Ecuacion de movimiento de una moneda

[[Beto]]

Aca dejo un problemilla:

Enunciado:

Se coloca una moneda sobre una superficie horizontal. Se le imprime movimiento presionandola con el dedo en direccion vertical en un punto de su perimetro distinto a su punto superior. De esta manera la moneda sale disparada en direccion horizontal con una rotacion alrededor de su eje como se muestra en la figura adjunta. Si se supone que el movimiento no tiene ninguna componente lateral (no tambalea).

• Dibuje el diagrama de fuerzas actuante sobre la moneda.
• Escriba las ecuaciones de movimiento.
• Describa cualitativamente el movimiento a lo largo del tiempo.

En este problema las principales dudas que tengo son el como plantear las ecuaciones del movimiento, pues a partir del diagrama e fuerzas que se hace yo he aplicado la segunda ley de Newton y he obtenido algunas relaciones, pero tambien creo que como es cuerpo rigido seria conveniete aplicar algo de dinamica de rotacion.

La otra duda es quizas algo ingenua pero ¿que quiere decir "cualitativamente"? esto con respecto al item 3.

Agradesco cualquier ayuda para poder resolver este problema.

[pod]

Re: Ecuacion de movimiento de una moneda

Sobre la moneda tienes tres fuerzas: peso, normal y rozamiento.

Evidentemente debes aplicar la dinámica de rotación del cuerpo rígido: debes plantear la segunda ley de Newton tanto para el movimiento lineal como para el angular.

Cualitativamente significa que utilices palabras, no números o ecuaciones.

[[Beto]]

Re: Ecuacion de movimiento de una moneda

Ok gracias, dentro de unas horas despues de dormir colocare algo del desarrollo del problema para que opinen si esta bien o no

[Gauss]

Re: Ecuacion de movimiento de una moneda

Otra forma de resolverlo es mediante la lagrangiana.

La moneda solo va a tener energia cinetica de traslacion y de rotacion, ya que se mueve sobre un plano.

[pod]

Re: Ecuacion de movimiento de una moneda

Otra forma de resolverlo es mediante la lagrangiana.

La moneda solo va a tener energia cinetica de traslacion y de rotacion, ya que se mueve sobre un plano.

Bueno, en un problema como este donde hay pérdida de energía, hay que modificar el formalismo lagrangiano con las funciones de disipación y todo eso... Se puede hacer, claro, pero no se si sale a cuenta

[[Beto]]

Re: Ecuacion de movimiento de una moneda

Hola, pues yo he hecho lo siguiente:

1. Teniendo en cuenta la segunda ley de Newton en el eje horizontal:

$-\mu N = m\frac{d^2x}{dt^2}$

de donde obtengo una relacion para el movimiento de traslación.

2. Aplicando dinámica de rotación se tiene que:

$-\mu N=\frac{1}{2}mr^2\frac{d^2\theta}{dt^2}$

con lo cual completaria las ecuaciones del movimiento para la rueda.

Pero en este punto surge mi duda ya que cuando hago lo que menciona el problema a una moneda la moneda regresa, e cambio las ecuaciones slo indican que avanza, entonces ¿Qué es lo que he hecho mal?.

Pd: Gracias por la yuda de los lagrangianos pero seria mas conveniente que me lo expliquen sin hacer uso de ese formalismo matemático pues aun lo desconosco.

[pod]

Re: Ecuacion de movimiento de una moneda

Hola, pues yo he hecho lo siguiente:

1. Teniendo en cuenta la segunda ley de Newton en el eje horizontal:

$-\mu N = m\frac{d^2x}{dt^2}$

de donde obtengo una relacion para el movimiento de traslación.

2. Aplicando dinámica de rotación se tiene que:

$-\mu N=\frac{1}{2}mr^2\frac{d^2\theta}{dt^2}$

con lo cual completaria las ecuaciones del movimiento para la rueda.

Pero en este punto surge mi duda ya que cuando hago lo que menciona el problema a una moneda la moneda regresa, e cambio las ecuaciones slo indican que avanza, entonces ¿Qué es lo que he hecho mal?.

La segunda ecuación está mal, en primer lugar, el miembro de la izquierda debe tener el radio (recuerda: el momento de la fuerza es la fuerza por distancia, producto vectorial):

$\mu r N=\frac{1}{2}mr^2\frac{d^2\theta}{dt^2}$

Debes poner el signo positivo, para ser coherente con la ecuación anterior: esa fuerza de rozamiento tiende a hacer girar la moneda en el sentido de las agujas del reloj.

Luego, si haces el balance de fuerzas verticales, tienes $N = m g$, lo cual te simplifica las cosas un poco.

Ahora, todas las ecuaciones afectan a la aceleración, no a la velocidad. Es decir, las ecuaciones nos dicen como varían las velocidades, pero no cuál es la velocidad exactamente. Para eso, debes introducir cuál es el valor inicial de las velocidades, y si te fijas en la figura, la velocidad lineal inicial es positiva, mientras que la angular es negativa.

Ahora bien, las dos aceleraciones tienen el signo contrario a la velocidad respectiva, por lo tanto esto nos indica que ambas velocidades tienden a reducirse, en valor absoluto. Esto pasará hasta que una de las dos llegue a cero. Si en tu enunciado te dicen que la moneda vuelve a atrás, significa que la que primero llega a cero es la velocidad lineal.

En ese momento, la fuerza de rozamiento sigue actuando, ya que como la moneda sigue rotando, sigue habiendo desplazamiento en el punto de contacto. Por lo tanto, la moneda vuelve hacia atrás, las dos velocidades pasan a ser negativas ¿Hasta cuándo? Hasta que se cumpla la condición de no-deslizamiento, $v = r \omega$. En ese momento, el punto de contacto no tiende a moverse, y por lo tanto no hay fuerza de rozamiento. Al no haber ninguna fuerza horizontal, no hay aceleración alguna.

[[Beto]]

Re: Ecuacion de movimiento de una moneda

La segunda ecuación está mal, en primer lugar, el miembro de la izquierda debe tener el radio (recuerda: el momento de la fuerza es la fuerza por distancia, producto vectorial):

Lo siento se me chipoteo, si lo sabia solo que lo escribi rápido.

En ese momento, la fuerza de rozamiento sigue actuando, ya que como la moneda sigue rotando, sigue habiendo desplazamiento en el punto de contacto. Por lo tanto, la moneda vuelve hacia atrás, las dos velocidades pasan a ser negativas ¿Hasta cuándo? Hasta que se cumpla la condición de no-deslizamiento, . En ese momento, el punto de contacto no tiende a moverse, y por lo tanto no hay fuerza de rozamiento. Al no haber ninguna fuerza horizontal, no hay aceleración alguna.

Esta condicion si no me la conocia.

Gracias por aclararme las dudas que tenia

[carroza]

Re: Ecuacion de movimiento de una moneda

Ahora bien, las dos aceleraciones tienen el signo contrario a la velocidad respectiva, por lo tanto esto nos indica que ambas velocidades tienden a reducirse, en valor absoluto. Esto pasará hasta que una de las dos llegue a cero. Si en tu enunciado te dicen que la moneda vuelve a atrás, significa que la que primero llega a cero es la velocidad lineal.

En ese momento, la fuerza de rozamiento sigue actuando, ya que como la moneda sigue rotando, sigue habiendo desplazamiento en el punto de contacto. Por lo tanto, la moneda vuelve hacia atrás, las dos velocidades pasan a ser negativas ¿Hasta cuándo? Hasta que se cumpla la condición de no-deslizamiento, $v = r \omega$. En ese momento, el punto de contacto no tiende a moverse, y por lo tanto no hay fuerza de rozamiento. Al no haber ninguna fuerza horizontal, no hay aceleración alguna.

Hola. El problema es muy bonito. Lástima que en el enunciado no se le saque más jugo.

Creo que, segun la figura, las dos velocidades iniciales ($v_0 , \omega_0$) son positivas (v va a la derecha y $\omega$ en el sentido contrario a las agujas del reloj. La fuerza de rozamiento sigue actuando mientras la velocidad relativa del borde de la moneda con respecto al suelo sea positiva. Esta velocidad vale $u=v+R \omega$. La fuerza de rozamiento actua reduciendo $u$ hasta que $u=0$, y a partir de alli no hay fuerzas y las velocidades se hacen constantes (creo que digo lo mismo que Pod, con otras palabras). El problema se resuelve muy facilmente si consideramos la variación de $u$ con respecto al tiempo.

Déjame que complete el enunciado, y de las soluciones.

1) ¿En qué instante dejan de actuar la fuerza de rozamiento, y la moneda se pone a rodar?

Solución: $T={v_0 + \omega_0 R \over 3 \mu g}$

2) ¿Qué velocidad tiene la moneda en dicho instante?

Solución $v={2/3 v_0 - 1/3 \omega_0 R$

3) ¿Qué condición inicial debe cumplirse para que la moneda vuelva hacia atrás?

Solución $\omega_0 R > 2 v_0$

[pod]

Re: Ecuacion de movimiento de una moneda

Creo que, segun la figura, las dos velocidades iniciales ($v_0 , \omega_0$) son positivas (v va a la derecha y $\omega$ en el sentido contrario a las agujas del reloj.

El signo de la velocidad angular depende, claro está, de que criterio se siga. Yo prefiero utilizar el criterio que positivo es el de las agujas del reloj, en este caso, ya que ese es el sentido queconcordaría a moverse hacia la derecha si no hubiera deslizamiento. Tal y como tú lo has puesto, la condicion de no deslizamiento es $v = - \omega r$. Pero, naturalmente, ambos criterios són buenos y dan los mismos resultados, si se utilizan bien.

[[Beto]]

Re: Ecuacion de movimiento de una moneda

He estado pensando un poco en el problema y he avanzado de la siguiente manera:

Planteando las ecuacines del movimiento se tiene que:

• .............................(1)
  
• ........................(2)

Además la velocidad del punto de contacto de la moneda con el piso es:

$v=v_{\mbox c.m.}-\omega r$ ........... (3)

Esto considerando que la fuerza de rozamiento en este problema actuca hacia la izquierda.

Además integrando (1) y (2) se tiene que:

• $v_{\mbox c.m.}=v_{0}-\mu g t$ ....... (4)
• $\omega=\omega_0+\frac{2\mu g t}{r}$ ....... (5)

Donde $v_0$ es la velocidad inicial de traslación y $\omega_0$ la velocidad inicial de rotación.

Luego reemplazando (4) y (5) en (3) se obtiene que:

$v=v_0+\mu g t-(\omega_0-\frac{2\mu g t}{r})r$

Entonces:

$v=v_0-\omega_0 r+3\mu g t$

De aca si se hace $v=0$ para qu la moneda deje de deslizar se concluye con la primera parte del problema planteado por carroza.

Para la segunda parte solo hay que notar que la velocidad de traslación es la velocidad del centro de masa de la moneda.

Y con respecto a la tercera parte aun no se me ocurre que deberia de pasar para que la moneda regrese

OjO: En este problema me sale la respuesta con un signo menos en la parte del numerador para el caso de la primera parte asi que si las respuestas dadas por carroza estan bien diganme en que me he equivocado.

[pod]

Re: Ecuacion de movimiento de una moneda

OjO: En este problema me sale la respuesta con un signo menos en la parte del numerador para el caso de la primera parte asi que si las respuestas dadas por carroza estan bien diganme en que me he equivocado.

Creo que no te has equivocado, simplemente que para Carroza la velocidad angular tiene el signo contrario.

Para saber si regresa o no... no te llega con saber el signo de la velocidad lineal en el momento en que deja de deslizar?

[[Beto]]

Re: Ecuacion de movimiento de una moneda

Para saber si regresa o no... no te llega con saber el signo de la velocidad lineal en el momento en que deja de deslizar?

Pues si, pero al considerar la velocidad negativa justo en el momento en que la rueda deja de deslizar obtengo que:

$-3\mu g t<\omega_0 r$

"No llego a lo que ha colocado carroza"

[pod]

Re: Ecuacion de movimiento de una moneda

Revisando los cálculos con cuidado, parece que te equivocaste con los signos al juntar todas las ecuaciones:

$v = v_0 - \mu g t - \left(\omega_0 + \frac{2\mu g t}{r}\right) r = v_0 -\omega_0 r - 3 \mu g t \ .$

El tiempo en que deja de deslizar

$t = \frac{v_0 - \omega_0 r}{3 \mu g}\ .$

Ahora intenta ver cuál es la velocidad del centro de masas en ese instante de tiempo. (Fijate que $\omega_0 < 0$)

[[Beto]]

Re: Ecuacion de movimiento de una moneda

Revisando los cálculos con cuidado, parece que te equivocaste con los signos al juntar todas las ecuaciones:

Tienes razon me equivoque en un signo.

Ahora teniendo para que la moneda regrese la velocidad del centro de masa en ese instante de tiempo debe apuntar hacia la izquierda, es decir:

$v_{\mbox cm}<0$

Luego reeemplazando el tiempo obtenido en la ecuacion (4) de uno de mis post anteriores se obtiene la condicion para que la moneda regrese.

Gracias por la ayuda.