Otras carreras Las unidades en un logartimo neperiano

[mrmgranada]

Tengo entendido que un logaritmo neperiano es siempre adimensional. Mi problema es que tengo una integral de línea que es la de 1/r dr siendo r una distancia. Eso daría ln(r) pero no tiene sentido por lo de las unidades.¿alguien me ayuda?

gracias

[Al2000]

Re: Las unidades en un logartimo neperiano

Léete el hilo Integral definida con logaritmo neperiano ¿negativo?, que debería ser aclaratorio del asunto.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Weip]

Re: Las unidades en un logartimo neperiano

A mí me explicaron que, como bien dices, es adimensional, pero en física o química por ejemplo, se hace la vista gorda. Sencillamente es eso. O al menos es lo que me dijo mi profesor de física, la verdad es que yo encuentro esta respuesta bastante insatisfactoria, pero es lo que hay.

[teclado]

Re: Las unidades en un logartimo neperiano

La integral indefinida de 1/r es ln(r), pero tienes que tener en cuenta que a la hora de usarla tendrás que poner un límite superior y otro inferior en los que evaluarla, de modo que tienes:

$\dst\int_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r}=\left[ln(r_1)-ln(r_0)\right]=ln\left(\frac{r_1}{r_0}\right)$

Que es el ln (adimensional) de algo adimensional. Si te fijas en la integral tienes dr/r, que se mide en m/m, o sea, adimensional.

[pod]

Re: Las unidades en un logartimo neperiano

Tengo entendido que un logaritmo neperiano es siempre adimensional. Mi problema es que tengo una integral de línea que es la de 1/r dr siendo r una distancia. Eso daría ln(r) pero no tiene sentido por lo de las unidades.¿alguien me ayuda?

gracias

Efectivamente, el argumento de cualquier función matemática (como el logaritmo) debe ser siempre adimensional.

Ten en cuenta que cualquier integral siempre tiene una constante de integración,

$$\int\!\! \dd r \ \frac 1 r = \ln r + K .$$

Ahora imagínate que yo, porque me da la gana, quiero cambiar el nombre de la constante. Lo importante es que sea constante, y elijo $K = - \ln r_0$, donde $r_0$ es otra constante. Por lo tanto, usando las propiedades de los logaritmos,

$$\begin{aligned}\int\!\! \dd r \ \frac 1 r & = \ln r - \ln r_0 \\ & = \ln \frac{r}{r_0} .\end{aligned}$$

Esa $r_0$ sigue siendo una constante de integración, sólo que la hemos podido meter dentro del logaritmo gracias a las propiedades del logaritmo. Ahora, si esta $r_0$ tiene dimensiones de longitud, entonces el cociente $r/r_0$ es adimensional y por lo tanto podemos sacar el logaritmo sin más problemas.

Visto de otra forma, en Física normalmente no nos interesan integrales indefinidas, sino que integramos en un intervalo (por ejemplo, podemos pensar que integramos entre el instante inicial y el instante final). En este caso, tenemos algo como

$$\int_{r_0}^r \!\! \dd r \ \frac 1 r = \ln \frac r {r_0} .$$

Como ves, en la integral definida sale el resultado adimensional directamente, sin tener que hacer una construcción rara con la constante de integración.

[mrmgranada]

Re: Las unidades en un logartimo neperiano

Efectivamente, el argumento de cualquier función matemática (como el logaritmo) debe ser siempre adimensional.

Ten en cuenta que cualquier integral siempre tiene una constante de integración,

$$\int\!\! \dd r \ \frac 1 r = \ln r + K .$$

Ahora imagínate que yo, porque me da la gana, quiero cambiar el nombre de la constante. Lo importante es que sea constante, y elijo $K = - \ln r_0$, donde $r_0$ es otra constante. Por lo tanto, usando las propiedades de los logaritmos,

$$\begin{aligned}\int\!\! \dd r \ \frac 1 r & = \ln r - \ln r_0 \\ & = \ln \frac{r}{r_0} .\end{aligned}$$

Esa $r_0$ sigue siendo una constante de integración, sólo que la hemos podido meter dentro del logaritmo gracias a las propiedades del logaritmo. Ahora, si esta $r_0$ tiene dimensiones de longitud, entonces el cociente $r/r_0$ es adimensional y por lo tanto podemos sacar el logaritmo sin más problemas.

Visto de otra forma, en Física normalmente no nos interesan integrales indefinidas, sino que integramos en un intervalo (por ejemplo, podemos pensar que integramos entre el instante inicial y el instante final). En este caso, tenemos algo como

$$\int_{r_0}^r \!\! \dd r \ \frac 1 r = \ln \frac r {r_0} .$$

Como ves, en la integral definida sale el resultado adimensional directamente, sin tener que hacer una construcción rara con la constante de integración.

Muchas gracias, me has ayudado mucho para resolver el problema que tenía. Creo que lo más apropiado sería utilizar como constante el -ln(1), ya que tampoco modificará el valor del logaritmo ln(r)