¿Qué es un diferencial?

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

¿y a donde nos conduce eso?

[Johny_tolengo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

¿Mi aclaración? No tengo nada que aclarar, solo indiqué lo que parecía a la vista de lo que escribiste. Ya se dijo en el hilo que los diferenciales son variables que toman valores en el campo de los números reales, y se justificó. No entiendo a que venía lo que escribiste tratando de justificar los valores no infinitesimales de los diferenciales. Todo eso está escrito y debidamente justificado en el hilo, hace ya muchos mensajes. A la vista del tuyo parece que rediriges el hilo a un asunto que ya el hilo había superado, repitiendo además un texto trasnochado que no aporta nada nuevo al debate. Eso es lo que parece y por eso lo apunté, a lo mejor no estoy en lo cierto, pero parecerlo lo parece.

Salu2

Primero, no se trata de un "texto trasnochado", a menos que claro, los únicos "textos no trasnochados" sean los que vos lees. Simplemente transcribí un texto en el que se hace énfasis en lo innecesario de los "infinitamente pequeños" e "infinitesimales" para definir y justificar lo que son los conceptos fundamentales del cálculo diferencial.
Además, lo hice con la intención de mostrar evidencia que apoyara tu justificación frente a un comentario de uno de los usuarios del foro que intentaba, si se quiere, "descalificarte" asegurando que intentabas contradecir con tus argumentos todo lo que dicen los profesores y los libros.

- - - Actualizado - - -

¿y a donde nos conduce eso?

Conduce a que, a través del uso del concepto de diferencial en la física, se pueden establecer expresiones diferenciales (ecuaciones diferenciales) que, mediante integración, conducen a la expresión funcional que describe los fenómenos en estudio. (Dicho sea de paso, lo que da origen al hilo es una pregunta sobre el concepto de diferencial en el mundo de la física).

Y el desarrollo #45 se vincula con mis comentarios anteriores si se tiene en cuenta que, justamente, lo que se intenta en el mundo de la física es encontrar esa f'(x) que satisfaga todo los dicho. $f'(x)$ y $f(x)$ que seguramente no se conocen de antemano para el fenómeno en estudio.

[danielandresbru]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Hola Jabato, entonces quería saber cual es la diferencia entre el incremento de una funcion y su diferencial.
También quería saber si sabes de alguna pagina donde muestren una explicación rigurosa de lo que es un diferencial, ya que ahora estoy un poco confundido ya que siempre vi a los diferenciales como variaciones infinitamente pequeñas.
Saludos

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

No conozco una página rigurosa donde se explique que son los diferenciales, es un tema bastante debatido desde hace mucho tiempo, probablemente más de 400 años, y aún no se ha llegado a un acuerdo al respecto, si te interesa el tema podemos debatirlo pero yate advierto que existe cierto cisma entre la forma en que los físicos utilizan los diferenciales al respecto de lo que dicen los matemáticos. Lo más riguroso desde un punto de vista matemático que yo conozco respecto de los diferenciales son las formas diferenciales, pero seguro que no va a satisfacerte, suponiendo que seas capaz de entenderlo. Por otro lado te daré el criterio que yo utilizo para entenderlo, que creo que es perfectamente válido y que explica perfectamente cual es la diferencia entre un diferencial y un incremento. Veamos, consideremos en primer lugar una función de una sola variable:

$y=f(x)$

Sabemos que en un punto determinado se cumplen las siguientes cuestiones:

$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\qquad\qquad y'(x)=\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\lim_{\Delta x \to o}\frac{\Delta y}{\Delta x}\qquad\to\qquad dy=y'dx$

Para una función de tres variables tendríamos las equivalentes al caso anterior:

$\Delta f=f(x+\Delta x,y+\Delta y, z+\Delta z)-f(x,y,z)\qquad\to\qquad df=f_xdx+f_ydy+f_zdz$

Si ahora trato de expresar estas ecuaciones de forma vectorial utilizando lo siguientes vectores para hacerlo:

$\mathbf{p(x,y,z ...)}$ representa el punto donde se calcula el diferencial de la función.
$\mathbf{\Delta p(\Delta x,\Delta y,\Delta z ...)}$ representa el incremento de la función en el punto considerado
$\mathbf{dp(dx,dy,dz ...)}$ representa el diferencial de la función en el punto considerado

entonces se cumple que:

$\mathbf{p+\Delta p}$ representa un punto arbitrario de la variedad que representa la función
$\mathbf{p+dp}$ representa un punto arbitrario de la variedad que representa su espacio tangente en $\mathbf p$

lo que ilustra perfectamente la diferencia que existe entre los incrementos y los diferenciales y que a su vez son expresiones perfectamente válidas para cualquier número de variables. En todos los casos las coordenadas, sus incrementos y sus diferenciales toman valores reales cualesquiera.

Espero haberte ayudado.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

También quería saber si sabes de alguna pagina donde muestren una explicación rigurosa de lo que es un diferencial

En casi todos los libros de cálculo lo tratan rigurosamente, al menos los que yo conozco. Un ejemplo puede ser este texto (en el capítulo 3).

[Alriga]

Re: ¿Qué es un diferencial?

... los diferenciales, es un tema bastante debatido desde hace mucho tiempo, probablemente más de 400 años, y aún no se ha llegado a un acuerdo al respecto ...

Opino que esa es una afirmación gratuita y no acorde con el estado actual de la técnica matemática. La definición rigurosa de diferencial está claramente establecida. Se puede consultar la referencia que ha dado Weip u otras muchas.
Saludos.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Bien, si eso es así tan solo te pediré una respuesta. ¿Puedes indicarme que representa la expresión $dx$ y cuales son los valores que puede tomar?

El hecho de que hoy en día haya matemáticos que justifiquen los diferenciales basándose en los números hiperreales, y que en general no estén de acuerdo con los métodos que se utilizan en las aulas de física e ingenierías tan solo demuestra que la polémica aún continua. El hecho de que en ingenierías y en física se utilice habitualmente el concepto de elemento diferencial y que tal cosa no exista para los matemáticos solo me dice que la polémica sigue vigente. Alriga, pregúntale a un matemático que es un elemento diferencial, y ya verá lo que te contesta. Los libros de física están plagados de desarrollos matemáticos basados en las propiedades de los elementos diferenciales y sin embargo los matemáticos no reconocen tales objetos. Y ya que te pones a debatir este asunto si puedes mostrar aquí la definición matemáticamente ortodoxa de elemento diferencial pues se te agradecerá. No existe tal definición por la sencilla razón de que los matemáticos no reconocen tales entes, si te parece que esta situación no presupone un divorcio entre la matemática ortodoxa y las técnicas que utilizan las ciencias experimentales pues ya me dirás. ¡Ojo! que un elemento diferencial no es lo mismo que el diferencial de una función ni lo mismo que una forma diferencial, conceptos que sí están perfectamente definidos en la ortodoxia matemática, estoy hablando de los elementos diferenciales que se utilizan habitualmente en física e ingenierías, cuyas dimensiones son infinitamente pequeñas y cuyas propiedades no pueden justificarse mediante la ortodoxia matemática, por ejemplo en mecánica, electromagnetismo, hidráulica, etc. Puedes consultar cualquier libro de física para ver de lo que te hablo. Por ejemplo en esta web se habla de un elemento de corriente: Elemento de corriente que no es más que un tipo de elemento diferencial. Este tipo de razonamientos llenan los libros de física e ingeniería, pero no son correctos desde un punto de vista matemático.

Si quieres podemos analizar desde cuando existe dicho divorcio, desde la creación del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz existe la disputa al respecto de la existencia de los números infinitesimales y desde luego si los números infinitesimales no existen en el campo real entonces los elementos diferenciales tampoco podrían existir, y te puedo asegurar que la disputa sigue vigente hoy en día, al menos en cuanto a los métodos utilizados en las aulas de una y otras disciplinas. Cuando quieras te explico lo que es un elemento diferencial y como se trabaja con ellos, para que veas que sí son objetos que existen, que tienen sus propiedades y que puede trabajarse con ellos tal y como se hace en las ciencias aplicadas y llegar a resultados correctos, pero no, para los matemáticos no existen. Si te parece que esto no es un divorcio pues ya me contarás.

Nada de afirmación gratuita, está perfectamente documentada y perfectamente justificada.

Salu2, Jabato.

- - - Actualizado - - -

Opino que esa es una afirmación gratuita y no acorde con el estado actual de la técnica matemática. La definición rigurosa de diferencial está claramente establecida. Se puede consultar la referencia que ha dado Weip u otras muchas.
Saludos.

Pues evidentemente no estoy de acuerdo.

- - - Actualizado - - -

No te parece Alriga que una contestación al respecto de este asuntillo sería lo correcto, tanto si te parece que mis argumentos son válidos y consideras que tengo razón como si sigues creyendo que mi afirmación es gratuita.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

La verdad es que el hilo me interesa y no quiero que se pierda así que con tu permiso Jabato te doy mi punto de vista.

Bien, si eso es así tan solo te pediré una respuesta. ¿Puedes indicarme que representa la expresión $dx$ y cuales son los valores que puede tomar?

De igual forma que los símbolos $\oplus$ o $\int$ tienen distintos significados dependiendo del contexto, $dx$ también. Pongo algunos ejemplos:

1) En cálculo diferencial $dx=x$. Toma valores reales.
2) En las integrales de Riemann $dx$ indica respecto a qué variable se integra aunque es prescindible.
3) En teoría de la medida a veces se usa para denotar la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$.

Hay más ejemplos pero creo que estos tres son los más habituales en ciencias naturales e ingenierías.

¡Ojo! que un elemento diferencial no es lo mismo que el diferencial de una función ni lo mismo que una forma diferencial, conceptos que sí están perfectamente definidos en la ortodoxia matemática, estoy hablando de los elementos diferenciales que se utilizan habitualmente en física e ingenierías, cuyas dimensiones son infinitamente pequeñas y cuyas propiedades no pueden justificarse mediante la ortodoxia matemática

No son conceptos equivalentes pero están relacionados entre sí. Por ejemplo el elemento de área $dS=dxdy$ es una forma diferencial. Por otro lado justamente las propiedades son lo que podemos justificar. El problema son los razonamientos con infinitesimales en los que no se precisa el significado de esta palabra. Pero no pasa nada porque al fundamentar estos razonamientos se sigue un camino más seguro que el anterior y coincide en resultados con él (siempre que son ciertos; a veces los infinitesimales llevan al error). Yo creo que el divorcio se produciría si los resultados a los que llegara la física o las ingenierías no pudiesen ser justificados de ninguna manera con la lógica. Afortunadamente no es ese el caso.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Gracias Weip por tu apoyo. Es cierto que todo lo que demuestra la matemática ortodoxa, puede demostrarse también utilizando los infinitésimos, aunque es necesario aprender a razonar con ellos, cosa que por desgracia hoy en día no es demasiado habitual debido a que por razones históricas han sido bastante denostados. También es cierto que existe mucha mitología y bastante desconocimiento respecto a los operadores diferenciales, dichos operadores cuando se aplican a funciones reales reproducen valores reales, en esencia son funciones reales, el ejemplo mas sencillo es $dx$ expresión que toma valores tan reales como pueda tomarlos la propia variable $x$ y las expresiones del diferencial de una función de una o varias variables reales. Pero en fin habrá que seguir insistiendo.

[Johny_tolengo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Ya he dado mi punto de vista en las primeras respuestas de este hilo, y, en términos generales, comparto la postura de Jabato. Creo que en la actualidad continúa la disputa y la separación entre lo que la matemática entiende por diferencial y lo que la física entiende por dicho término. De hecho, en matemática es un concepto de segunda categoría, derivado del concepto de derivada, sin embargo, en física forma parte fundamental de los razonamientos.
Creo que en física, al menos en el mundo universitario de mi país, los alumnos tienden erróneamente a creer que el concepto de diferencial entendido como un incremento infinitamente pequeño de una variable permite despreciar los errores que de otra forma sería imposible hacerlo.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Sí Johny, tienes toda la razón, efectivamente el cálculo infinitesimal es absolutamente correcto, no hay nada de aproximado en sus conclusiones y la prueba está en que los resultados que se obtienen con estas técnicas coinciden perfectamente con los que se obtienen con las técnicas más ortodoxas. El problema, en mi opinión, es consecuencia de dos posturas demasiado empecinadas, una por parte de los matemáticos de no reconocerlos, y otra por parte de los físicos de no justificarlos debidamente, en mi opinión ambas cosas son perfectamente posibles pero no se porqué razón nadie se preocupa por darles el significado adecuado.

Salu2, Jabato.

- - - Actualizado - - -

Vamos por partes, el cálculo de las derivadas se genera en base al estudio de los incrementos de una función como un proceso de paso al límite, creo que hasta ahí la cosa está bastante clara:

$y'(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\qquad\qquad \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$

Lo que nos permite definir la derivada sin utilizar el concepto de diferencial, tan solo se utiliza el concepto de límite y el concepto de incremento. El primer problema se plantea cuando los matemáticos escriben la ecuación:

$y'(x)=\displaystyle\frac{dy}{dx}\qquad\qquad dy=y'(x)dx$

hecho que normalmente se produce sin que exista una definición previa de los parámetros $dy$ y $dx$ que es lo que conduce realmente a los errores que produce dicho concepto. En mi opinión $dx$ es una variable que toma valores reales cualesquiera, lo que obliga a que $dy$ también los tome a ser la derivada una función real. En consecuencia el punto (dx,dy) es un punto que se mueve a lo largo de la recta tangente a la gráfica de la tangente de y=f(x) en el punto (x,y), o dicho de otra forma, si consideramos los vectores $\mathbf p(x,y)$ y $\mathbf{dp}(dx,dy)$ veremos que siempre se cumple que $\mathbf{p+dp}$ es un punto que pertenece siempre a la recta tangente a la gráfica en $\mathbf p$

Por otro lado los incrementos satisfacen características similares, con la salvedad de que el punto que se define mediante $\mathbf{p+\Delta p}$ es un punto de la curva, no de su tangente, así pues resumiendo lo anterior resulta que:

$\mathbf{p+\Delta p}$ es un punto arbitrario de la gráfica de la función
$\mathbf{p+dp}$ es un punto arbitario de su espacio tangente

La magia se produce cuando se comprueba que estas últimas expresiones son válidas también para funciones de cualquier número de variables, lo que ilustra perfectamente los conceptos de incremento y de diferencial.

Salu2, Jabato.

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Como una persona que estudia fisica encuentro la justificacion en: la definicion de infinitesimos y por ende de que l@s difereciales son iguales a cero como lo dijo Euler. Las justificaciones estan en el teorema del valor medio de Lagrange, la cita de Euler, que parafraseandolo un poco: "To those who ask what the infinitely small quantity in mathematics is, we answer that it is actually zero. Hence there are no so many mysteries ..." y la cita de Gauss sobre el significado de infinito en matematicas.

Ahora mi pregunta para los matematicos que es diferencial? y cual es la definicion "rigurosa" de el?

Saludos

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

El problema no es ese, para los matemáticos lo que es un diferencial de una función está muy claro, hay una definición perfectamente clara y ortodoxa, análogamente ocurre con las formas diferenciales, otro concepto que desde un punto matemático es perfectamente lícito y que no supone ningún problema. De lo que se trata aquí es de que en física e ingenierías se suelen usar argumentos basados en algo que solemos denominar elementos diferenciales y eso es lo que los matemáticos no reconocen, la cuestión está entonces si se pueden justificar y de que forma la existencia de dichos elementos diferenciales, que propiedades tienen y como debe operarse con ellos, y es ahí donde parece no existir acuerdo. Podéis ver que los libros de física e ingeniería están llenos de demostraciones que usan el concepto de elemento diferencial, pero la pregunta del millón es ¿si el elemento diferencial no es un ente reconocido por los matemáticos y no tiene una definición ortodoxa, entonces qué es un elemento diferencial? Yo creo que tengo la respuesta pero dicha respuesta es mía, y prefiero no exponerla de momento, creo que sería conveniente que hubiera un definición algo más formal, algo más seria, porque si efectivamente existen argumentos suficientemente sólidos en su contra sería necesario revisar toda la teoría que se expone en las aulas basada en dichos elementos, que desde luego es mucha y puede verse en muchos libros de física e ingeniería. Imagino que todos estáis familiarizados con lo que se expone por ejemplo en esta web

Salu2, Jabato.

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

En el capitulo 3 de libro que aporta Weip. Despues de divagar por hoja y media "hablando" de derivadas y diferenciales, el libro finaliza con esta defincion: Es muy importante notar que, en este caso, el diferencial de $f$ en $x_o$ es una funcion lineal definida por $T(h)=f'(x_o)h$, esto no es otra cosa que el teorema del valor medio de Lagrange. Si $h=0$ entonces como dijo Euler, la diferencial es cero. Si $h\neq 0$ entonces puedo escribir :$\dst\frac{T(h)}{h}=f'(x_o)$, pero del lado izquierdo tengo funciones y del lado derecho es un numero, viendolo asi no es tan riguroso como dicen. Si $h\to 0$ entonces estoy hablando de la derivada despues de dividir, pero en este caso aplica lo que dice Gauss sobre infinito en matematicas, ademas tengo que hacer que $x_o \in h$ aun cuando $h\to 0$, pero esto es implicito en el teorema de valor medio de Lagrange. Es decir, no vi la rigurosidad por ningun lado.

Ademas la definicion de funcion y numero real no son muy buenas("rigurosas") que digamos.

Saludos

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Bueno, eso sí coincide con la definición formal del diferencial de una función, prefiero no entrar ahí porque yo entiendo que sí es una definición rigurosa, mi objetivo son los elementos diferenciales que es donde se encuentra la cuestión crítica, al menos yo lo entiendo así. Si queremos llegar a buen puerto con este tema no conviene desviar la atención.