¿Qué es un diferencial?

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Bueno lo que quero decir es que los dierenciales son ceros como decia Euler, tan simple como eso.

Las preguntas que hice al pricipio tenian como proposito el razonamiento critico para entender la simpleza de los diferenciales acuerdo con Euler.

Saludos

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

No, no, no estamos de acuerdo Escobedo, las palabras de Euler no fueron esas, Euler solo dijo que el único número (real positivo) tan pequeño como queramos es el número 0, afirmación que comparto al 100%, pero a lo que quiero llegar es a la afirmación de que los diferenciales no son números tan pequeños como queramos, sino que los diferenciales son números reales finitos, tanto como puedan serlo las funciones a las que se aplican, que no es lo mismo, te pondré un ejemplo sencillo:

$dx=3\qquad y'(x) = 4\qquad\to\qquad dy=y'(x)dx=12$

que no es lo mismo. ¿Entiendes ahora? La interpretación correcta de esa ecuación es que el punto (3,12) pertenece a la recta tangente a la función (siempre que dicha recta se exprese en un sistema de ejes que pase por el punto donde se calculan los diferenciales).

La cuestión estriba en el uso que se hace posteriormente de esos diferenciales, puesto que siempre que se utilizan diferenciales el objetivo es realizar un límite en el que el valor de dichos diferenciales van a tender a 0, lo que permite hacer la consideración de que dichos valores son relativamente pequeños, hecho que conduce a los errores ya descritos con anterioridad, es decir confundir los diferenciales con los números infinitesimales, una cosa es que el destino de un diferencial sea el de tender a 0 en un proceso de paso al límite y otra muy distinta es que en principio un diferencial no pueda tomar valores reales finitos, ese es el primer error, y muy grave. El segundo error grave es el que se deriva del uso de los famoso elementos diferenciales. Pero eso trataré de explicarlo más adelante.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Primero comento un detalle:

El primer problema se plantea cuando los matemáticos escriben la ecuación:

$y'(x)=\displaystyle\frac{dy}{dx}\qquad\qquad dy=y'(x)dx$

hecho que normalmente se produce sin que exista una definición previa de los parámetros $dy$ y $dx$ que es lo que conduce realmente a los errores que produce dicho concepto. En mi opinión $dx$ es una variable que toma valores reales cualesquiera, lo que obliga a que $dy$ también los tome a ser la derivada una función real.

Esa igualdad no se plantea directamente así, hay definiciones previas. $dy_a$ es la aplicación de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ dada por $dy_a(x)=y'(a)x$. Con esto ya sabemos que valores toma el diferencial desde el principio. Luego se hace el cálculo $dx_a(x)=x'(a)x=1\cdot x=x$ y sustituyendo obtenemos la igualdad de funciones $dy=y'dx$. Añadir que eso que se utiliza tanto de "multiplicar y dividir por $dx$" viene de usar la notación de Leibniz en la anterior igualdad: $dy=\dst\frac{d y}{d x}dx$. En resumen, es $dy$ el que obliga a $dx$ tomar valores reales y no al revés. Si no fuera así como bien dices tendríamos un problema. Al menos a mí cuando me lo enseñaron en primero me describieron este pequeño proceso antes de llegar a $dy=y'dx$.

mi objetivo son los elementos diferenciales que es donde se encuentra la cuestión crítica, al menos yo lo entiendo así. Si queremos llegar a buen puerto con este tema no conviene desviar la atención.

¿Podrías poner algún ejemplo concreto? Es que cuestiones críticas hay muchas realmente. Por ejemplo en el caso del elemento de área en principio si hacemos caso a los razonamientos de multiplicar y dividir tan habituales en ciencias entonces podríamos escribir $dS/dx=dy$. Pero no se puede dividir tan a la ligera porque $dxdy=dx\wedge dy$ no es un producto normal y corriente.

En el capitulo 3 de libro que aporta Weip. Despues de divagar por hoja y media "hablando" de derivadas y diferenciales

Hola Jose. Divagar no creo que sea la palabra correcta. Justamente en esa hoja y media se encarga de definir y demostrar todo con rigurosidad que es lo que estás pidiendo líneas más abajo.

esto no es otra cosa que el teorema del valor medio de Lagrange.

No, realmente para definir el diferencial solo necesitas que la función sea derivable en un punto. El teorema al que te refieres te exige derivabilidad en un intervalo cerrado y continuidad en un intervalo abierto. Y esto último es más difícil que se cumpla.

$\dst\frac{T(h)}{h}=f'(x_o)$, pero del lado izquierdo tengo funciones y del lado derecho es un numero, viendolo asi no es tan riguroso como dicen.

Aquí no sé qué quieres decir.

ademas tengo que hacer que $x_o \in h$ aun cuando $h\to 0$

No, $x_0 \in \mathbb{R}$, te lo pone al principio del capítulo 3. Además que un número pertenezca a una variable no tiene sentido.

Ademas la definicion de funcion y numero real no son muy buenas("rigurosas") que digamos.

¿Porqué no te lo parecen? ¿Qué ambigüedades encuentras en esas dos definiciones?

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Primero comento un detalle:

Esa igualdad no se plantea directamente así, hay definiciones previas. $dy_a$ es la aplicación de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ dada por $dy_a(x)=y'(a)x$. Con esto ya sabemos que valores toma el diferencial desde el principio. Luego se hace el cálculo $dx_a(x)=x'(a)x=1\cdot x=x$ y sustituyendo obtenemos la igualdad de funciones $dy=y'dx$. Añadir que eso que se utiliza tanto de "multiplicar y dividir por $dx$" viene de usar la notación de Leibniz en la anterior igualdad: $dy=\dst\frac{d y}{d x}dx$. En resumen, es $dy$ el que obliga a $dx$ tomar valores reales y no al revés. Si no fuera así como bien dices tendríamos un problema. Al menos a mí cuando me lo enseñaron en primero me describieron este pequeño proceso antes de llegar a $dy=y'dx$.


¿Podrías poner algún ejemplo concreto? Es que cuestiones críticas hay muchas realmente. Por ejemplo en el caso del elemento de área en principio si hacemos caso a los razonamientos de multiplicar y dividir tan habituales en ciencias entonces podríamos escribir $dS/dx=dy$. Pero no se puede dividir tan a la ligera porque $dxdy=dx\wedge dy$ no es un producto normal y corriente.

Dos cosas Weip, la primera se corresponde con el primer párrafo de la cita que muestro. No te entiendo, sencillamente, podrías ser algo más explicito en cuanto a lo que representan los símbolos que has utilizado. ¿Es correcta esta ecuación?

$dy_a(x)=y'(a)x$

yo siempre he interpretado que la definición del diferencial de una función era precisamente esta:

$dy=y'dx$

por lo que la definición de $dy$ se hace depender siempre de $dx$. No conozco otra definición del diferencial de una función (para una variable).

Respecto a los elementos diferenciales, si te parece prefiero esperar, de momento, vamos a aclarar antes este asunto que es básico y luego muestro mi concepto de elemento diferencial (que es solo mío).

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

No te entiendo, sencillamente, podrías ser algo más explicito en cuanto a lo que representan los símbolos que has utilizado.

He cargado un poco la notación por ser preciso en todo. $dy_a$ es el diferencial de $y$ en $a$ (depende de $x$). $y'(a)$ la derivada de $y$ en $a$. Cuando escribo $x$ me refiero a la función $f(x)=x$ (por eso más tarde digo que $x'(a)=1$, la derivada de $x$ respecto $x$ siempre es $1$). Creo que no me dejo nada. Al final si todo esto se va a usar mucho se dice directamente $dy=y'x$ y ya está.

Dos cosas Weip, la primera se corresponde con el primer párrafo de la cita que muestro. No te entiendo, sencillamente, podrías ser algo más explicito en cuanto a lo que representan los símbolos que has utilizado. ¿Es correcta esta ecuación?

$dy_a(x)=y'(a)x$

yo siempre he interpretado que la definición del diferencial de una función era precisamente esta:

$dy=y'dx$

por lo que la definición de $dy$ se hace depender siempre de $dx$. No conozco otra definición del diferencial de una función (para una variable).

Sí, es correcta, de hecho las dos expresiones que has puesto son la misma pero escritas de distinta forma. Muestro de donde se obtiene la primera. En el caso de una variable la definición de diferenciabilidad dice así. Decimos que $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es diferenciable en el punto $a\in \mathbb{R}$ si existe una aplicación lineal $L:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que:

$\dst\lim_{x \to a}\dst\frac{f(x)-f(a)-L(x-a)}{x-a}=\dst\lim_{h \to 0}\dst\frac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{h}=0$

A $L$ se le llama diferencial de $f$ en $a$. Una aplicación lineal en $\mathbb{R}$ siempre es de la forma $\lambda h$ así que el diferencial vale $L(h)=\lambda h$. Ahora bien ¿qué es $\lambda$? Por ahora es un real cualquiera, pero podemos concretar más. Tenemos que $\dst\lim_{h \to 0}\dst\frac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{h}=\dst\lim_{h \to 0}\dst\frac{f(a+h)-f(a)-\lambda h}{h}=0$, por tanto $\dst\lim_{h \to 0}\dst\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lambda$, es decir, $\lambda$ es lo que solemos llamar derivada de $f$ en $a$. Aquí es donde se ve que en una variable el concepto de diferenciabilidad es equivalente al de derivabilidad y por los motivos históricos que ya conoces la primera noción pasa a una segundo plano. Normalmente no escribimos $L(h)=\lambda h$ sino $df_a(x)=f'(a)x$. Solo es un cambio de notación que es la que se usa una vez definimos la derivabilidad: cambio $L$ por $df_a$, $\lambda$ por $f'(a)$ y $h$ por $x$. Como he mostrado en mi anterior intervención, $dx_a(x)=x$, luego $df_a(x)=f'(a)dx_a(x)$. Aligerando la notación tenemos la igualdad de funciones $df=f'dx$ que es la segunda ecuación que has puesto y es la que más se usa.

En resumen, las dos ecuaciones son la misma y salen de la definición general de diferenciabilidad. Pero definir directamente $df_a(x)=f'(a)x$ es totalmente válido y se hace mucho en los libros de cálculo en una variable porque no se va a usar la diferenciabilidad. Definir directamente $df=f'dx$ no está tan bien si no hemos dicho antes que es $df$ y $dx$ pero como de una expresión a otra hay solo un paso entonces en todos los libros de física se omite (que a mí me parece mal porque en su día me provoco problemas conceptuales, pero bueno).

Respecto a los elementos diferenciales, si te parece prefiero esperar, de momento, vamos a aclarar antes este asunto que es básico y luego muestro mi concepto de elemento diferencial (que es solo mío).

Perfecto pues.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Bien, estamos casi de acuerdo luego ambas ecuaciones expresan casi lo mismo, pero si analizamos realmente lo que has escrito en tu demostración lo que tu has demostrado a partir de ese razonamiento es que:

$dy=y'(x)h=y'(x)\Delta x$

que no es lo mismo. Piénsalo fríamente y verás lo que te digo. La pregunta es ¿como pasas de la primera a la segunda que es la que expuse yo?

$dy=y'(x)dx$

A mi eso me parece un salto en el vacío jugando de una forma descarada con los conceptos salvo que me digas que $dx$ y $\Delta x$ representen exactamente la misma cosa. ¿Cual de las dos ecuaciones es la correcta?

NOTA: Aparte un apunte histórico, el álgebra lineal data de la época de Gauss, el cálculo infinitesimal es de la época de Euler, Newton y Leibniz, es decir unos dos siglos antes. No sé si aprecias los matices. No es posible fundamentar un concepto en otro que no aparece históricamente hasta dos siglos después.

Honestamente, creo que no merece la pena dedicarle más tiempo a este tema. Si construimos un sistema de ejes paralelos a los dados, con origen en el punto considerado $p(x,y)$ entonces el punto de coordenadas $\Delta p(\Delta x,\Delta y)$ es un punto arbitrario de la función y el punto de coordenadas $dp(dx,dy)$ es un punto arbitrario de su recta tangente en $p$. Esto debería cancelar la discusión al respecto de este asunto, ya que establece los valores que pueden tomar los incrementos de las variables y de la función, así como sus respectivos diferenciales. El hecho de que el diferencial de una función sea una aplicación lineal que se define en la forma descrita en tu mensaje no es más que una definición matemática perfectamente ortodoxa y que no conduce a contradicción alguna, aunque las definiciones formales hay que saber utilizarlas correctamente porque si no generan confusión.

Resumiendo todo lo expuesto, ¿en qué momento del razonamiento se introduce la expresión $dx$, con qué definición y como se deduce la relación entre ambos diferenciales? Tu razonamiento no lo explica y creo que debería hacerlo. Conclusión, la expresión:

$dy=y'dx$

no se deduce de ninguna parte, es una relación sencillamente inventada, basada si quieres en la nomenclatura de Leibniz, pero no es más que un invento, muy útil sí, pero un invento al fin y a la postre.

Salu2, Jabato.

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Weip, te parece correcto que una definicion por muy moderna que sea se lleve una hoja y media (o eso es construir castillos en el aire). Empieza diciendo: para motivar el concepto de deferenciabilidad... El detalle es que no se que es el diferencial, es como decir que no conosco la carne y alguien empieza diciendo ser carnivoro es si ... Como es la matematica rigurosa? Ejemplo, ejemplo $\to$ definicion o deveria ser definicion $\to$ ejemplo, ejemplo.

Weip, sea $f(x)=x^2$ usando tu definicion de diferencial, Calcula la integral $\int_1^2 f(x)dx$ usando sumas de Riemann.

Ademas que diferencia hay entre la diferencial $T(h)=f(x_o)h$ y $\Delta y= \frac{dy(x_o)}{ dx} \Delta x$ con $x_o \in \Delta x$ haciendo variar las $\Delta$'s como una "variable".

Saludos

[justinux]

Re: ¿Qué es un diferencial?

[FONT=Helvetica]Hola,[/FONT]
[FONT=Helvetica] Estoy de acuerdo con Weip, de hecho la definición que da de diferencial como operador lineal es justamente parecida a la que da Walter Rudin en su “Principles of Real Analysis”. [/FONT]
[FONT=Helvetica] Es curioso que algunos piden rigor y cuando se da la definición rigurosa aluden a la historia cuando unas páginas atrás se hacía un alegato contra los conceptos obsoletos. Además la definición previa que se dió de diferencial en términos de una recta tangente adolece del mismo problema que se critica cuando prejuzga el razonamiento infinitesimal, es decir, el de ser intuitivo. O bien se define primero el concepto de recta tangente de forma analítica sin usar el concepto de derivada, o por el contrario se está usando dos definiciones para el mismo concepto, lo cual es redundante.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] El analisis está perfectamente fundamentado en una base axiomática desde finales del siglo XIX y principios del XX y tanto en la Matmática basada en la axiomática estandar como en la Física ese es el concepto de diferencial (ver W.Rudin “principles of Real Analysis” por ejemplo) que se utiliza. Otra cosa es que en los cursos de Física elemental o a efectos de cálculo se use la notación de diferencial para al final realizar un procedimiento de límite, y otra cosa es usar el concepto de diferencial en su sentido pleno. [/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] Como ejemplo, la diferencial de una función escalar de varias variables es precisamente de naturaleza muy distinta a la de la propia función, esto , es lo que se llama el gradiente que es una forma (o covector) a diferencia de la naturaleza escalar de la propia función original. Como dice Weip en el caso de una sola variable real, la cosa se torna casi inapreciable y por ello se evita esas sutilezas, y la utilidad de la diferencial se limita al método de calculo de límites cuando las hipotesis matemáticas lo permiten.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] Yo no creo que haya que cambiar los cientos de buenos libros de Física General o hacerles ver a los profesores de esta materia que están equivocados cuando usan un método de cálculo en sus clases. Más bien, yo soy de la opinión de que uno debe estudiar mejor los conceptos que no entiende. He sido testigo de los cursos de matemáticas de algunas carreras como algunas ingenierías (no todas, obviamente), y lo que realmente ven es Cálculo y no Análisis, que no es exáctamente lo mismo, sobre todo por el enfoque. En el primer caso está enfocado en métodos que permiten llegar a ciertos resultados (que es lo que se impone en ese tipo de carreras), mentras que el segundo está enfocado en el rigor matemático y en su demostración a partir de la axiomática clásica (que ni Newton, ni Leibniz, ni Gauss ni Euler conocían).[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Saludos.[/FONT]

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Imagino justinux que habrás leído lo que escribí en mi último mensaje (#66). Verás que en él planteo algunas preguntas que te resumo aquí y que no se han contestado:

1.- La demostración basada en el concepto del diferencial de una función que muestra Weip (#65) conduce rigurosamente a la ecuación $dy=y'h=y'\Delta x$ y no a la que él deduce $dy=y'dx$.

2.- ¿En que momento de dicho razonamiento aparece $dx$?

3.- ¿Cual es la definición formal de $dx$? ¿un número tan pequeño como queramos? ¿otra cosa? ¿que cosa?

4.- ¿En base a que razonamiento se escribe $dy=y'dx$?

Sería necesario contestar a estas preguntas si queremos tener las ideas claras. El texto que has escrito está muy bien como declaración de intenciones pero es solo texto, aquí estamos hablando de conceptos matemáticos, ecuaciones y definiciones rigurosas. Son preguntas que yo ya he contestado, conforme a mi punto de vista, pero no soy yo el que debe contestarlas porque soy yo el que las plantea. Disculpa que me autocite:

Honestamente, creo que no merece la pena dedicarle más tiempo a este tema. Si construimos un sistema de ejes paralelos a los dados, con origen en el punto considerado entonces el punto de coordenadas es un punto arbitrario de la función y el punto de coordenadas es un punto arbitrario de su recta tangente en . Esto debería cancelar la discusión al respecto de este asunto, ya que establece los valores que pueden tomar los incrementos de las variables y de la función, así como sus respectivos diferenciales. El hecho de que el diferencial de una función sea una aplicación lineal que se define en la forma descrita en tu mensaje no es más que una definición matemática perfectamente ortodoxa y que no conduce a contradicción alguna, aunque las definiciones formales hay que saber utilizarlas correctamente porque si no generan confusión.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

A mi eso me parece un salto en el vacío jugando de una forma descarada con los conceptos salvo que me digas que $dx$ y $\Delta x$ representen exactamente la misma cosa. ¿Cual de las dos ecuaciones es la correcta?

Lo vuelvo a explicar. Uso tu notación $dy=y'\Delta x$. Apliquemos esta expresión al caso particular $y(x)=x$. Se obtiene $dx=x'(a) \Delta x$. La derivada de $x$ respecto $x$ siempre es uno, por tanto $dx= \Delta x$. Ahora si sustituimos en la ecuación inicial obtenemos $dy=y'dx$. Así que sí, $dx$ y $\Delta x$ son lo mismo y las dos ecuaciones son correctas.

NOTA: Aparte un apunte histórico, el álgebra lineal data de la época de Gauss, el cálculo infinitesimal es de la época de Euler, Newton y Leibniz, es decir unos dos siglos antes. No sé si aprecias los matices. No es posible fundamentar un concepto en otro que no aparece históricamente hasta dos siglos después.

Ah, ¿entonces quieres fundamentarlo con lo que sabían Newton y Leibniz? Ellos mismos lo intentaron ya en su época y no lo consiguieron. Si quieres puedo darte la "alternativa Cauchy" que es definir directamente $dy=y'(a)x$ (que por lo que te acabo de explicar se llega a $dy=y'(a)dx$) y usa conocimientos de la época.

Weip, te parece correcto que una definicion por muy moderna que sea se lleve una hoja y media (o eso es construir castillos en el aire). Empieza diciendo: para motivar el concepto de deferenciabilidad... El detalle es que no se que es el diferencial, es como decir que no conosco la carne y alguien empieza diciendo ser carnivoro es si ... Como es la matematica rigurosa? Ejemplo, ejemplo $\to$ definicion o deveria ser definicion $\to$ ejemplo, ejemplo.

Vale ahora te entiendo. Piensa que como seres humanos que somos necesitamos a veces explicaciones didácticas más allá de las rigurosas para entendernos. Esto es lo que hacen los libros de matemáticas: en algunos párrafos te cuentan de forma no matemática lo que has de entender por un concepto u otro y luego te dicen ¡definición! ¡proposición! ¡demostración! y ahí sí todo es 100% riguroso. Aún así siempre se define primero la diferenciabilidad y luego el diferencial como cierta aplicación lineal. No hay problema con ello. La diferenciabilidad no presupone ningún concepto de diferencial.

Weip, sea $f(x)=x^2$ usando tu definicion de diferencial, Calcula la integral $\int_1^2 f(x)dx$ usando sumas de Riemann.

Falta el punto donde he de calcular la derivada, pero bueno, pongamos que es $a$. Entonces $df_a(x)=2adx$. Aclaración: esta es la forma clásica de ponerlo, otra alternativa es $df_a(x)=2ax$. E insisto que las dos formas son correctas y equivalentes.
Lo de la integral no sé muy bien porqué lo preguntas si no tiene nada que ver con el diferencial pero bueno, yo la calculo usando Barrow (no sé si eres consciente del infierno que es calcular integrales por sumas de Riemann), $\dst\int_1^2 x^2 dx=\dst\frac{2^3}{3}-\frac{1}{3}=\dst\frac{7}{3}$. Déjame decir que el $dx$ de la integral de Riemann no sirve nada de nada. Indica respecto a qué variable integras pero ya está. Lo puedes quitar si quieres. En otro tipo de integrales a veces sí significa cosas más sustanciosas, pero en la de Riemann no.

Ademas que diferencia hay entre la diferencial $T(h)=f(x_o)h$ y $\Delta y= \frac{dy(x_o)}{ dx} \Delta x$ con $x_o \in \Delta x$ haciendo variar las $\Delta$'s como una "variable".

Pues ni una expresión ni la otra son diferenciales de funciones. En la primera expresión falta la comilla de derivada en $f(x_0)$ y en la segunda es $dy$, no $\Delta y$. Además decir $x_0 \in \Delta x$ no tiene sentido, al menos en este contexto. En todo caso, suponiendo que hubieras escrito bien todo, ambas expresiones son la misma, solo estás usando dos notaciones distintas. Pero cuidado: $\dst\frac{dy(x_o)}{dx}$ es una derivada, no una división de diferenciales. Lo digo por si acaso.

[FONT=Helvetica]Hola,[/FONT]
[FONT=Helvetica]Estoy de acuerdo con Weip, de hecho la definición que da de diferencial como operador lineal es justamente parecida a la que da Walter Rudin en su “Principles of Real Analysis”. [/FONT]
[FONT=Helvetica]Es curioso que algunos piden rigor y cuando se da la definición rigurosa aluden a la historia cuando unas páginas atrás se hacía un alegato contra los conceptos obsoletos. Además la definición previa que se dió de diferencial en términos de una recta tangente adolece del mismo problema que se critica cuando prejuzga el razonamiento infinitesimal, es decir, el de ser intuitivo. O bien se define primero el concepto de recta tangente de forma analítica sin usar el concepto de derivada, o por el contrario se está usando dos definiciones para el mismo concepto, lo cual es redundante.[/FONT]
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[FONT=Helvetica]El analisis está perfectamente fundamentado en una base axiomática desde finales del siglo XIX y principios del XX y tanto en la Matmática basada en la axiomática estandar como en la Física ese es el concepto de diferencial (ver W.Rudin “principles of Real Analysis” por ejemplo) que se utiliza. Otra cosa es que en los cursos de Física elemental o a efectos de cálculo se use la notación de diferencial para al final realizar un procedimiento de límite, y otra cosa es usar el concepto de diferencial en su sentido pleno. [/FONT]
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[FONT=Helvetica]Como ejemplo, la diferencial de una función escalar de varias variables es precisamente de naturaleza muy distinta a la de la propia función, esto , es lo que se llama el gradiente que es una forma (o covector) a diferencia de la naturaleza escalar de la propia función original. Como dice Weip en el caso de una sola variable real, la cosa se torna casi inapreciable y por ello se evita esas sutilezas, y la utilidad de la diferencial se limita al método de calculo de límites cuando las hipotesis matemáticas lo permiten.[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Yo no creo que haya que cambiar los cientos de buenos libros de Física General o hacerles ver a los profesores de esta materia que están equivocados cuando usan un método de cálculo en sus clases. Más bien, yo soy de la opinión de que uno debe estudiar mejor los conceptos que no entiende. He sido testigo de los cursos de matemáticas de algunas carreras como algunas ingenierías (no todas, obviamente), y lo que realmente ven es Cálculo y no Análisis, que no es exáctamente lo mismo, sobre todo por el enfoque. En el primer caso está enfocado en métodos que permiten llegar a ciertos resultados (que es lo que se impone en ese tipo de carreras), mentras que el segundo está enfocado en el rigor matemático y en su demostración a partir de la axiomática clásica (que ni Newton, ni Leibniz, ni Gauss ni Euler conocían).[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Saludos.[/FONT]

Hola justinux. Totalmente de acuerdo contigo. Yo lo único que pediría en libros de física/ingenierías sería que al menos se hiciera mención de que la cosa no es bien bien así. Porque gente como yo en su día acabamos muy perdidos entre lo que te dice el profesor de física y lo que te dice el de matemáticas.

1.- La demostración basada en el concepto del diferencial de una función que muestra Weip (#65) conduce rigurosamente a la ecuación $dy=y'h=y'\Delta x$ y no a la que él deduce $dy=y'dx$.

Jabato, he demostrado las dos en ese mensaje 65. Parte donde demuestro (con comentarios didácticos de por medio, por si alguien se queja jajaja) que $dy=y'h=y'\Delta x$:

Sí, es correcta, de hecho las dos expresiones que has puesto son la misma pero escritas de distinta forma. Muestro de donde se obtiene la primera. En el caso de una variable la definición de diferenciabilidad dice así. Decimos que $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es diferenciable en el punto $a\in \mathbb{R}$ si existe una aplicación lineal $L:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que:

$\dst\lim_{x \to a}\dst\frac{f(x)-f(a)-L(x-a)}{x-a}=\dst\lim_{h \to 0}\dst\frac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{h}=0$

A $L$ se le llama diferencial de $f$ en $a$. Una aplicación lineal en $\mathbb{R}$ siempre es de la forma $\lambda h$ así que el diferencial vale $L(h)=\lambda h$. Ahora bien ¿qué es $\lambda$? Por ahora es un real cualquiera, pero podemos concretar más. Tenemos que $\dst\lim_{h \to 0}\dst\frac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{h}=\dst\lim_{h \to 0}\dst\frac{f(a+h)-f(a)-\lambda h}{h}=0$, por tanto $\dst\lim_{h \to 0}\dst\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lambda$, es decir, $\lambda$ es lo que solemos llamar derivada de $f$ en $a$. Aquí es donde se ve que en una variable el concepto de diferenciabilidad es equivalente al de derivabilidad y por los motivos históricos que ya conoces la primera noción pasa a una segundo plano. Normalmente no escribimos $L(h)=\lambda h$ sino $df_a(x)=f'(a)x$. Solo es un cambio de notación que es la que se usa una vez definimos la derivabilidad: cambio $L$ por $df_a$, $\lambda$ por $f'(a)$ y $h$ por $x$.

Parte donde demuestro que $dy=y' \Delta x$ implica $dy=y'dx$:

Como he mostrado en mi anterior intervención, $dx_a(x)=x$, luego $df_a(x)=f'(a)dx_a(x)$. Aligerando la notación tenemos la igualdad de funciones $df=f'dx$ que es la segunda ecuación que has puesto y es la que más se usa.

Esta última es cierto que la he hecho rapidita pero en la primera cita de este mensaje lo tienes en detalle (y también en otro mensaje anterior). También vuelvo a decir que en muchos libros se define directamente $dy=y'(a)x$ porque definir la diferenciabildiad solo para esta demostración es un poco tontería. Es decir que si la demostración no os gusta o preferís otro camino sencillamente tomad $dy=y'(a)x$ como una definición. Seguimos:

2.- ¿En que momento de dicho razonamiento aparece $dx$?

Aparece cuando tenemos $dy=y'(a)x$ y queremos ver el caso particular $y(x)=x$. Sustituyendo $dx=x'(a)x=x$.

3.- ¿Cual es la definición formal de $dx$? ¿un número tan pequeño como queramos? ¿otra cosa? ¿que cosa?

Se deduce del diferencial $dy$ para el caso particular $y(x)=x$: $dx=x'(a)x=x$. Es una función de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$. En general todas sus imágenes son reales cualquiera así que no es tan pequeño como queramos.

4.- ¿En base a que razonamiento se escribe $dy=y'dx$?

Bueno esta ya la he contestado como 4 veces ya jajaja.

Saludos a todos.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Bien eso es lo que quería oír, pero siguen los problemas, no creas que va a ser tan sencillo, je, je. Para mi $dx$ sigue siendo problemático porque si como afirmas $dx=\Delta x$ entonces no veo la necesidad de definir la primera. ¿No es más cierto que ambas magnitudes son variables independientes que toman valores en $\mathbb R$ y que no necesariamente deben ser iguales?

En la forma en que yo lo veo $p(x,y)+\Delta p(\Delta x,\Delta y)$ es un vector que siempre apunta a un punto arbitrario de la gráfica de $y(x)$
En la forma en que yo lo veo $p(x,y)+dp(dx,dy)$ es un vector que siempre apunta a un punto de la tangente de $y(x)$ en $p(x,y)$

De esta forma los valores que pueden tomar las variables $\Delta x$ y $dx$ no necesariamente son iguales y los valores que toman sus correspondientes para $y$ se corresponden con sus definiciones:

$\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)\qquad dy=y'(x)dx$

Sencillamente creo que afirmar que $\Delta x =dx$ para poder justificar que $dy =y'(x)dx$ es una solemne barbaridad. No se me ocurre la forma de convencerte de que es más correcta mi visión del asunto y creo que estás equivocado.

¿Tiene algún sentido para ti que siempre deba cumplirse que $\Delta x=dx$ pero no pueda cumplirse de forma general la $\Delta y=dy$? Para mi no desde luego.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

¿No es más cierto que ambas magnitudes son variables independientes que toman valores en $\mathbb R$ y que no necesariamente deben ser iguales?

Justamente la gracia es ver que aunque a primera vista no tenían porqué ser iguales, coinciden.

¿Tiene algún sentido para ti que siempre deba cumplirse que $\Delta x=dx$ pero no pueda cumplirse de forma general la $\Delta y=dy$? Para mi no desde luego.

¡Pues claro que tiene sentido! $\Delta y=dy$ se cumplirá cuando $y$ sea lineal, con pendiente la unidad y pase por el punto en que derivamos. $y(x)=\Delta x$ es la única función que cumple las tres condiciones. Dado que $\Delta x'(a)=1$ entonces $dx=1\cdot \Delta x=\Delta x$.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Pues chico, no comparto tu opinión pero no veo forma de que deshagamos este entuerto. Este debate ha tomado unos derroteros que yo no esperaba. En cualquier caso solo con leer lo que ya llevamos escrito se ponen de manifiesto las deficiencias que se muestran en la forma en que se enseñan estas cuestiones lo cual ya es un avance. Tendré que meditar un poco más a ver si soy capaz de encontrar un argumento que pueda aclararnos el asunto, creo que tu deberías hacer lo mismo porque aunque ambas versiones parecen posibles, desde luego una de las dos es falsa.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Releyendo tu mensaje se me ha ocurrido un punto en común: hacer que $dy$ dependa de $dx$. La definición queda $dy(dx)=y'(a)dx$. No hay ningún tipo de ambigüedad porque $dx$ es una variable real y la definición es la misma que decía yo pero escrita de otra forma. Ahora bien, $dx$ de diferencial solo tendrá el nombre. Es el único inconveniente. Es como disfrazar la $x$ de $dx$.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

No, eso es mas bien un parche que no creo que sea lo que andamos buscando, deberíamos despejar en este hilo los conceptos claros y nítidos:

1.- Para mi $dx$ y $\Delta x$ son variables independientes que, aunque pueden tomar valores iguales, no necesariamente deben serlo en todos los casos.

2.- Para ti ambas magnitudes representan siempre el mismo valor y por lo tanto son la misma variable representada con dos nombres distintos.

¿Cual de las dos es la correcta?

- - - Actualizado - - -

Intentémoslo con la composición de funciones:

$y=y(x)\quad\quad x=x(t)\quad\to\quad \Delta x=x(t+\Delta t)-x(t)=x(t+dt)-x(t)\quad\to\quad dx=x'dt$

¿Podemos afirmar en este caso que $\Delta x=dx$?

Yo diría que no, incluso aunque hagamos $\Delta t=dt$

Salu2, Jabato.