Radio de la hélice de un avión

[follonic]

El problema, resumido, es(SEARS/ZEMANSKY, 13ª ed):

-Una hélice de un avión gira a $w$
-El avión ha de tener una velocidad $v_{avion}$
-La velocidad tangencial de los extremos de la hélice es $v_{tan}$

Se pide el radio $r$ máximo de la hélice conforme a esos datos. Los autores resuelven así(el dibujo es mío; no infrinjo copyrights)



$v_{punta}^2=v_{avion}^2+v_{tan}^2= v_{avion}^2+r^2w^2$ $(1)$

Despejan $r$ y problema resuelto, lo que me creo un disparate. La composición vectorial de la velocidad tangencial de la hélice con la velocidad del avión para obtener una 'velocidad punta' ¿qué es?. Yo creo que un arbitrio: se trata de dos vectores que nada tienen que ver entre sí y su suma, como es de esperar, da un absudo:la tal 'velocidad punta' sugiere que el avión va hacia abajo, conforme indica el vector $v_{punta}$.

El absurdo se comprueba con las propias cifras que dan los autores. Sustituyendo en $(1)$, las cifras que dan para el ejemplo($w= 251 rad/s, v_{avion}= 75 m/s$ y $v_{tan}= 270 m/s$).resulta que la 'velocidad punta' es casi 3'5 veces la velocidad del avión: 261'96 m/s frente a los citados 75 m/s

El problema, creo, es mucho más complejo. El punto de partida es cómo han de ser las aspas de la hélice para que el avión avance recto, con lo que ya nos metemos en mecánica fluidos y cuestiones de ingeniería.

Gracias

[Richard R Richard]

La velocidad punta es la velocidad de la punta de la pala asociada al rotor su trayectoria es una hélice.Su velocidad siempre es la composición de la velocidad tangencial debido al giro y la de avance de avión.
Siempre la palas van más rápido que lo que el avión avanza. Lo único raro sería que la velocidad punta pase la velocidad de sonido.
Así que el libro tiene razón.No hay nada de complejidad , la dirección de la velocidad tangencial cambia instante a instante y lo mismo hace la velocidad de la punta de la pala

$R=\dfrac{v_{tan}}{\omega}$

[follonic]

La velocidad punta es la velocidad de la punta de la pala asociada al rotor su trayectoria es una hélice.Su velocidad siempre es la composición de la velocidad tangencial debido al giro y la de avance de avión.

Pues, la verdad, me he quedado igual; a menos que me lo demuestres no puedo asumir que la 'velocidad punta' "siempre" es la composición de la velocidad tangencial y la del avión. Algo tendrá que ver el diseño de la hélice, digo yo. Porque, las ecuaciones de Sears/Zemansky, tal y como están expuestas, tanto valen para una hélice cualquiera que para un avión que, en lugar de hélice con aspas, tenga una hélice con simples varillas cilíndricas o cualquier forma no aerodinámica.

Saludos

[Abdulai]

Pues, la verdad, me he quedado igual; a menos que me lo demuestres no puedo asumir que la 'velocidad punta' "siempre" es la composición de la velocidad tangencial y la del avión. Algo tendrá que ver el diseño de la hélice, digo yo. Porque, las ecuaciones de Sears/Zemansky, tal y como están expuestas, tanto valen para una hélice cualquiera que para un avión que, en lugar de hélice con aspas, tenga una hélice con simples varillas cilíndricas o cualquier forma no aerodinámica.

Saludos

Una partícula describe una trayectoria:
$x=v_a t$
$y=R \cos(\omega t)$
$z=R \sin(\omega t)$
¿Cual es su velocidad? Comparalo con el movimiento de la punta del aspa.

La forma del aspa influye en el paso y rendimiento, pero la trayectoria de cada punto siempre es helicoidal.

[Al2000]

...
El absurdo se comprueba con las propias cifras que dan los autores. Sustituyendo en $(1)$, las cifras que dan para el ejemplo($w= 251 rad/s, v_{avion}= 75 m/s$ y $v_{tan}= 270 m/s$).resulta que la 'velocidad punta' es casi 3'5 veces la velocidad del avión: 261'96 m/s frente a los citados 75 m/s
...

¿Cuántas veces crees tú que sería mayor la velocidad de la punta contra la velocidad del avión si éste estuviese parado en la pista precalentando los motores?

[JCB]

Hola a tod@s.

El ejercicio se centra en el aspecto cinemático, la composición de velocidades, donde $\vec{v_p}=\vec{v_a}+\vec{\omega}\times\vec{r}$.
Otra cosa es entrar en el diseño de la hélice que permita que el avión consiga una velocidad de $75\ m/s$. Ese no es el objetivo del ejercicio en cuestión, y para ello deberías consultar textos especializados.

Saludos cordiales,
JCB.

[follonic]

Una partícula describe una trayectoria:
$x=v_a t$
$y=R \cos(\omega t)$
$z=R \sin(\omega t)$
¿Cual es su velocidad? Comparalo con el movimiento de la punta del aspa.

Con las ecuaciones que das, ¿con respecto a qué partícula se calcula la velocidad?. De dichas ecuaciones resulta un movimiento en tres dimensiones donde sus componentes son el rectilíneo no acelerado de 'algo' en el eje $x$ (se supone que el avión) y las de un oscilador armónico, que supuestamente podría ser el aspa, en los ejes $y$ y $z$. Eso, suponiendo que sea cierto(ahí no me meto), ya es distinto de las ecuaciones elementales de Sears/Zemansky. Ahora tocaría resolverlo, en lo que tampoco me meto

Saludos

[Abdulai]

...De dichas ecuaciones resulta un movimiento en tres dimensiones donde sus componentes son el rectilíneo no acelerado de 'algo' en el eje $x$ (se supone que el avión) y las de un oscilador armónico, que supuestamente podría ser el aspa, en los ejes $y$ y $z$. Eso, suponiendo que sea cierto(ahí no me meto), ya es distinto de las ecuaciones elementales de Sears/Zemansky. Ahora tocaría resolverlo, en lo que tampoco me meto

Pues en los dos casos deberías meterte, es sencillo y te ayudaría mucho conceptualmente.

[JCB]

Hola a tod@s.

follonic, te indico el siguiente enlace de Wikipedia, a ver si puede ayudarte a comprender el concepto de movimiento helicoidal:

https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_helicoidal

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Con las ecuaciones que das, ¿con respecto a qué partícula se calcula la velocidad?.

La velocidad es la de la punta de la pala respecto de un punto en el plano de la superficie de la tierra. Pero si lo deseas puedes agregar a las ecuaciones que te dió Abdulai la altura $h_0$ respecto de la superficie a la que circula el avión, y las coordenadas x e y iniciales o latitud y longitud $x_0$ y $z_0$

En general el movimiento de la punta de la pala es helicoidal regido por

$x=x_o +v_a (t-t_o)$

$y=h_o+R \cos(\omega t+\phi_0)$

$z=z_0+R \sin(\omega t+\phi_0)$

Aunque el origen del sistema de referencia lo escoges donde quieras. En el dibujo por ejemplo, en un punto donde ha pasado el eje del rotor en el instante $t_0=0$




$V_a$ es paralela al eje x , es decir a la direccion del avión vectorialmente $\vec V_a= V_a(1,0,0)=V_a \vec i$
$V_t$ es la velocidad tangencial de la pala respecto del eje de giro ,vectorialmente $\vec V_t=(0, R\omega \cos (\omega t),R\omega \sin (\omega t))=R \cos (\omega t)\vec j+R \sin (\omega t)\vec k$

$V_p$ es la composición de las dos anteriores $\vec V_p=(V_a,R \cos (\omega t),R \sin (\omega t))=V_a \vec i+\omega R \cos (\omega t)\vec j+\omega R \sin (\omega t)\vec k$

Cuyo módulo es $|V_p|=\sqrt{V_a^2+V_t^2}=\sqrt{V_a^2+\omega^2R^2}$

Pero si tienes como dato la velocidad tangencial y la angular, el radio de la pala es su ratio. como dije en el mensaje 2.

[follonic]

$x=v_a t$
$y=R \cos(\omega t)$
$z=R \sin(\omega t)$

Primero, reparar mi error cuando dije que estas ecuaciones eran las del oscilador armónico. Son, en efecto, las paramétricas del movimiento helicoidal en función del tiempo(suponiendo $w$ constante), que, una vez pasadas a función vectorial y posteriormente derivada en función de $t$, dan una velocidad $v$(como hace Richard R Richard). De acuerdo.

Ahora bien, sigo insistiendo que dichas ecuaciones $R$ se pueden aplicar a cualquier objeto que no sea el aspa de una hélice pero que, no obstante, siga un movimiento helicoidal. Ya dije que podría ser un aspa, una varilla o, añado, un pepino. Por tanto, el plantemiento decae y no resuelve el problema.Todo el mundo imaginará que diseñar una hélice capaz de un movimiento helicoidal concreto es tarea complicada; yo se la dejo a los ingenierios.

Lo que me interesaba poner de relieve es como los reputados Sears/Zemansky resuelvan tan chuscamente un problema que deberían haber omitido.

Saludos

[Weip]

Primero, reparar mi error cuando dije que estas ecuaciones eran las del oscilador armónico. Son, en efecto, las paramétricas del movimiento helicoidal en función del tiempo(suponiendo $w$ constante)

En verdad no ibas por mal camino: la hélice es un movimiento circular si te olvidas de la $x$ y, si recuerdas, el movimiento circular es análogo a un oscilador armónico.

Lo que me interesaba poner de relieve es como los reputados Sears/Zemansky resuelvan tan chuscamente un problema que deberían haber omitido.

Creo que sería más provechoso intentar entender porqué el ejercicio sí está bien puesto. No te centres tanto en la reputación de los autores que lees sino en el contenido del libro independientemente de quién lo haya escrito.

[Al2000]

...
Pero si tienes como dato la velocidad tangencial y la angular, el radio de la pala es su ratio. como dije en el mensaje 2.

No, no la tienes. Copio a continuación el enunciado original del problema, tomado directo del libro:

Cita

Imagine que le piden diseñar la hélice de un avión que va a girar a 2400 rpm (figura 9.13a). La rapidez de avance del avión en el aire debe ser de 75.0 m/s, y la rapidez de las puntas de las aspas de la hélice en el aire no debe exceder 270 m/s. (Esto es cerca del 80% de la rapidez del sonido en el aire. Si la rapidez de las puntas de la hélice fuera mayor, producirían un ruido ensordecedor). a) ¿Qué radio máximo puede tener la hélice? b) Con este radio, ¿qué aceleración tiene la punta de la hélice?

Fin de la cita

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Pero claro Al2000 si es un problema distinto.

[JCB]

Lo que llega a facilitar las cosas un enunciado bien redactado. Y tampoco requiere demasiado esfuerzo: simplemente una transcripción literal.

[Richard R Richard]

Imagine que le piden diseñar la hélice de un avión que va a girar a 2400 rpm (figura 9.13a). La rapidez de avance del avión en el aire debe ser de 75.0 m/s, y la rapidez de las puntas de las aspas de la hélice en el aire no debe exceder 270 m/s. (Esto es cerca del 80% de la rapidez del sonido en el aire. Si la rapidez de las puntas de la hélice fuera mayor, producirían un ruido ensordecedor). a) ¿Qué radio máximo puede tener la hélice? b) Con este radio, ¿qué aceleración tiene la punta de la hélice?

El absurdo se comprueba con las propias cifras que dan los autores. Sustituyendo en $(1)$, las cifras que dan para el ejemplo($w= 251 rad/s, v_{avion}= 75 m/s$ y $v_{tan}= 270 m/s$).resulta que la 'velocidad punta' es casi 3'5 veces la velocidad del avión: 261'96 m/s frente a los citados 75 m/s

Veamos follonic , procura de poner el enunciado tal cual lo da el libro, tu resumen no estaba bien interpretado y sobre todo, los datos, que no son los que dices que te han dado. van 5 interlocutoresen el hilo y 13 mensajes para enterarnos recien de que va la cosa.


No has interpretado correctamente todos los datos , los que si entendiste son

veamos la velocidad angular en radianes $RPM \equiv \dfrac{2\cdot \pi}{60} rad/s$

luego $\omega=2400RPM \equiv 251.32rad/s$

la velocidad de avance es $V_a=75 m/s$

pero la velocidad de la punta de las aspas es la composición de la velocidad de avance y la velocidad tangencial debido a la rotación así que el dato que tienes es $V_p$ y no $V_{tan}$

El modulo de una suma de vectores consiste en sumar las componentes en la misma direccion , luego elevarlas al cuadrado , sumar las contribuciones de las distintas componentes , y luego aplicar raiz cuadrada.

Así $V_p=\sqrt{V_a^2+V_{tan}^2}$

de donde

$V_p=\sqrt{V_a^2+\omega^2R^2}$

por que que puedes despejar el radio R haciendo

$R=\dfrac{\sqrt{V_p^2-V_a^2}}{\omega} =\dfrac{\sqrt{270^2-75^2}}{251.32} =1.03m$


la parte b la aceleracion en el eje x es nula ya que la velocidad de avance es constante

pero en el eje y y el z la puedes calcular derivando dos veces la posición, y luego calculando el módulo

$\ddot x=0$

$\ddot y=-\omega^2 R cos(\omega t)$

$\ddot z=-\omega^2 R sin(\omega t)$


$a=\omega^2 R=(251.32rad/s)^2\cdot1.03m=65050m/s^2\equiv 6635\cdot g<br />$

Monstruosa aceleración, prefiero ir en primera clase, que montado en la punta de la hélice.

Editado Pd... y sí ,la punta de la hélice gira muchísimo mas rápido que el avance del avión, nunca he visto que suceda lo contrario, (salvo en tornillería metal /plástico).