no tengo que resolver la ED por que desde pequeñito sé la solución". Es lo mismo que decir "no la tengo que resolver porque alguien la resolvió por mi"... pero claro, aprender Física no se trata de aprenderse de memoria las ecuaciones de los movimientos más típicos. Por esa vía, no llegaríamos más allá del MRU, MRUA y el MAS.


No creo que esta ecuación esté bien. Si la velocidad es proporcional a la posición, tendríamos un movimiento exponencial.

A ver, no voy a polemizar con quien sabe más que yo, mero estudiante aficionado. Lo que expongo(ya lo digo en el post) es transcripción del TIPLER; yo no he añadido nada. Por tanto, tendrás que corregir a este autor.

Por lo demás, me reafirmo que las ecuaciones básicas de la cinemática que citas se obtienen algebraicamente, aunque SSantidad el Papa o Newton mismo digan otra cosa. V., p.ejem., SEARS/ZEMANSKY,13ed., p.47 ss. Roma sólo hay una y puede llegarse vía Algebra o EDO. Y, desde luego, la más sencilla es la algebraica.

Y en cuanto a la ecuación final que te sugiere dudas...es justo la que dan MARION/THORNTON: $v^2=2gsen\theta x$.

[pod]

Lo que expongo(ya lo digo en el post) es transcripción del TIPLER; yo no he añadido nada. Por tanto, tendrás que corregir a este autor.

No hay que corregir nada; lo que hace Tipler es correcto, simplemente él comienza desde un punto diferente el problema. Marion lo resuelve a partir de la segunda ley de Newton (que es una ED); Tipler se aprovecha de que la solución a esa ecuación en concreto es archiconocida para dar la solución directamente y llegar algebraicamente a la expresión que quiere. Uno aplica primeros principios, el otro una solución conocida. ¿Por que parten de puntos distintos? Pues probablemente por que su intención didáctica en ese momento es diferente.

Por lo demás, me reafirmo que las ecuaciones básicas de la cinemática que citas se obtienen algebraicamente, aunque SSantidad el Papa o Newton mismo digan otra cosa. V., p.ejem., SEARS/ZEMANSKY,13ed., p.47 ss. Roma sólo hay una y puede llegarse vía Algebra o EDO. Y, desde luego, la más sencilla es la algebraica.

¿Qué quieres que te diga? Si no quieres leer la respuesta de Bergoglio, pues no le preguntes...

Y en cuanto a la ecuación final que te sugiere dudas...es justo la que dan MARION/THORNTON: $v^2=2gsen\theta x$.

Esa no. Me sugiere dudas la que habías escrito originalmente en tu mensaje anterior y que has corregido después de la respuesta. Bastante feo corregir el mensaje y querer hacer parecer que estoy contradiciendo al bueno de Marion.


En cualquier caso, la pregunta inicial del hilo era por qué ese problema se resuelve con una ED "innecesaria". La respuesta es que la ED no es innecesaria, sino que es fundamentalmente la aplicación de la 2a ley de Newton. La versión de Tipler parte del conocimiento previo de la solución de la ED; se salta ese paso y por ello parece más sencilla. Con esto, creo que la pregunta inicial del hilo queda respondida.

[follonic]

He corregido la ecuación porque he me percatado del error. Yo estoy aqui para aprender, no para hacerme el listo ni hacer quedar mal a nadie. Por favor, no seas susceptible.

Lo que sí te digo es que, ya que no aceptas que las ecuaciones fundamentales de la cinemática se pueden obtenen algebraicamente me demuestres stricto sensu que son lo única y exclusivamente vía EDO, o, general, vía cálculo diferencial e integral. Cosa que veo totalmente improbable, a menos que leas latín y comiences la demostración con los trabajos de LEIBNIZ y su discípulo BERNOULLI publicados en el Acta Eruditorum a finales del XVII en punto EDO aplicados a Mecánica, si es que tales trabajos existen. Sólo seguir los trabajos de Leibniz ya tiene tela(creo que aún está pendiente una recopilación definitiva).

Por lo demás, es verdad que el título no es adecuado: las EDO no son inncesarias sino una alternativa.

Saludos