Consulta sobre la diferencia entre tensor contravariante y covariante.

[inakigarber]

Buenas tardes;
Leyendo este texto que enlazo a continuación, me he encontrado con la siguiente afirmación;
"la representación matricial, del tensor electromagnético en forma contravariante y covariante es:"
$F=[F^{ab}]=\begin{pmatrix}0&-E_x&-E_y&-E_z\\E_x&0&-B_z&B_y\\E_y&B_z&0&-B_x\\E_z&-B_y&B_x&0 \end{pmatrix}$
$F=[F_{ab}]=\begin{pmatrix}0&E_x&E_y&E_z\\-E_x&0&-B_z&B_y\\-E_y&B_z&0&-B_x\\-E_z&-B_y&B_x&0\end{pmatrix}$

Aún no tengo muy clara la diferencia entre contravariante y covariante (salvo que en el primer caso los subíndices se ponen arriba y en el segundo abajo), trato de comprobar las diferencias entre ambos tensores, pues buen, observo que los valores de energia son de signo contrario en ambos casos, en tanto que los signos del valor campo son iguales en ambos casos, ambos tensores son por otra parte matrices de orden 4x4 y tienen sus elementos diagonales nulos y en ambos casos los subíndices de E y de B tienen el mismo orden si no me equivoco.

¿Porque se define el primero como contravariante y el segundo como covariante? ¿Podrían definirse al reves el primero como covariante y el segundo como contravariante?

Saludos y gracias.

[sater]

Buenas inakigarber.

Suele decirse que los objetos físicos los representamos con tensores contravariantes (los covariantes tendrían que ver con formas lineales, es decir, objetos que toman vectores contravariantes para devolver un número, como la métrica). Así, la manera natural de definir el tensor electromagnético es de manera contravariante, y los signos se pondrán (si no recuerdo mal) por conveniencia para que se reproduzcan las ecs de maxwell.

Ya para pasar de uno a otro se debe utilizar la métrica, que en lenguaje llano, sube y baja índices. Si estamos en espacio plano, $g_{ab}=\eta_{ab}$ y entonces $F_{ab}=\eta_{ac}\eta_{bd}F^{cd}$

[inakigarber]

buenas inakigarber.

Suele decirse que los objetos físicos los representamos con tensores contravariantes (los covariantes tendrían que ver con formas lineales, es decir, objetos que toman vectores contravariantes para devolver un número, como la métrica). Así, la manera natural de definir el tensor electromagnético es de manera contravariante, y los signos se pondrán (si no recuerdo mal) por conveniencia para que se reproduzcan las ecs de maxwell.

Entonces, magnitudes vectoriales como la posición, la velocidad o la aceleración se representarían como tensores contravariantes (en este caso de orden uno) .
En el caso de las magnitudes escalares como energia, masa, o el intervalo que son tensores de orden cero supongo que no tiene sentido hablar de covariancia o contravariancia, ¿es así?

Ya para pasar de uno a otro se debe utilizar la métrica, que en lenguaje llano, sube y baja índices. Si estamos en espacio plano, $g_{ab}=\eta_{ab}$ y entonces $f_{ab}=\eta_{ac}\eta_{bd}f^{cd}$

En el caso anterior $F_{ab}\eta_{ac}\eta_{bd}=F^{ab}$, como $\eta_{ac}\eta_{bd}=\eta_{ad}$, tendríamos $F_{ab}\eta_{ad}=F^{ab}$

Lo que me despista de todo este caso es que en los dos tensores que he puesto en el primer post solo los valores de energia cambian de signo de al pasar de un vector a otro, los valores del campo permanecen invariantes.

[sater]

Entonces, magnitudes vectoriales como la posición, la velocidad o la aceleración se representarían como tensores contravariantes (en este caso de orden uno) .
En el caso de las magnitudes escalares como energia, masa, o el intervalo que son tensores de orden cero supongo que no tiene sentido hablar de covariancia o contravariancia, ¿es así?

En efecto, posición, velocidad, aceleración...son vectores contravariantes. Energía es la componente temporal de un vector contravariante (y no un escalar!, por eso depende del sistema de referencia) y masa o el intervalo espaciotemporal (o de tiempo propio) sí son escalares (tensores de orden cero), por lo que su valor es el mismo en todos los sistemas de referencia.

En el caso anterior $F_{ab}\eta_{ac}\eta_{bd}=F^{ab}$, como $\eta_{ac}\eta_{bd}=\eta_{ad}$, tendríamos $F_{ab}\eta_{ad}=F^{ab}$

Ese cálculo estaría mal, fíjate que el número de índices libres contravariantes y covariantes se tiene que "conservar" en ambos miembros de la igualdad. Para contraer índices (es decir, sumar sobre índices repetidos) lo ideal es que un índice sea covariante y el otro contravariante. En tu caso, tendrías que escribir: $F_{ab}\eta^{ac}\eta^{bd}=F^{cd}$ (y puedes usar una regla nmemotécnica: a se contrae con a y pone c en su lugar, b se contrae con b y pone d en su lugar). Por otro lado, no es cierto que $\eta_{ac}\eta_{bd}=\eta_{ad}$, no hay índices repetidos con los que se pueda hacer el producto matricial (contraer índices). Deberías escribir más bien que $\eta_{ab}\eta^{bc}=\delta_a^c$ (la métrica por su inversa da la identidad -delta de kronecker-). Mira a ver si con esta información puedes arreglar esto $F_{ab}\eta_{ad}=F^{ab}$, que tampoco estaría bien.

Lo que me despista de todo este caso es que en los dos tensores que he puesto en el primer post solo los valores de energia cambian de signo de al pasar de un vector a otro, los valores del campo permanecen invariantes.

Cuando dices energía entiendo que te refieres a $E_i$, que son las componentes del campo eléctrico. Escrito como matrices, prueba a hacer el producto $GFG$, con G la métrica y F el tensor de campo electromagnético, para obtener el tensor dos-covariante F de campo electromagnético.

Un saludo.

[Fortuna]

Aún no tengo muy clara la diferencia entre contravariante y covariante (salvo que en el primer caso los subíndices se ponen arriba y en el segundo abajo)...

@inakigarber me he pasado años como tú, preguntándome qué es covarianza y contravarianza y a parte de la posición de los subíndices y superíndices y que se trasforman unos y otros a través del tensor métrico era un concepto que se me escapaba.

Al final, la respuesta la encontré en wikipedia

En física, a veces se considera una base como un conjunto de ejes de referencia. Un cambio de escala en los ejes de referencia corresponde a un cambio de unidades en el problema. Por ejemplo, al cambiar la escala de metros a centímetros (es decir, dividir la escala de los ejes de referencia por 100), los componentes de un vector de velocidad medido se multiplican por 100. Los vectores exhiben este comportamiento de cambiar la escala inversamente a los cambios de escala a los ejes de referencia y, en consecuencia, se denominan contravariantes. Como resultado, los vectores a menudo tienen unidades de distancia o distancia con otras unidades (como, por ejemplo, la velocidad tiene unidades de distancia divididas por el tiempo).

En contraste, los covectores (también llamados vectores duales) típicamente tienen unidades del inverso de la distancia o el inverso de la distancia con otras unidades. Un ejemplo de covector es el gradiente, que tiene unidades de una derivada espacial, o distancia^(− 1). Los componentes de los covectores cambian de la misma manera que los cambios en la escala de los ejes de referencia y, en consecuencia, se denominan covariantes.

Un tercer concepto relacionado con la covarianza y la contravarianza es la invariancia. Un ejemplo de un observable físico que no cambia con un cambio de escala en los ejes de referencia es la masa de una partícula, que tiene unidades de masa (es decir, no unidades de distancia). El único valor escalar de masa es independiente de los cambios en la escala de los ejes de referencia y, en consecuencia, se llama invariante.

El vector A en rojo, se expresa en coordenadas contravariantes (las de toda la vida, en color naranja) o covariantes, duales de las anteriores, en color azul.

[inakigarber]

Buenos días y gracias por tu respuesta;

….En física, a veces se considera una base como un conjunto de ejes de referencia. Un cambio de escala en los ejes de referencia corresponde a un cambio de unidades en el problema. Por ejemplo, al cambiar la escala de metros a centímetros (es decir, dividir la escala de los ejes de referencia por 100), los componentes de un vector de velocidad medido se multiplican por 100. Los vectores exhiben este comportamiento de cambiar la escala inversamente a los cambios de escala a los ejes de referencia y, en consecuencia, se denominan contravariantes. Como resultado, los vectores a menudo tienen unidades de distancia o distancia con otras unidades (como, por ejemplo, la velocidad tiene unidades de distancia divididas por el tiempo).

En contraste, los covectores (también llamados vectores duales) típicamente tienen unidades del inverso de la distancia o el inverso de la distancia con otras unidades. Un ejemplo de covector es el gradiente, que tiene unidades de una derivada espacial, o distancia^(− 1). Los componentes de los covectores cambian de la misma manera que los cambios en la escala de los ejes de referencia y, en consecuencia, se denominan covariantes…..

Creo que esta es la clave de la cuestión, pero aún no lo veo claro. A ver, los vectores posición fuerza o aceleración serían contravariantes, aparte del vector (o covector) gradiente ¿hay más ejemplos en la física clásica?

[inakigarber]

….Un tercer concepto relacionado con la covarianza y la contravarianza es la invariancia. Un ejemplo de un observable físico que no cambia con un cambio de escala en los ejes de referencia es la masa de una partícula, que tiene unidades de masa (es decir, no unidades de distancia). El único valor escalar de masa es independiente de los cambios en la escala de los ejes de referencia y, en consecuencia, se llama invariante.

El vector A en rojo, se expresa en coordenadas contravariantes (las de toda la vida, en color naranja) o covariantes, duales de las anteriores, en color azul.

Por eso se considera que los escalares (como la masa) son invariantes. Un vector longitud (por ejemplo) podríamos considerarlo como la suma de dos vectores, podríamos considerar infinitas posibilidades distintas y todas darían como resultante el mismo vector. Sin embargo la longitud de dicho vector dependerá del sistema de referencia de acuerdo con las transformaciones de Lorentz ¿podríamos considerar la longitud como un invariante?

En este momento no lo veo nada claro.

[inakigarber]

Cuando dices energía entiendo que te refieres a $E_i$, que son las componentes del campo eléctrico. Escrito como matrices, prueba a hacer el producto $GFG$, con G la métrica y F el tensor de campo electromagnético, para obtener el tensor dos-covariante F de campo electromagnético.

Un saludo.

Si me habia equivocado, no recordé que el campo eléctrico también se designa con la letra E.

[Fortuna]

Por eso se considera que los escalares (como la masa) son invariantes. Un vector longitud (por ejemplo) podríamos considerarlo como la suma de dos vectores, podríamos considerar infinitas posibilidades distintas y todas darían como resultante el mismo vector. Sin embargo la longitud de dicho vector dependerá del sistema de referencia de acuerdo con las transformaciones de Lorentz ¿podríamos considerar la longitud como un invariante?

En este momento no lo veo nada claro.

La distancia espacial sola, sin el tiempo, no es un invariante, pues, como dices, las longitudes varían según el sistema de referencia pero la distancia espacio-temporal, o intervalo relativista, es un invariante relativista. Es un escalar pero también hay otros invariantes no escalares como la cuadravelocidad o el cuadrimomentum.

[inakigarber]

La distancia espacial sola, sin el tiempo, no es un invariante, pues, como dices, las longitudes varían según el sistema de referencia pero la distancia espacio-temporal, o intervalo relativista, es un invariante relativista. Es un escalar pero también hay otros invariantes no escalares como la cuadravelocidad o el cuadrimomentum.

Bien, esto estaba aclarado en mi anterior hilo, aunque parece que no me habia quedado del todo claro por lo que veo, ya que he caído en el mismo error.

[inakigarber]

…..En física, a veces se considera una base como un conjunto de ejes de referencia. Un cambio de escala en los ejes de referencia corresponde a un cambio de unidades en el problema. Por ejemplo, al cambiar la escala de metros a centímetros (es decir, dividir la escala de los ejes de referencia por 100), los componentes de un vector de velocidad medido se multiplican por 100. Los vectores exhiben este comportamiento de cambiar la escala inversamente a los cambios de escala a los ejes de referencia y, en consecuencia, se denominan contravariantes. Como resultado, los vectores a menudo tienen unidades de distancia o distancia con otras unidades (como, por ejemplo, la velocidad tiene unidades de distancia divididas por el tiempo).

En contraste, los covectores (también llamados vectores duales) típicamente tienen unidades del inverso de la distancia o el inverso de la distancia con otras unidades. Un ejemplo de covector es el gradiente, que tiene unidades de una derivada espacial, o distancia^(− 1). Los componentes de los covectores cambian de la misma manera que los cambios en la escala de los ejes de referencia y, en consecuencia, se denominan covariantes….

Entonces entiendo que el producto de un vector contravariante por su vector covariante, va a devolvernos un escalar. Es decir, un valor invariante del sistema de referencia.
Anteriormente ya habia preguntado en este foro y me parece conveniente apuntar el enlace, porque creo que es interesante.
En el se dice "

Si tienes un vector contravariante podemos obtener un vector covariante aplicando la regla:"
$v_{\mu}=g_{\mu \nu}v^{\nu}$

Hay algo que no entiendo y que quizá en su momento lo pase de largo, que no se si podrás contestarme.
si $v_{\nu}$ es un vector columna y $g_{\mu \nu}$ es un tensor de orden dos (una matriz) ¿Como puede dar el producto de ambos un vector fila?

[sater]

Entonces entiendo que el producto de un vector contravariante por su vector covariante, va a devolvernos un escalar. Es decir, un valor invariante del sistema de referencia.

En efecto. Siempre que en una ecuación no hayan índices, ese término es un escalar. Y en la contracción de un vector con un covector se pierden los índices: $v_a v^a=|v|^2$ (te hablo de manera "informal" porque creo que a veces queremos ser muy formales con este tema y nos vamos por las ramas. Espero no liarte con ello).

[Richard R Richard]

Hay algo que no entiendo y que quizá en su momento lo pase de largo, que no se si podrás contestarme.
si $v_{\nu}$ es un vector columna y $g_{\mu \nu}$ es un tensor de orden dos (una matriz) ¿Como puede dar el producto de ambos un vector fila?

entiendo que hay una contracción de índices y no una simple multiplicación de vectores y matrices, pues estas suponiendo que los únicos tensores son los de rango 1 y 2 (vectores y matrices respectivamente).

el vector resultante tiene el producto escalar de tu vector fila por cada columna que tiene el tensor ,


$\left[\begin{aligned}g_{00}\,g_{01}\,g_{02}\,g_{03}\\g_{10}\,g_{11}\,g_{12}\,g_{13}\\g_{20}\,g_{21}\,g_{22}\,g_{23}\\g_{30}\,g_{31}\,g_{32}\,g_{33}\end{aligned}\right]\times<br />$$\left[\begin{aligned}v^0\\v^1\\v^2\\v^3\end{aligned}\right]=$$\left[\begin{aligned}v_0,v_1,v_2,v_3\end{aligned}\right]$
cada $v_i$ surge de hacer la siguiente sumación


Edito creo que me equivoque
$\cancel{v_i=\dst\sum\limits_{i=0}^3 v^i g_{0i}= v^{\mathbf 0} g_{0{\mathbf 0}}+v^{\mathbf 1} g_{0{\mathbf 1}}+v^{\mathbf 2} g_{0{\mathbf 2}}+v^{\mathbf 3} g_{0{\mathbf 3}}}$

en realidad es

$v_j=\dst\sum\limits_{i=0}^3 v^i g_{ji}= v^{\mathbf 0} g_{j{\mathbf 0}}+v^{\mathbf 1} g_{j{\mathbf 1}}+v^{\mathbf 2} g_{j{\mathbf 2}}+v^{\mathbf 3} g_{j{\mathbf 3}}$

lo que pasa es qu estamos acostumbrado a ver que en espacios planos $\delta_{ij}=g_{ij}$ osea el tensor de la métrica es la delta de kronecker, luego los tensores covarintentes y contravariantes tienen las mismas componentes, porque la matriz por la que se hace el calculo es la identidad, en cambio en espacios curvos, la norma de un vector no se calcula como el producto escalar 3d de toda la vida sino como

Producto escalar de vectores contravariantes	$<br /> \vec x \cdot \vec y =g_{ij} x^i y^j= x_i<br /> y^j$
Producto escalar de vectores covariantes	$\bar x \cdot \bar y =g^{ij} x_i y_j= x^i<br /> y_j$
Norma de vectores contravariantes	$\vec x \cdot \vec x =g_{ij} x^i x^j= x_i<br /> x^j=|\vec x|^2$
Norma covariantes	$\bar x \cdot \bar x =g^{ij} x_i x_j= x^i<br /> x_j=|\bar x|^2$

[inakigarber]

el vector resultante tiene el producto escalar de tu vector fila por cada columna que tiene el tensor ,


$\left[\begin{aligned}g_{00}\,g_{01}\,g_{02}\,g_{03}\\g_{10}\,g_{11}\,g_{12}\,g_{13}\\g_{20}\,g_{21}\,g_{22}\,g_{23}\\g_{30}\,g_{31}\,g_{32}\,g_{33}\end{aligned}\right]\times<br />$$\left[\begin{aligned}v^0\\v^1\\v^2\\v^3\end{aligned}\right]=$$\left[\begin{aligned}v_0,v_1,v_2,v_3\end{aligned}\right]$
cada $v_i$ surge de hacer la siguiente sumación

Ando un poco perdido, por lo que igual pregunto una tontería.
Cuando haces el producto cruz que he señalado,¿Te refieres a lo que se suele escribir con el caracter $\otimes$?

[Weip]

Ando un poco perdido, por lo que igual pregunto una tontería.
Cuando haces el producto cruz que he señalado,¿Te refieres a lo que se suele escribir con el caracter $\otimes$?

En este contexto $\otimes$ representa un producto tensorial y no es lo que ha puesto Richard porque las dimensiones del resultado no cuadrarían. En todo caso es un lío para otra ocasión. Leyéndote quería hacer un pequeño comentario sobre lo que ha puesto Richard por si acaso lleva a confusión y es que la notación $\times$ no es una notación estándar sino una forma pedagógica de explicar lo que ocurre. Realmente la expresión formal es la que coloca abajo. Alguna vez te he hablado de esto pero insisto: $v_{\mu}=g_{\mu \nu}v^{\nu}$ es una operación entre las componentes del vector y de la matriz, no entre el vector y la matriz directamente. Es decir, la expresión $v_{\mu}=g_{\mu \nu}v^{\nu}$ no significa $v^T=Gv$ literalmente. El producto que se efectua en $v_{\mu}=g_{\mu \nu}v^{\nu}$ es un producto entre escalares (números) de toda la vida. Muchas veces verás el abuso de lenguaje de confundir por ejemplo $g_{\mu\nu}$ con la matriz de la métrica pero es solo un atajo del lenguaje cuando ya se entiende por contexto de lo que se habla.

[Richard R Richard]

En todo de acuerdo, aclarar mas oscurece, pues a la vez he arribado al límite de lo que entendí alguna vez.