1r ciclo Partículas que inciden en la atmósfera

[Kal]

Buenos días
Mi duda es la siguiente: ¿por qué la mínima velocidad con la que una partícula (procedente de la colisión de asteroides por ejemplo) incide en la atmósfera es la velocidad de escape de la Tierra ${v}_{e}$?
Para obtener este resultado (que me proporcionan en el solucionario) he aplicado la conservación de la energía E considerando como punto de referencia el centro de la Tierra y como puntos inicial y final el infinito y el radio terrestre ${R}_{T}$ respectivamente, de manera que obtengo:

$E(r)=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{GMm}{r}$

$E(\infty)=0$

$E({R}_{T})=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{G{M}_{T}m}{{R}_{T}}=0\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2G{M}_{T}}{{R}_{T}}}={v}_{e}$

Mi problema es que he tenido que suponer que la velocidad en el infinito es 0 y no tengo nada claro que deba ser así, ¿está mal planteado?. Además también hice la aproximación de que la energía en la atmósfera es aproximadamente igual que la energía en ${R}_{T}$, que supongo que no hay ningún inconveniente.

Gracias de antemano.

[pod]

Re: Partículas que inciden en la atmósfera

Buenos días
Mi duda es la siguiente: ¿por qué la mínima velocidad con la que una partícula (procedente de la colisión de asteroides por ejemplo) incide en la atmósfera es la velocidad de escape de la Tierra ${v}_{e}$?
Para obtener este resultado (que me proporcionan en el solucionario) he aplicado la conservación de la energía E considerando como punto de referencia el centro de la Tierra y como puntos inicial y final el infinito y el radio terrestre ${R}_{T}$ respectivamente, de manera que obtengo:

$E(r)=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{GMm}{r}$

$E(\infty)=0$

$E({R}_{T})=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{G{M}_{T}m}{{R}_{T}}=0\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2G{M}_{T}}{{R}_{T}}}={v}_{e}$

Mi problema es que he tenido que suponer que la velocidad en el infinito es 0 y no tengo nada claro que deba ser así, ¿está mal planteado?. Además también hice la aproximación de que la energía en la atmósfera es aproximadamente igual que la energía en ${R}_{T}$, que supongo que no hay ningún inconveniente.

Gracias de antemano.

Te piden el mínimo. Cuando la partícula está muy lejos de la Tierra la parte potencial de la energía es cero, así que sólo queda la energía cinética. Como la energía cinética es definida positiva, el mínimo posible se dará cuando sea cero.

Es decir, las partículas pueden tener la velocidad que les dé la gana. Pero si su velocidad es mayor (en módulo) a cero cuando están lejos de la Tierra, entonces su velocidad al caer será mayor que el mínimo. El caso límite sera cuando la velocidad en el infinito sea cero.

[Kal]

Re: Partículas que inciden en la atmósfera

Genial, ya lo veo, muchas gracias¡!

[Alriga]

Re: Partículas que inciden en la atmósfera

Hola kal, bienvenida a La web de Física, por favor como nuevo miembro te será útil echarle un vistazo a Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

En tu hilo has resuelto el problema de calcular cual es la velocidad a la que un objeto situado inicialmente en el infinito con velocidad cero, llega en caída libre a impactar con la superficie de la Tierra, suponiendo que la Tierra está inmóvil y que es la única fuente de campo gravitatorio.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Aunque la respuesta de pod resuelve tu duda, tal vez te pueda interesar como información adicional echarle un vistazo a este otro hilo reciente, en el que hay resuelto el caso general, en el que se calcula la velocidad "v(r)" a la que llega a una distancia "r" de un astro de masa "M" por acción exclusiva de la gravedad, otro objeto que es inicialmente lanzado con velocidad "$v_0$" radial, desde una distancia arbitraria "$r_0$" del astro en cuestión: Ecuaciones de movimiento rectilíneo bajo la acción de un campo gravitatorio

El resultado se obtiene resolviendo la ecuación diferencial del movimiento $\ddot r=-\dfrac{ G \ M}{r^2}$ (que se obtiene al aplicar la II Ley de Newton y la Ley de Gravitación Universal), y es:

$\boxed{v(r)=- \sqrt{v_0^2+2 \ G M \left ( \dfrac 1 r - \dfrac 1{r_0} \right )}}$

(El signo negativo es porque el radio vector y la velocidad tienen sentidos opuestos)

Si en esta expresión general pones tu caso particular:

$v_0=0$

$r_0=\infty$

$M=M_T$

$r=R_T$

Se obtiene, como era de esperar, la misma expresión que tú has obtenido por consideraciones energéticas:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Saludos.

[Kal]

Partículas que inciden en la atmósfera (2)

Buenas tardes¡!

Mi duda es un apartado de un ejercicio en el que se me habla de ciertas partículas que bombardean la Tierra. En el primer apartado obtuve que la velocidad mínima de dichas partículas al incidir en la atmósfera de la Tierra es de 11,2 Km/s. En el segundo obtuve que la velocidad máxima de las partículas en órbitas cerradas alrededor del Sol con posibilidad de chocar con la Tierra es de 42 Km/s (velocidad de escape del sistema solar desde la órbita terrestre).
Por último se me pregunta la velocidad máxima de las partículas del segundo apartado al colisionar con la atmósfera terrestre.

La solución es la velocidad resultante de sumar la velocidad de escape del sistema solar desde la órbita terrestre y la velocidad de la Tierra en su órbita, pero no la entiendo. Puede aclararme alguien los conceptos que intervienen en este lío¿?

Gracias por adelantado.

[Kal]

Re: Partículas que inciden en la atmósfera

Gran aportación, me será de mucha ayuda con estos temas que me traen de cabeza. Mil gracias ¡!

[Alriga]

Re: Partículas que inciden en la atmósfera (2)

Por favor, ¿puedes poner el texto completo del enunciado del problema tal cual te lo han planteado? Así será más fácil de comprender y de resolver.

Saludos.

[Kal]

Re: Partículas que inciden en la atmósfera (2)

Ahí va: ''Los meteoroides son partículas de tamaño menor al milímetro, procedentes de la colisión de asteroides y la desintegración de cometas, que bombardean la Tierra continuamente. En su camino en la atmósfera dejan un rastro de gas excitado o ionizado que cuando alcanza una gran luminosidad constituye las conocidas estrellas fugaces.
a) Calcular la velocidad mínima de los meteoroides al incidir en la atmósfera.
b) Calcular la velocidad máxima de los meteoroides en órbitas cerradas alrededor del Sol con posibilidad de chocar con la Tierra.
c) Calcular la velocidad máxima de los meteoroides del apartado b) al colisionar con la atmósfera de la Tierra.
A mitades de los 90 se descubre en Nueva Zelanda que un reducido porcentaje de los meteoroides que inciden en la atmósfera llevan velocidades superiores a la calculada en c), encontrándose por tanto en órbitas abiertas. Si se descarta que procedan de cometas 'locales' se puede concluir que tuvieron origen en el exterior del Sistema Solar¡!''

[Alriga]

Re: Partículas que inciden en la atmósfera

b)

La velocidad en un punto cualquiera de una órbita elíptica en torno al Sol en función de la distancia al Sol “r” es:

$$\boxed{v=\sqrt{2 \ G \ M \left (\dfrac 1 r - \dfrac 1 {2a} \right )}}$$

M = masa del Sol

a = semieje mayor de la órbita elíptica

La velocidad máxima en una posible colisión se producirá cuando “r” sea el mínimo posible, por lo tanto cuando la Tierra está en el Perihelio

$r=r_p=\notcien{147.1}{9} \ m$

Y el semieje mayor “a” de la órbita del meteoroide lo más grande posible, por lo tanto

$\dfrac{1}{2 a} \rightarrow 0$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$v=42.4834 \ km/s$

c)

... la solución es la velocidad resultante de sumar la velocidad de escape del sistema solar desde la órbita terrestre y la velocidad de la Tierra en su órbita, pero no la entiendo. Puede aclararme alguien los conceptos que intervienen en este lío¿? ...

El meteoroide con velocidad de 42.48 km/s entrará en la atmósfera a máxima velocidad si su órbita gira en sentido contrario al de la órbita de la Tierra. (La Tierra tiene una órbita elíptica en torno al Sol en sentido antihorario vista desde el polo norte. La colisión a máxima velocidad se dará cuando la órbita del meteoroide sea en sentido horario, es decir, cuando la Tierra y el meteoroide impacten en colisión frontal)

El semieje mayor de la órbita de la Tierra: $a=\notcien{149.6}{9} \ m$

La velocidad de la Tierra en el Perihelio es:

$v_p=\sqrt{2 \cdot \notcien{6.674}{-11} \cdot \notcien{1.989}{30} \left (\dfrac{1}{\notcien{147.1}{9}}-\dfrac{1}{\notcien{2 \cdot 149.6}{9}} \right )}$

$v_p=30.2903 \ km/s$

Por lo tanto la máxima velocidad de entrada en la atmósfera de la Tierra de un objeto que orbita el Sol en una órbita cerrada es:

$v_e=v + v_p=72.7736 \ km/s$

Saludos.