Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

[visitante20160513]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

Cuando se integra o se diferencia se opera con algo, las expresiones que pusiste no tienen sentido porque esas operaciones no tienen opereando, no se aplican a ningun objeto matemático.

Vamos a ver si lo expreso con claridad. Sea la función $y=f(x)$ y admitamos que vamos a trabajar en un determinado punto del dominio, $x=x_o$

Bien, la función en dicho punto toma el valor $y_o=f(x_o)$ y representemos a su derivada en el mismo punto por $y'_o$

Consideremos ahora dos sistemas de ejes coordenados, uno el sistema XY en el que se representa gráficamente la función, y otro de ejes paralelos a los anteriores y cuyo origen se encuentra en el punto en el que nos encontramos trabajando.

En el primer sistema las coordenadas de un punto vienen representadas por el par $(x,\ y)=(x_o+\Delta x,\ y_o+\Delta y)$ y en el segundo sistema las coordenadas de un punto son $(dx,\ dy)$

El punto en el que estamos trabajando tendrá por coordenadas las siguientes:

en el primer sistema $(x_o,\ y_o)$

en el segundo sistema será el origen $(0,0)$

el resto no es más que geometría elemental. Véase ahora que la ecuación:

$dy=y'_o dx$

no es más que la ecuación de la familia de rectas tangentes a la gráfica de $y=f(x)$ expresada en el segundo sistema referencial. La misma familia de rectas expresada en el primer sistema referencial tendría por ecuación:

$y-y_o=y'_o(x-x_o)\qquad\Rightarrow\qquad \Delta y=y'_o\Delta x$

Analogías geométricas similares pueden hacerse para funciones multivariable, aunque exponerlo aquí resultaría algo engorroso. Esto creo que aclara bastante bien el concepto de diferencial de una función de una sola variable.


Salu2

[ZYpp]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

Pensando me ha surgido una duda que de hecho tengo desde hace tiempo, y es si tiene sentido hablar de diferencial a secas, es decir, una $\dd$.

Con unas pequeñas sutilezas, sí. La teoría detrás de eso es un pelín más compleja que lo que se trata aquí, pero el diferencial puede generalizarse a un operador (en general, multilineal), de tal forma que lleva n-formas en n+1-formas. El problema es que hablar de formas diferenciales no es trivial en este contexto, pero quédate con la idea que son una generalización del diferencial, que entre otras cosas permiten extrapolar el Teorema Fundamental del Cálculo a n dimensiones.

Como comentario, lo que tienes en tu firma es el teorema de Stokes que se deduce de la "teoría" de las formas diferenciales.

[Weip]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

Gracias a los dos.

Quería preguntaros más cosas (no os preocupeis que estas serán ya las últimas dudas), ahí va:

-A pesar de que los diferenciales son variables cualesquiera, ¿pueden ser infinitesimales? Como en el teorema de Gauss de mi firma, en que se coge un elemento infinitesimal de área $\dd S$ (según tengo entendido).

Y del post anterior, que son claves para mí:

¿Entonces cuando hago $\dd y/\dd x$ no estoy dividiendo nada? De ecuaciones diferenciales he hecho algunas muy sencillas en el colegio, y no entiendo entonces que hago con las ecuaciones cuando dividido o multiplico por diferenciales. Yo me pensaba que expresar la derivada como un cociente de diferenciales venía del cálculo del pendiente de la recta tangente (a través de la definición de $tan \alpha$).

Finalmente, si los diferenciales no son infinitesimales, ¿porqué la rama que estudia estos temas se llama cálculo infinitesimal? Siempre había pensado que venía de aqui.
¿Al final la segunda imagen del primer mensaje está mal? Es que me gusta esa idea, y aunque tenga que generalizarla, a ver si es posible conservarla.

Sobre todo el tema de la notación, porque me pensaba que para calcular una derivada podías hacer $y'=\tan \theta=\dd y/ \dd x$ y dividir como si fuera normal.

[ZYpp]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

-A pesar de que los diferenciales son variables cualesquiera, ¿pueden ser infinitesimales? Como en el teorema de Gauss de mi firma, en que se coge un elemento infinitesimal de área $\dd S$ (según tengo entendido).

Los infinitesimales no son variables. Reitero lo dicho. Se puede trabajar con ellos como si fuesen una función más, porque son un caso particular de funciones (aplicaciones lineales) así que cumplen ciertas propiedades. Sin embargo, el punto crítico está en tratar a la derivada como una división de diferenciales. Eso no es trivial y, como bien han dicho anteriormente, se requiere trabajar con números hiperreales para demostrar que realmente puede hacerse. En la práctica, se lleva tratando a la derivada como una división de diferenciales desde hace mucho, pero porque no se había encontrado ningún resultado patológico (ahora demostrado que no hay) y porque los físicos flojean en matemáticas a veces, amén de que se pueden llegar a volver sumamente engorrosas en casos como este.

Sobre todo el tema de la notación, porque me pensaba que para calcular una derivada podías hacer $y'=\tan \theta=\dd y/ \dd x$ y dividir como si fuera normal.

Realmente, cuando escribes $\dd y / \dd x$ lo que estás haciendo es aplicar un operador (operador derivada) que opera sobre la función. Es algo análogo a una función que opera sobre un número para devolver otro; en este caso el operador derivada opera sobre la función para devolver otra. Esto normalmente se puede escribir así:

$$\frac{\dd y}{\dd x} = \left( \frac{\dd}{\dd x}\right) y = Dy$$

donde el operador derivada se escribe con $D$ y opera sobre $y$. Esto resulta clave en el contexto de las ecuaciones diferenciales, sobre todo en lo que se conoce como teoría de Sturm-Liouville; algo en lo que no entraré porque se escapa ya demasiado del nivel del hilo.

Saludos.

[Weip]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

Tengo que pensar en las respuestas algún tiempo para acabar de comprenderlo pero creo que ya está todo. De todas formas ya daré estos temas con más profundidad en la universidad. Si me surgen más dudas en estos días ya las formularé por aquí.

Y a modo de recopilatorio, me gustaría ver tus respuestas, ZYpp, a las preguntas de Jabato.

[gdonoso94]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

Bien supongamos que estamos hablando de la función real de variable real $y =x^2$ ¿Entonces cual sería la aplicación lineal que define su diferencial?, ¿cual sería su conjunto origen? ¿y cual su conjunto imagen? ¿y cual sería su ley de correspondencia?

Hola, no sé si es entrometerme mucho en el tema, pero esa aplicación no es lineal, por tanto intuyo (desde mi buena fe) que no se puede aplicar un operador lineal sobre ella, ¿no?

Saludos

[visitante20160513]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

Creo que no, gdonoso94, aunque la aplicación propuesta no sea lineal ($y=x^2$ no es desde luego una aplicación lineal) si se puede obtener su diferencial ($dy=2xdx$), y un diferencial si es una aplicación lineal.

[hennin]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

ZYpp en su primer mensaje dio perfectamente la definición. Y no sé por qué os surgen tantas dudas.

Bien supongamos que estamos hablando de la función real de variable real ¿Entonces cual sería la aplicación lineal que define su diferencial?

La jacobiana es $2x$. ¿En qué punto estás hallando su diferencial? Supongamos que es $x_0$ . Entonces la aplicación lineal será la jacobiana por $(x-x_0)$ que en efecto es una aplicación lineal trivialmente.

¿cual sería su conjunto origen? ¿y cual su conjunto imagen?

Pues donde esté definida la función. Si no dices nada se supone que es todo $R$.

¿y cual sería su ley de correspondencia?

Pues que a cada $x$ le asigna la jacobiana por $(x-x_0)$



Resumiendo, esta es la diferencial: $x \to df(x_0)(x-x_0)=2x_0(x-x_0)$

[visitante20160513]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

¿Disculpa pero estás seguro de eso? La función $2x_o(x-x_o)$ no es lineal ni en $x$ ni en $x_o$ ¿Entonces como puede ser esa aplicación el diferencial?

Salu2

[hennin]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

Si pero resulta que:

Salu2

Eso es lo que te he querido explicar desde la definición general que dio ZYpp. También he leído que lo de pasar diferenciales es riguroso. Para eso es necesario que exista inversa local. Y se demuestra mediante formas diferenciales pero tampoco creo que sea necesario meterse en ese tema para saber qué es la diferencial de una función.

[gdonoso94]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

Y se demuestra mediante formas diferenciales pero tampoco creo que sea necesario meterse en ese tema para saber qué es la diferencial de una función.

Yo estoy interesado, si puedes hacer el favor y exponerlo... Sería de agradecer.

Saludos

[pod]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

He limpiado un poco el hilo para que se puedan seguir resolviendo las dudas respecto a la diferencial sin interferencias.

Por favor, intentad evitad los comentarios personales. Es bueno debatir, siempre que se mantenga la civilización.

Adicionalmente, por favor considerar que este hilo está marcado por su creador como "nivel secundaria". Así que circunscribir la discusión a este nivel. Siempre es posible abrir hilos paralelos para profundizar a mayor nivel.