Divulgación Consulta sobre cilindro apoyado sobre un escalon

[inakigarber]

Buenas noches, planteo este problema que me tiene un tanto despistado.

Un cilindro de masa M y radio R rueda contra un escalón de altura h como se observa en la figura. Cuando una fuerza F se aplica a la parte alta del cilindro, este permanece en reposo. (a) ¿cual es la fuerza normal ejercida por el suelo sobre el cilindro? (b) ¿cual es la fuerza horizontal ejercida por el borde del escalón sobre el cilindro? (c) ¿Cual es la componente vertical de la fuerza ejercida por el borde del escalón sobre el cilindro?

He tratado de resolverlo como me ha parecido oportuno, pero he debido equivocarme.
Considerando el momento de fuerzas respecto al centro de masas del cilindro establezco;
$FR=f_{(eh)}*(R-h)$, donde $f_{(eh)}$ es la componente horizontal de la fuerza del escalón sobre el cilindro.
Por lo tanto;

$$f_{(eh)}=\dfrac{FR}{(R-h)}$$

Por otra parte;

$$f_{(eh)}=f_eCos(\theta)$$

Para calcular $Cos(\theta)$ establezco por una parte $Cos^2(\theta)+Sen^2(\theta)=1$, y por otra, $Sen(\theta)=\dfrac{R-h}{R}$
Esto me da $Cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{h(2R-h)}}{R}$
Con lo cual sustituyendo en (1) obtengo;$FR=f_e\dfrac{\sqrt{h(2R-h)}}{R}$ y despejando;

$$f_e=\dfrac{FR^2}{\sqrt{h(2R-h)}}$$

¿Cual es la fuerza normal ejercida por el suelo sobre el cilindro?
Esta será la diferencia entre la fuerza debida a la masa del cilindro y la componente vertical de esta fuerza, luego;

$$F_n=Mg-f_e\ sen(\theta)$$

esto me sale;

$$F_n=Mg-\dfrac{FR(R-h)}{\sqrt{h(2R-h)}}$$

¿Cual es la componente vertical ejercida por el borde del cilindro?
A mi me sale;

$$f_{(ev)}=\dfrac{FR(R-h)}{\sqrt{h(2R-h}}$$

Lo cual no me cuadra con los resultados del libro que son;

$$F_n=Mg-F\sqrt{\dfrac{2R-h}{h}}$$

$$F_{c,h}=F$$

$$F_{c,v}=F\sqrt{\dfrac{2R-h}{h}}$$

Supongo que he debido cometer alguna equivocación de principio, ¿Donde?

Saludos y gracias.

[arivasm]

Re: Consulta sobre cilindro apoyado sobre un escalon

Considerando el momento de fuerzas respecto al centro de masas del cilindro establezco;
$FR=f_{(eh)}*(R-h)$, donde $f_{(eh)}$ es la componente horizontal de la fuerza del escalón sobre el cilindro.

No has incluido en el balance de momentos el de la componente vertical de la fuerza que ejerce el escalón.

[Enphym]

Re: Consulta sobre cilindro apoyado sobre un escalon

Inakigarber, disculpa la pregunta, ¿donde encontraste ese ejercicio?

[inakigarber]

Re: Consulta sobre cilindro apoyado sobre un escalon

Inakigarber, disculpa la pregunta, ¿donde encontraste ese ejercicio?

Esta en la 5ª Edición del Tipler Mosca que encontré hace años en una página de internet. Capítulo 12, página 351.

- - - Actualizado - - -

No has incluido en el balance de momentos el de la componente vertical de la fuerza que ejerce el escalón.

He tratado de resolver el problema tratando de calcular el momento de dicha componente, pero no lo he logrado. He desistido y he mirado el solucionario (cosa que no me gusta hacer). Creo que he empezado por hacer una elección equivocada del sistema de referencia respecto al cual determinar los momentos, ya que había elegido el centro del cilindro como sistema de referencia respecto al cual determinar los momentos. El solucionario parte por utilizar como sistema de referencia el punto de contacto entre cilindro y escalón.

Parece que en este tipo de problemas es determinante la elección del sistema de referencia apropiado. ¿hay algún consejo válido para determinar de forma correcta el sistema de referencia correcto en este tipo de problemas?

[arivasm]

Re: Consulta sobre cilindro apoyado sobre un escalon

Pues yo usaría el centro del cilindro. Es más, no debería importar demasiado.

El balance de momentos es, tomando el centro del cilindro, $0=FR+F_{c,h}(R-h)-F_{c,v}l$ (por supuesto hay que manejar la relación entre $R$, $h$ y $l$, $R^2=l^2+(R-h)^2$).

Si tomas el punto de contacto será $0=F(2R-h)+F_nl-Mgl$.

Aparentemente son diferentes, pero al tomar en consideración el equilibrio de fuerzas, $F_{c,h}=F$ y $Mg=F_n+F_{c,v}$ tenemos que la primera expresión es

$0=FR+F_{c,h}(R-h)-F_{c,v}l=FR+F(R-h)-F_{c,v}l=F(2R-h)-F_{c,v}l$

mientras que la segunda es

$0=F(2R-h)+F_nl-Mgl=F(2R-h)-(Mg-F_n)l=F(2R-h)-F_{c,v}l$

es decir, exactamente la misma.

Obviamente hay elecciones incómodas (por ejemplo, si nos ponemos "exóticos" y tomamos un punto que esté a una altura de $\sqrt{2\pi^\ee}R$ y a una distancia de $\ee^{\pi^3} R$ del escalón), pero si optas por puntos significativos no debería haber diferencias importantes.

[Alriga]

Re: Consulta sobre cilindro apoyado sobre un escalon

... ¿hay algún consejo válido para determinar de forma correcta el sistema de referencia correcto en este tipo de problemas? ...

Una "regla" genérica pero no categórica sería intentar "coger el punto significativo del problema por el que pasen más fuerzas" Todas las fuerzas que pasan por el punto no producen momento respecto de ese punto, entonces la ecuación de la estática $\sum \vec M=0$ te queda más "corta", (con menos sumandos)

Saludos.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre cilindro apoyado sobre un escalon

Pues yo usaría el centro del cilindro. Es más, no debería importar demasiado.

El balance de momentos es, tomando el centro del cilindro, $0=FR+F_{c,h}(R-h)-F_{c,v}l$ (por supuesto hay que manejar la relación entre $R$, $h$ y $l$, $R^2=l^2+(R-h)^2$).

Si tomas el punto de contacto será $0=F(2R-h)+F_nl-Mgl$.


Aparentemente son diferentes, pero al tomar en consideración el equilibrio de fuerzas, $F_{c,h}=F$ y $Mg=F_n+F_{c,v}$ tenemos que la primera expresión es

$0=FR+F_{c,h}(R-h)-F_{c,v}l=FR+F(R-h)-F_{c,v}l=F(2R-h)-F_{c,v}l$

mientras que la segunda es

$0=F(2R-h)+F_nl-Mgl=F(2R-h)-(Mg-F_n)l=F(2R-h)-F_{c,v}l$

es decir, exactamente la misma.

Obviamente hay elecciones incómodas (por ejemplo, si nos ponemos "exóticos" y tomamos un punto que esté a una altura de $\sqrt{2\pi^\ee}R$ y a una distancia de $\ee^{\pi^3} R$ del escalón), pero si optas por puntos significativos no debería haber diferencias importantes.

Obtengo, $l=\sqrt{R^2-(R-h)^2}$, $sen(\alpha)=\dfrac{R-h}{R}$y $cos(\alpha)=\dfrac{\sqrt{2hR-R^2}}{R}$, $F_{c,h}=F_c cos(\alpha)$y $F_v=F_c sen(\alpha)$, pero al calcular los respectivos momentos $F_{c,h}*(R-h)$y $F_{c,v}*l$ me da que ambos tienen el mismo valor. Debo estar equivocandome, pero he repetido los cálculos en varias ocasiones y me sale lo mismo.

[arivasm]

Re: Consulta sobre cilindro apoyado sobre un escalon

$F_{c,h}=F_c cos(\alpha)$y $F_v=F_c sen(\alpha)$

Estás dando por hecho que la fuerza $F_c$ está dirigida hacia el eje del cilindro, lo que no es cierto.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre cilindro apoyado sobre un escalon

Cierto, he partido de la siguiente idea;

[arivasm]

Re: Consulta sobre cilindro apoyado sobre un escalon

Fíjate que no hay motivo alguno por el que la fuerza que ejerce el escalón deba tener una orientación dada. En realidad el ejercicio tiene tres ecuaciones (una de equilibrio de momentos y dos de equilibrio de fuerzas) y tres incógnitas (la normal y las dos componentes de la fuerza que ejerce el escalón -o si se prefiere, su módulo y dirección-). Se trata de resolver el sistema siguiente:

$F=F_{c,h}$
$N=Mg-F_{cv}$
$FR+F_{c,h}(R-h)=F_{c,v}\sqrt{h(2R-h)$

de manera que (si no he metido la pata)

$F_{c,h}=F$
$F_{c,v}=\sqrt{\dfrac{2R}{h}-1}\ F$
$N=Mg-\sqrt{\dfrac{2R}{h}-1}\ F$

El ángulo $\theta$, tal que $F_{c,h}=F\cos\theta$ cumple que $\tan\theta=\sqrt{\dfrac{h}{2R-h}}$

[inakigarber]

Re: Consulta sobre cilindro apoyado sobre un escalon

Creo que finalmente he conseguido entenderlo, estos problemas de dinámica me están resultando costosos, tal vez porque parto de postulados que son equivocados.

[arivasm]

Re: Consulta sobre cilindro apoyado sobre un escalon

...tal vez porque parto de postulados que son equivocados.

Seamos sinceros: todos pasamos por ese tipo de cosas (en este caso, que la fuerza ejercida por el escalón deba ser radial). Precisamente en eso consiste el aprendizaje!