calcular el area de una elipse

[Alriga]

Re: calcular el area de una elipse

La deducción de que el área en coordenadas polares es $\dst A_{\alpha \beta}=\dfrac 1 2 \int_{\alpha}^{\beta} r^2(\theta) \ d \theta$ es muy sencilla y puedes hallarla por ejemplo aquí:

Área en coordenadas polares

PD. como haces para introducir los simbolos integral, raiz etc.... Saludos

Aquí te explica lo que es LaTeX: http://www.lawebdefisica.com/latex/

Aquí puedes ensayar tus fórmulas: http://www.lawebdefisica.com/latex/latextest.php

Aquí hay instrucciones: http://forum.lawebdefisica.com/threa...n-los-mensajes

El LaTex es muy fácil, se aprende en 1 hora. Además si haces doble click en cualquier fórmula del foro verás como está escrita: la marcas con el ratón, haces "copiar" y entre los corchetes [TEX]"pegar como texto sin formato"[/TEX] y ya está.

Saludos.

[Dilior]

Re: calcular el area de una elipse

Muchas Gracias... bueno en realidad hallé el área en coordenadas cartesianas... y me pidieron como extra que la halle usando coordenadas polares.. y pues no, no me dan ecuación en polares pero me imagino que bastará con sólo ponerla y no deducirla (pero planeo hacerlo deducirla para mi mismo)... lo que haces me doy cuenta es como hacer integrales dobles respecto a r y "teta" con jacobiano "r"... la integral respecto de r quedaría (r^2)/2... Ademas parece que es mas sencilla hacerlo por cartesianas.. revisaré las cónicas... gracias por la respuesta es un gran foro... y estoy ansioso de compartir varias dudas respecto a otros problemas
PD. como haces para introducir los simbolos integral, raiz etc.... Saludos

[Alriga]

Re: calcular el area de una elipse

Hola, no sabía si debía crear otro hilo... pero mi duda es algo parecida... Deseo hallar el área de una elipse pero por coordenadas polares... Saludos

Hola Dilior, bienvenido a La web de Física. Como nuevo miembro, por favor echa un vistazo a Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

En coordenadas polares el área comprendida entre los ángulos $\alpha$ y $\beta$ es:

$\dst A_{\alpha \beta}=\dfrac 1 2 \int_{\alpha}^{\beta} r^2(\theta) \ d \theta$

No dices si tienes la ecuación en polares referida al Centro de la elipse, o a un Foco.

La ecuación en polares referida al centro de la elipse es:

$r (\theta )=\dfrac{b}{\sqrt{1-e^2 \cos ^2(\theta )}}$

Y referida a un foco:

$r(\theta) = \dfrac{a(1-e^2)}{1+e \cos \theta}$

Lo más fácil es tomar como límites de integración para ambos casos:

$\alpha=0$

$\beta=\pi$

Lo que te proporciona la mitad del área, y a continuación multiplicar por 2.

La excentricidad de la elipse es $e=\sqrt{1- \dfrac{b^2}{a^2} }$

Saludos.

[Dilior]

Re: calcular el area de una elipse

Hola, no sabía si debía crear otro hilo... pero mi duda es algo parecida... Deseo hallar el area de una elipse pero por coordenadas polares... Saludos

[Metaleer]

Re: calcular el area de una elipse

¿Pero el ángulo con respecto a qué?

Si te refieres a algo como un trozo de una tarta o de un queso, supongo que tendrías que usar coordenadas esféricas modificadas para que los límites te salgan bien, pero esto sin saber muy bien a qué te refieres con el ángulo.

Saludos.

[RoundedWheels]

Re: calcular el area de una elipse

Hola Metaleer,

Llevo un tiempo buscando la fórmula inversa a la que has calculado. Es decir, ¿cuál es el ángulo para una determinado fragmento del área?

¿Puedes darme alguna pista de por donde tirar para obtener esa ecuación?

Gracias!

Hay una forma de calcular el volumen de un elipsoide de semiejes a, b y c, de la siguiente manera. El método se llama el método de las secciones, y consiste en coger un trozo infinitesimalmente fino de rodaja, digamos, creada por un plano, y seccionar así a todo el cuerpo por un haz de planos paralelos, y posteriormente sumar todas estas secciones infinitesimalmente finas y obtener así el volumen. Esta última suma puedes deducir que será una integral definida. Veamos el caso particular de una elipsoide:

La ecuación canónica o reducida de una elipsoide es:

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$

Si nosotros ahora vamos haciendo secciones por planos paralelos al plano XY, es decir, del tipo z = k, manipulando la ecuación de arriba tendremos

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{k^2}{c^2} = 1$

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}= 1 - \frac{k^2}{c^2}$

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2(1 - \frac{k^2}{c^2} ) } + \frac{y^2}{b^2(1 - \frac{k^2}{c^2} ) } = 1$

Es decir, las figuras que tenemos son elipses de semiejes $\displaystyle a \sqrt{1 - \frac{k^2}{c^2}}$ y $\displaystyle b \sqrt{1 - \frac{k^2}{c^2}}$

Sabemos que el área de una elipse es $\pi ab$

Operando: $\displaystyle \pi a \sqrt{1 - \frac{k^2}{c^2}} b \sqrt{1 - \frac{k^2}{c^2}} = \pi ab (1 - \frac{k^2}{c^2})$

Lo que tenemos que hacer ahora es integrar esta expresión entre -c y c, ya que esta función que hemos obtenido es la función área en función de k, es decir, en función de z. $\displaystyle \pi ab (1 - \frac{z^2}{c^2}) dz$ es un elemento de volumen infinitesimalmente fino, así que:

$\displaystyle \int_{-c}^{c} \pi ab (1 - \frac{z^2}{c^2})~dz$

que, resuelta, nos da el resultado que buscábamos:

$\displaystyle \frac{4}{3}\pi abc$

Es útil reflexionar este resultado. ¿Qué pasaría si a = b = c?

Espero que haya resuelto tu duda. Si no entiendes algo, no dudes en preguntar.

Saludos.

[nissanz350]

Re: calcular el area de una elipse

muy sencillo
S: en nuestro caso sera el simbolo de la integral en el intervalo 0<t<2 PI

el jacobiano de la parametrizacion de una elipse es = a*b cuando haces una transformacion de la elipse a*b* S dt al evaluar en el intervalo queda
A=a*b*pi

[Pirata de Silla]

Re: calcular el area de una elipse

Hola genios! es mi primer mensaje, voy a calcular el área de un cuadrante de elipse. Sin integrales dobles.

tenemos las dos ecuaciones de la elipse:

(1) : $\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$

(2) : $x = a\cos\phi$
$y = b\sin\phi$

De (1) tenemos que $y=b \displaystyle\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}$

en lugar de integrar respecto de x, hacemos el cambio de variable en (2): $\displaystyle\frac{x}{a} = \cos\phi$

Para calcular un cuadrante de elipse, tomamos los límtes de integración ($\frac{\pi}{2}$, 0)

Como vamos a integrar respecto de $\phi$, necesitaremos convertir dx en $d\phi$:

de $\displaystyle\frac{x}{a} = \cos\phi$ tenemos x = $a\cos\phi$, por tanto, dx = $-a\displaystyle\sin\phi d\phi$

De modo, que la integral del área para un cuadrante queda:

A = $\displaystyle\int_\frac{\pi}{2}^0 b\sqrt{1-\cos^2{\phi}} (-a)\sin\phi d\phi = -ab\int_\frac{\pi}{2}^0\sin^2{\phi} d\phi$

Ahora empleamos la siguiente identidad trigonométrica: $2\sin^2{\phi} = 1 - \cos{2\phi}$ ==> $\sin^2{\phi} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{2\phi}}{2}$

Por lo tanto, A = $-\displaystyle\frac{ab}{2}\int_\frac{\pi}{2}^0 d\phi - \frac{ab}{2}\int_\frac{\pi}{2}^0 \cos{2\phi} d\phi$

= $0 + \displaystyle\frac{ab\pi}{4} -\frac{ab}{4}\int_\frac{\pi}{2}^0 2\cos{2\phi} d\phi$

= $\displaystyle\frac{ab\pi}{4}-\frac{ab}{4}\sin0 +\frac{ab}{4}\sin\pi$ =

= $\displaystyle\frac{ab\pi}{4}$ u. a.

Ale, arreglao. Para el área de una elipse entera, multiplicar por 4.

Me ha gustao esto del LATEX.

[polonio]

Re: calcular el area de la elipse

Un consejo:

Hay que ir acostumbrándose a tomar las coordenadas convenientes (cartesianas, cilíndricas, esféricas) según la simetría del problema porque hacen las integrales muchísimo mas fáciles al desacoplarse las coordenadas y no aparecer ninguna variable en los límites de integración.

Así, aquí usando polares es coser y cantar...

[pod]

Re: calcular el area de la elipse

Pienso que usar integrales dobles para calcular esta area, es como matar hormigas con un tanque... quizas sea mas facil usando la ecuacion de la elipse

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$

despejamos y calculamos el area del semieje mayor

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Saludos

Bueno, no es que sea "matar hormigas con un tanque", es que es equivalente a lo que has hecho; el integrando que has puesto es el resultado de la primera integral El método de las integrales dobles es más sistemático, y por lo tanto no exige pensar tanto.

[Nachop]

Re: calcular el area de la elipse

Pienso que usar integrales dobles para calcular esta area, es como matar hormigas con un tanque... quizas sea mas facil usando la ecuacion de la elipse

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$

despejamos y calculamos el area del semieje mayor

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Saludos

[Metaleer]

Re: calcular el area de la elipse

Otra manera, tal vez más elegante pero no tan estándar, es con el uso del teorema de Green-Riemann para evaluar la integral pedida.

Sabemos que por este teorema, tenemos

$\displaystyle \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy= \oint_{\partial D^+} Pdx + Qdy$

donde la integral de línea se evalúa a lo largo de la frontera de $D$, $\partial D$, recorriendo esta curva con la orientación positiva. Como nos interesa el área de la región $D$, tenemos que buscar dos campos escalares $Q$ y $P$ tales que el integrando del primer miembro sea 1; en esta búsqueda, podemos encontrarnos con estas integrales:

$\displaystyle \oint xdy = - \oint ydx = \frac{1}{2} \oint xdy - ydx$

Tomamos la última integral. Ahora hemos de definir la curva por la cual realizar estar integral:

$\partial D^+ \equiv \gamma:[0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R}^2$

$\gamma (t) = (a \cos t, b \sin t)$

De esta manera

$\displaystyle A = \frac{1}{2} \oint xdy - ydx = \frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} (ab \cos ^2 t + ab \sin ^2 t)dt = \{ident. trigo\} = \pi a b$

Saludos.

[[Beto]]

Re: calcular el area de la elipse

[FONT=Times New Roman]mira lo q pasa no me gustaenredarme en terminos y cosas asi solo explicame de una forma sencilla si plis[/FONT]

Bueno, en realidad es sencillo, aunque supongo que lo que te puede confundir es ver $x$ e $y$ en una misma expresión.

Lo que se hace es integrar primero respecto a una variable, y luego con respecto a la otra, por ejemplo para el caso de la elipse se tendría:

$$A=4\int_0^b \dd y\int_0^{a\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}} \dd x$$

Para hallar los nuevos límites en los cuales tienes que integrar haces lo siguiente:

$$I=\int \dd x=x$$

Luego evaluando el los límites dados:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Hasta ahí acabamos con la parte de $x$, ahora lo que nos a quedado se lo integra respecto a $y$:

$$A=4\int_0^ba\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}\dd y$$

Ahora hacemos el cambio de variable

$$\sin\theta=\frac{y}{b}\Longrightarrow \cos\theta\dd\theta=\frac{\dd y}{b}\Longrightarrow\dd y=b\cos\theta\dd\theta$$

Para encontrar los nuevos límites en los cuales vas a integrar haces lo siguiente:

$$\begin{aligned}<br /> y=0\Longrightarrow\sin\theta=0&\Longrightarrow\theta=0 \\<br /> y=b\Longrightarrow\sin\theta=1&\Longrightarrow\theta=\frac{\pi}{2}\\<br /> \end{aligned}<br />$$

Por tanto tu nueva integral sería:

$$A=4ab\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-\sin^2\theta}(\underbrace{b\cos\theta\dd\theta}_{\dd y})$$

Operando un poco:

$$A=4ab\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\dd\theta$$

Y esto resulta:

$$A=4ab\left[\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{4}\sin2\theta\right]_0^{\pi/2}$$

Y evaluando en los límites que te dan se obtiene la respuesta.

Si así te parece complicado, en el enlace anterior hay una forma más bonita de hacer el cambio de variable, el procedimiento es el mismo:

http://forum.lawebdefisica.com/showp...5&postcount=12

Si hay algo que no se entienda pregunta.

[FANYTA]

Re: calcular el area de la elipse

[FONT=Times New Roman]mira lo q pasa no me gustaenredarme en terminos y cosas asi solo explicame de una forma sencilla si plis[/FONT]

[[Beto]]

Re: calcular el area de la elipse

OYE NO SE INTEGRAR MUY BIEN SE LO BASICO Y NO SE SI SERIA MOLESTIA QUE ME EXPLICRAS COMO IR INTEGRANDO, NO TE DIGO Q LO AGAS SI NO Q ME EXPLIQUES PARA ENTENDERLE DE UNA FORMa SIMPLE SII PORFA

Bueno pero antes, en la expresión que has puesto el problema ¿es solo que no sabes muy bien como integrar? ... en cuanto a los límites de las integrales ¿tienes dificultad para identificarlos o no?

Con respecto a lo segundo, por partes no es.

PD: escribe en minúsculas