1r ciclo Cómo sacar esta integral sin tablas de integración?

[gdonoso94]

Hola buenas, tengo un problema con esta integral, que no consigo resolverla. Sé que con tablas de integración se puede sacar, pero me gustaría resolverla sin las tablas. Alguien puede echarme una mano?

$\dst \int_{-a}^{a} \!\! \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \lambda \frac{x}{x^2+y^2} \mathrm{dy}$

Gracias y un saludo!

[rupiopan]

Re: Cómo sacar esta integral sin tablas de integración?

sin tablas?

esa integral es la integral del logaritmo, salen fuera las constantes y te queda arriba la derivada de lo de abajo( respecto de y es 2y) pero te falta el dos entonces divides y multiplicas por dos y te quedan las constantes por el

$\dst\frac{1}{2 }ln\left( {x}^{2}+{y}^{2} \right)$ y ahí aplicas la integral definida entre los límites que tienes

[gdonoso94]

Re: Cómo sacar esta integral sin tablas de integración?

Pero en el numerador me falta la $y$ también.

[pod]

Re: Cómo sacar esta integral sin tablas de integración?

Pero en el numerador me falta la $y$ también.

Sin tablas, tienes que acordarte. En este caso, tienes que acordarte que $\frac{\dd}{\dd x} \mathrm{arctg} x = \frac1{1+x^2}$.

[gdonoso94]

Re: Cómo sacar esta integral sin tablas de integración?

Vale, perdón, hay un fallo en la integral, la he copiado mal. Es así:

$\dst \int_{-a}^{a} \!\! \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \lambda \frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}} \mathrm{dy}$

[angel relativamente]

Re: Cómo sacar esta integral sin tablas de integración?

Supongo que tu problema es calcular $\dst \int \dfrac{\dd y}{x^2+y^2}$. Pero nota que $\dst \int \dfrac{\dd y}{x^2+y^2}= \dst \int \dfrac{\dd y}{x^2 \left( 1 + \left(\dfrac yx \right)^2 \right)}$, la cual ya es cuasi-inmediata.

Saludos,

PD: Mientras escribía habéis mandado dos mensajes, así que llego tarde.

[rupiopan]

Re: Cómo sacar esta integral sin tablas de integración?

entonces cambio de variable t=${x}^{ 2}+{y}^{ 2}$

[pod]

Re: Cómo sacar esta integral sin tablas de integración?

entonces cambio de variable t=${x}^{ 2}+{y}^{ 2}$

Otro cambio que suele funcionar: $y = x \mathrm{tg} \theta$.

[gdonoso94]

Re: Cómo sacar esta integral sin tablas de integración?

Gracias a los dos! ya la he conseguido sacar!

[inakigarber]

Re: Cómo sacar esta integral sin tablas de integración?

Pues, yo no he conseguido sacarla.
He hecho la sustitución

$$t=x^2+y^2$$

por tanto

$$dt=2ydy$$

y

$$dy=\frac{dt}{2y}$$

Sustituyendo en la integral inicial me sale;

$$\frac{x\lambda}{4\pi\varepsilon_{0}}\int{\frac{\frac{dt}{2y}}{t^{3/2}}}$$

sacando el 2 de la integral

$$\frac{x\lambda}{8\pi\varepsilon_{0}}\int{\frac{\frac{dt}{y}}{t^{3/2}}}$$

como $y=\sqrt{t-x^2}$ sustituyo en 5 y obtengo [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Pero a partir de aqui ya no he conseguido avanzar, por lo que me he quedado atascado. Supongo que me he debido equivocar en algún punto. En todo caso un saludo.

[gdonoso94]

Re: Cómo sacar esta integral sin tablas de integración?

Realmente la he sacado con tablas, pero con la sustitución de pod habia llegado a algo similar a la solución, la solución es:

(Sustituyendo $\lambda$ por $\frac{Q}{2 a }$, es la densidad de carga lineal)

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
A ver si alguien consigue sacar el desarrollo sin tablas.

EDITO: no sé por qué me pone error de conversión, el resultado es Q partido de 4 pi epsilon_0 y todo multiplicado por 1/( x(sqrt(x^2+a^2))

[pod]

Re: Cómo sacar esta integral sin tablas de integración?

$$\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 }\frac{1}{x\sqrt{x^2+a^2}}$$

Te falta cerrar una llave.

Con el cambio $y = x\ \mathrm{tg}\theta$ se hace de la siguiente forma:

$$\dd y = x (1+\mathrm{tg}^2\theta) \dd \theta,$$

y los límites de integración pasan a ser $\theta = \pm \mathrm{arctg} \dfrac{a}{x}$. De momento voy a no escribir ni los límites ni las constantes con épsilons y lambdas (porque soy un vago, lo reconozco). Por otro lado,

$$x^2 + y^2 = x^2 (1+\mathrm{tg}^2\theta) .$$

Por tanto,

$$\frac{x\dd y}{(x^2+y^2)^{3/2}} = \dfrac{x^2 (1+\mathrm{tg}^2\theta)\dd \theta}{ x^3 (1+\mathrm{tg}^2\theta)^{3/2}} = \dfrac{\dd \theta}{ x \sqrt{1+\mathrm{tg}^2\theta}}.$$

El truco del almendruco es multiplicar arriba y abajo por un coseno. El de abajo entrará dentro de la raíz al cuadrado, por lo que tendremos $\cos^2\theta (1+\mathrm{tg}^2\theta) = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$. Y voilá, nos hemos librado de la raíz. Sólo nos queda el coseno de arriba, cuya integral es un triste seno:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Para simplificar esto, podemos utilizar

$$\sin \alpha = \dfrac1{\sqrt{ 1 + \mathrm{tg}^{-2}\alpha}} .$$

Con lo cual

$$I \propto\frac{2}{x} \dfrac1{\sqrt{ 1 + \frac{x^2}{a^2}}} = \dfrac{2a}{x\sqrt{ a^2 + x^2}} .$$

Este parece ser el resultado correcto de la integral según wolfram. Sólo queda meter las constantes de delante.

[gdonoso94]

Re: Cómo sacar esta integral sin tablas de integración?

Una pregunta, cómo has sacado los nuevos límites de integración?, no serían $\pm a \tan(\theta)$?

[pod]

Re: Cómo sacar esta integral sin tablas de integración?

Una pregunta, cómo has sacado los nuevos límites de integración?, no serían $\pm a \tan(\theta)$?

Tienes que aislar la $\theta$. Los nuevos limites son para la nueva variable, no para la vieja:

$$y = x \mathrm{tg}\theta \longrightarrow \theta = \mathrm{arctg}\frac{y}{x} ,$$

Si $y$ va de $-a$ a $a$, entonces, dado que la arcotangente es monótona y todo eso, los límites para $\theta$ son los que puse.

[gdonoso94]

Re: Cómo sacar esta integral sin tablas de integración?

Touché, estoy pez con este tema de cambios de variable. Gracias!