Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

[inakigarber]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Uf vaya.... Para lo que da una simple pregunta de un concurso....
Hace muchos años, en clase de matemáticas el profesor (Sr Iturbide) hizo una demostración sobre polinomios que yo, para variar, no entendí. Aquel día, cansado de no entenderle, levante la mano. Me hizo salir a la pizarra (lo cual me daba una vergüenza impresionante) y me hizo escribir en la pizarra una serie de desarrollos que tampoco entendí. Volví a mi pupitre con la sensación de haber hecho un espantoso ridículo y de haber quedado como un tonto ante mis compañeros. Hasta muchos años mas tarde no me di cuenta de que la mayoría de los que no habían levantado la mano tampoco le habían entendido.
En este post me pasa algo parecido.
Cuando abrí el post. Lo hice pensando que había un error en el concurso en cuestión, ahora me doy cuenta de que el error era el mío y me siento perdido.
¿Podríamos considerar el sistema tierra como un sistema cerrado?
Si es así, en un sistema cerrado, la suma de energías del sistema permanece constante. Luego, si uno de los factores (la energía potencial) aumenta uno o los dos restantes deberán disminuir en el mismo valor.
Saludos.
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P.D. Por lo que respecta al polinomio del Sr Iturbide, ya no tengo forma de saber cual era mi duda. Estoy seguro de que es algo que ahora podría resolverlo tranquilamente. Tal vez con esto pase lo mismo y de aquí a un tiempo sea capaz de entender algo que la mayoría de la gente no entiende..

[arivasm]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Volví a mi pupitre con la sensación de haber hecho un espantoso ridículo y de haber quedado como un tonto ante mis compañeros. Hasta muchos años mas tarde no me di cuenta de que la mayoría de los que no habían levantado la mano tampoco le habían entendido.

Tras 30 años de experiencia docente creo que puedo decir que el 99% de los casos (por no decir el 100%) cuando alguien pregunta algo hay por lo menos otra persona en el aula que tiene la misma duda (o descubre en ese momento que la tenía). Además, la mayoría de las veces no se trata de una sola "otra persona", sino la mayoría de la clase. De ahí la importancia de preguntar (y por parte del profesor, de responder! -y no sólo repetir lo que haya dicho antes-).

¿Podríamos considerar el sistema tierra como un sistema cerrado?

En absoluto. Una clave de este hilo es que como mínimo hay que pensar en el sistema Tierra-Luna. Como dijo carroza el siguiente elemento a incluir, de cara a mejorar el tratamiento del problema, sería el Sol.

Por otra parte, el que el sistema sea "cerrado" (en sentido mecánico) no asegura la conservación de la energía mecánica. Uno de los efectos más importantes de la marea puede ser el calentamiento de los cuerpos participantes. El caso de Io es especialmente espectacular: el origen de su notorio vulcanismo no es, como sucede en la Tierra, la existencia de un núcleo caliente, sino los importantes efectos de marea que causa Júpiter.

Además, a partir de ese hecho, la energía puede disiparse en forma de radiación (sobre todo infrarroja) emitida por los objetos hacia el espacio exterior

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Esta parte ha sido modificada respecto de la original:


Llevo varios días dándole vueltas a qué podría explicar la discrepancia entre los 58000 años que obtuve para el tiempo que debe transcurrir para que la Tierra alargue su período de rotación en 1 s, frente a los casi 94 000 experimentales. Creo que tengo una explicación: la órbita de la Luna está inclinada respecto del ecuador y el ángulo irá variando a medida que se produce la transferencia de momento angular.

En realidad los movimientos relativos entre la Tierra y la Luna son bastante complejos, por lo que aquí manejaré un modelo bastante tosco, por el cual el eje de rotación terrestre está relativamente fijo y lo mismo sucede con el de la órbita lunar, formando ambos un ángulo $\theta$, que irá variando lentamente debido al efecto de las mareas.

Aclararé que tengo dudas respecto de cuál es el valor medio actual para $\theta$, pues los datos que he encontrado son que el plano de la órbita lunar tiene una inclinación de unos 5º respecto de la eclíptica, que hay que combiar con la inclinación del eje terrestre respecto de la misma, de unos 23º

Si llamamos $L$ al momento angular del sistema Tierra-Luna, $L_T$ al de rotación terrestre y $L_o$ al orbital, y prescindimos del de rotación de la Luna, para simplificar el problema, tenemos que

$$L^2=L_T^2+L_o^2-2L_TL_o\cos\theta$$

Derivando e igualando a cero, substituyendo las expresiones de los momentos angulares que señalé en los posts anteriores y despejando $\dot\theta$ resulta

$$\dot \theta = -\frac{1}{\sin\theta}\left[ \frac{\dot L_T}{L_T} \left( \frac{L_T}{L_o} - \cos\theta\right) +\frac{\dot L_o}{L_o} \left( \frac{L_o}{L_T} - \cos\theta\right)\right]$$

Si definimos

$$\lambda=\frac{L_T}{L_o}\approx\frac{4\pi R^2}{5 m\tau}\sqrt{\frac{M}{Gr}}$$

(aquí seguí, en el segundo igual, lo indicado por Jabato, para no discutir al respecto) y tenemos en cuenta que

$$\frac{\dot L_T}{L_T} = - \frac{\dot\tau}{\tau}$$

$$\frac{\dot L_o}{L_o} = \frac{\dot r}{2 r}$$

(recordemos que $\tau$ es el período de rotación terrestre y $r$ la distancia Tierra-Luna), (9) puede escribirse

$$\dot \theta = \frac{1}{\sin\theta}\left[ \frac{\dot \tau}{\tau} \left( \lambda - \cos\theta\right) - \frac{\dot r}{2r} \left( \frac{1}{\lambda} - \cos\theta\right)\right]$$

Al hacer números encuentro que $\lambda=0,2452$. Como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , si tomamos [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (y esto es algo sobre lo que dudo bastante!) entonces [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , resultado que se puede traducir en que, de ser un valor constante, el plano de la órbita lunar sería coincidente con el del ecuador en unos 1200 millones de años.

[visitante20160513]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Bien arisvam, completamente de acuerdo con tu última observación, por lo tanto al aplicar la hipótesis planteada llegamos al final a que:

$2\pi I_t/\tau_t +m\sqrt{GMr}=Cte$

ecuación que, si el modelo es válido, debería dar explicación del fenómeno, diferenciando tenemos:

$d\tau_t =\displaystyle\frac{m\tau_t^2\sqrt{GM}}{4\pi I_t\sqrt{r}}dr=kdr$

en la que todos los datos son conocidos a excepción del momento de inercia de la tierra. No podemos calcular ese valor como si la tierra fuera una esfera homogénea, porque claramente no lo es. Debíamos poder hacer una estimación de su valor. ¿Alguien conoce su valor o puede hacer una estimación?

He encontrado una web que lo calcula considerando a la tierra dividida en dos capas de diferente densidad, el manto y el núcleo, y que estima su valor en:

$I_t=0,345MR^2$

y otra que le asigna directamente un valor de:

$I_t=0,3308MR^2$

Personalmente creo que el segundo valor es más verosímil, pero si alguien puede aclarar la duda vendría bien.

Salu2, Jabato.

[arivasm]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Gracias, Jabato. Con un momento de inercia aproximado por la media de los dos que has puesto sería $L_T=\notcien{5,96}{33}\,\rm{kg\cdot m^2/s}$. Tomando para el orbital $L_o=m\sqrt{GMr}$ sería $L_o=\notcien{2,88}{34}\,\rm{kg\cdot m^2/s}$, y entonces $\lambda=L_t/L_o=0,207$. Con este cambio obtengo una estimación para [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , y la traducción de este resultado sería de unos 1000 millones de años para la alineación de los momentos angulares, en caso de que ese ritmo se mantuviese uniforme (algo que, evidentemente, sólo debe tomarse como una traducción del resultado, sin más)

[visitante20160513]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Bueno, el calculo nos lleva entonces a la siguiente conclusión:

Masa lunar, $m=7,3\cdot 10^{22}\ kg$
Radio orbital lunar, $r=3,8\cdot 10^{8}\ m$
Periodo orbital lunar, $\tau_L=2,4\cdot 10^{6}\ seg$
Masa terrestre, $M=6\cdot 10^{24}\ kg$
Radio terrestre, $R=6,4\cdot 10^{6}\ m$
Periodo de rotación terrestre, $\tau_t=8,6\cdot 10^{4}\ seg$
Cte. de Gravitación universal, $G=6,7\cdot 10^{-11}$

La constante $k$, habida cuenta de los valores anteriores, adopta el valor:

$k=\displaystyle\frac{m\tau_t^2}{4,16 MR^2}\sqrt{\displaystyle\frac{GM}{r}}=5,4\cdot 10^{-4}\ seg/m$

que supone que en un año el día solar medio variaría en $0,00002052\ segundos$, o lo que es igual, para conseguir un incremento de 1 segundo serían necesarios 48.733 años, valor que está dentro del rango de las observaciones sin duda, y que por lo tanto validaría el modelo. Hay que tener en cuenta que el modelo es tan solo una aproximación de la realidad pero no demasiado alejada de ella, y que por supuesto da una explicación más que satisfactoria del porqué la luna se aleja de la tierra como consecuencia del fenómeno de la aceleración de marea. La tierra disminuye su energía de rotación por efecto de las mareas, aumenta por lo tanto su periodo de rotación y en consecuencia la luna pasa a una órbita mayor para compensar la disminución del momento angular total del sistema.

Ha costado, pero al final tenía que salir.

Salu2, Jabato.

[inakigarber]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Buenas noches;
Siento revivir este post, pero parece que el problema me persigue, hasta Neil De Grasse en su presentación de la serie cosmos me recuerda que la luna se aleja de la tierra.
Suponiendo a la tierra y la luna como esferas perfectas de densidad uniforme, sus centros de masas coincidirían con el centro geométrico pero, en el caso de la luna el campo gravitatorio terrestre será ligeramente mayor en la cara mas próxima que en la más alejada con lo que el centro de gravedad de la luna no coincidirá con su centro de masas. En el caso de la tierra ocurrirá lo mismo con la gravedad lunar. Lo que ocurre es que al ser la masa de la tierra mucho mayor el fenómeno es muchísimo menor ¿este hecho explicaría el porque solo vemos una cara de la luna? ¿Tiene esto relación con el fenómeno del alejamiento lunar?
Un saludo.

[Visitante]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

El hecho de que solo veamos una cara de la Luna se debe a que como sabrás la marea es causado por la Luna y el Sol, la Luna lleva mucho tiempo tirando de nuestra marea y esta ha ralentizado bastante nuestra rotación hasta llegar a coincidir las mareas con la luna.
Por eso siempre vemos la misma cara de la luna.

[arivasm]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

La no uniformidad de la gravedad lunar en los diferentes puntos de la Tierra (o la terrestre en la Luna), que señalas, es la causa de las mareas y, entonces indirectamente, del frenado de la rotación terrestre y, por tanto, de la transferencia de momento angular que causa el alejamiento lunar y la modificación del plano orbital lunar, que se comentó en el hilo.

El efecto afecta igualmente a la Luna, lo que sucede es que el acoplamiento de la rotación lunar con su movimiento orbital se completó millones de años atrás.

- - - Actualizado - - -

...la Luna lleva mucho tiempo tirando de nuestra marea y esta ha ralentizado bastante nuestra rotación hasta llegar a coincidir las mareas altas con la luna.
Por eso siempre vemos la misma cara de la luna.

Varias puntualizaciones:

1. La marea alta no coincide exactamente con el eje Tierra-Luna, sino que se retrasa. La causa es, precisamente, la fricción del océano en el desplazamiento de la onda de marea. Además hay que tener en cuenta que la marea es, en relación al planeta, una onda que se propaga y que entonces está afectada por las diferentes condiciones de propagación, determinadas principalmente por la profundidad y la forma de los océanos.
2. La forma de la marea es independiente del hecho de que la rotación lunar esté acoplada con la traslación orbital.
3. El que la Luna muestre la misma cara a la Tierra se debe fundamentalmente a los efectos que causaron sobre la Luna las fuerzas de marea terrestre.

[inakigarber]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

La no uniformidad de la gravedad lunar en los diferentes puntos de la Tierra (o la terrestre en la Luna), que señalas, es la causa de las mareas y, entonces indirectamente, del frenado de la rotación terrestre y, por tanto, de la transferencia de momento angular que causa el alejamiento lunar y la modificación del plano orbital lunar, que se comentó en el hilo......

Luego, ¿Debo suponer que lo que comentaba en mi post anterior es parte de la cuestión del frenado?
Saludos.

[arivasm]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

En realidad está en el corazón de la cuestión: si el campo fuese uniforme (o casi, como sucedería si las distancias son suficientemente grandes) no habría la deformación que es la marea. A partir de ahí tenemos lo demás.

[inakigarber]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Buenas tardes;
Lo que voy a decir tal vez sea una sandez, pero es lo único que se me ocurre.

Supongamos dos cuerpos rígidos de masas muy desiguales girando en torno a un centro de masas en un sistema cerrado. Dada la desigualdad de masa el centro de masas caerá dentro del cuerpo grande. De manera que prácticamente podremos decir que el pequeño gira en torno al grande. Supongamos en un estado inicial ambos giran respecto a sus ejes con una gran velocidad angular. Dado que hay un pequeño pero existente gradiente gravitatorio ambos cuerpos se verán frenados por sus respectivas interacciones gravitatorias mutuas. Especialmente el mas pequeño por tener menor inercia. Luego la velocidad angular y su correspondiente energía cinética disminuirán. Si hemos considerado el sistema como cerrado y dado que la energía ni se crea ni se destruye solo se transforma, la energía total del sistema permanece constante. Por tanto solo me queda que aumente la energía potencial (en función de las masas de ambos cuerpos -que permanece constante-, y de la distancia que los separa, que es la única variable) por tanto de esta manera debiera aumentar la distancia que los separa. Pero, insisto, no estoy muy seguro de la consistencia de mi argumento. Mas aun teniendo en cuenta que el sistema tierra-luna no es un sistema cerrado (hay otras interacciones -el sol y tal vez otros planetas-) y además no toda la energía mecánica se conserva. Por ejemplo el flujo de las mareas generara calor por roce con los continentes. En fin, que no se si lo que estoy diciendo tiene mucho fundamento, pero es lo único que se me ocurre.

Saludos y gracias.

[arivasm]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Si ambos cuerpos fuesen sólidos absolutamente rígidos no habría los frenados que indicas: el momento resultante de las fuerzas gravitacionales que actúan sobre cada uno de ellos es nulo, lo que implica que las velocidades angulares de las rotaciones propias de cada cuerpo se mantendrán constantes.

Como se ha dicho en el hilo es esencial la existencia de estructuras internas no rígidas. El frenado no es muy diferente del que se produce en un huevo sin cocer que rota.

[visitante20160513]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Ten en cuenta que ese sistema considerado aislado debe mantener su momento angular total. Si la tierra disminuye su energía por la perdida de la fricción de las mareas entonces la luna debe aumentar su distancia a la tierra precisamente para que el momento angular total se conserve.

Salu2, Jabato.

[inakigarber]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

Si ambos cuerpos fuesen sólidos absolutamente rígidos no habría los frenados que indicas: el momento resultante de las fuerzas gravitacionales que actúan sobre cada uno de ellos es nulo, lo que implica que las velocidades angulares de las rotaciones propias de cada cuerpo se mantendrán constantes.

Como se ha dicho en el hilo es esencial la existencia de estructuras internas no rígidas. El frenado no es muy diferente del que se produce en un huevo sin cocer que rota.

Había entendido mal, entendí que el frenado partía del hecho de que el centro de masas de la luna no coincidía con el centro de gravedad de esta, dado el gradiente gravitatorio.

[skynet]

Re: Curiosidad ¿porque las mareas frenan a la luna?

la luna no se frena, al contrario se acelera.....la que se frena es la tierra, una parte de la energía cinética de rotación perdida por la tierra se disipa y otra parte se transfiere a la luna que aumenta su velocidad y su distancia manteniendo el momento angular total del sistema tierra-luna constante.
la aceleración y alejamiento de la luna esta causada por el hecho de que la luna gira en el mismo sentido que la rotación de la tierra, como consecuencia las mareas se adelantan a la luna y por así decirlo "tiran de ella"